Пример4.

Вычислить неопределенный интеграл Преобразуем заданный интеграл используя свойства интегралов, представим интеграл суммы в виде суммы интегралов:

Вынесем за знак интеграла из обеих дробей соответствующие коэффициенты при :

Далее, используя таблицу интегралов, получим

2. Интегрирование внесением под дифференциал

Табличные формулы справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменной x, но и для любого сложного выражения, ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ.

Очень часто метод внесения под знак дифференциала используют для нахождения интегралов вида

константа при x, F – первообразная функции f. Поэтому имеют место следующие формулы для неопределенных интегралов:

Пример 5

Найти интеграл Внесем косинус под знак дифференциала

Пример 6

Найти неопределенный интеграл Разложим тангенс, как отношение синуса и косинуса, затем внесем синус под знак дифференциала

Пример 7

Вычислить неопределенный интеграл Внесем под знак интеграла так, чтобы полученный многочлен под знаком интеграла совпадал со знаменателем

В результате, получили табличный интеграл , который в свою очередь равен

Пример 8

Вычислить неопределенный интеграл

Так как , то числитель можно внести под знак интеграла так, чтобы под дифференциалом образовался многочлен точно такой же, что и в знаменателе:

Полученный интеграл можно вычислить, используя табличный интеграл

Тогда искомый интеграл равен

Пример 9

Вычислить неопределенный интеграл Используя формулу производной экспоненциальной функции внесем под знак дифференциала

тогда в результате получим

Пример 10

Вычислить неопределенный интеграл Используя формулу производной косинуса внесем под знак дифференциала, а косинус поднимем в числитель:

Пример 11

Вычислить неопределенный интеграл Преобразуем подынтегральную функцию, используя равенство , в результате получим:

Пример 12

Вычислить неопределенный интеграл Используя формулу квадрата разности выделим в знаменателе подынтегрального выражения полный квадрат

Внесем под знак дифференциала :

Далее, используя табличный интеграл

получим

Пример 13

Вычислить неопределенный интеграл

Так как , то выражение перед косинусом можно внести под знак дифференциала

тогда будем иметь:

Пример 14

Вычислить неопределенный интеграл Используя формулу производной косинуса внесем под знак дифференциала

Далее, используя табличный интеграл для показательной функции, получим

Еще примеры: