Характерные скорости (наиболее вероятная, среднеквадратичная и средняя скорости молекул газа).
Рассмотрим, как изменяется с абсолютной величиной скорости число частиц, приходящихся на единичный интервал скоростей, при единичной концентрации частиц.
mυ2
F (υ) Ae 2kT υ2.
Из графика видно, что при «малых» υ , т.е. |
|||
при mυ2 |
|
, имеем F( ) ~ 2 ; затем F( ) |
|
|
|
|
|
|
2kT |
1 |
|
|
|
|
|
достигает максимума А |
и далее |
|
m 2 |
|
экспоненциально спадает |
F( ) ~ e |
2kT. |
||
|
НАИБОЛЕЕ ВЕРОЯТНАЯ СКОРОСТЬ
Наиболее вероятной называют такую скорость молекул Vв, для которой F(V)
функция распределения F(V) при- |
Т1 < Т2 |
|||||||||
нимает максимальное значение, |
|
|||||||||
т.е. F΄(Vв)=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
m0 |
3 2 |
2 |
|
m0V 2 |
|
|
||
F (V ) 4 |
|
|
V |
|
exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 kT |
|
|
|
2kT |
|
|
||
|
|
|
|
m |
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
m V 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
m V 2 |
|
2m V |
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
||||||
F (V ) 4 |
|
|
|
|
|
|
2V exp |
|
2kT |
|
V |
|
exp |
2kT |
|
2kT |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
m0 |
|
|
3 2 |
|
|
m0V 2 |
|
|
m0V 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
V exp |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
F (V ) 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; F (Vв ) 0 |
|
|
|||||||||||
|
|
2 kT |
|
|
|
|
2kT |
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
V 2kT |
2kNAT 2RT . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
в |
m0 |
|
|
|
m0 NA |
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Величина скорости, на которую при- ходится максимум зависимости F( )
называют наиболее вероятной скоростью вер . Величину этой скорости находят из условия равенства нулю производной:
F ' dF( ) 0 d
|
|
|
|
|
|
|
|
υвер |
2kT |
|
2RT |
||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ
Найдем среднюю скорость молекул Vc
с помощью функции распределения:
c
Vc VF(V )dV VF(V )dV |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
m0 |
|
|
3 2 |
|
|
|
|
m0V 2 |
3 |
|
|
|
|
m0 |
|
|
3 2 |
|
|
|
m0V 2 |
|
2 |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
exp |
|
|
|
|
V |
dV 2 |
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
V |
d(V |
|
). |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2kT |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 kT |
|
|
0 |
|
|
2kT |
|
|
|
|
|
2 kT |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
m0V 2 |
|
|
|
|
|
V |
2 |
2kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
2kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m0 |
|
|
|
d(V 2 ) |
m0 |
d |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
V 2 |
|
|
m0 |
3 2 e 2kT |
2kT d |
2 |
|
2kT e d |
|
8kT |
|
|
8RT . |
||||||||||||||||||||||
2 kT |
|
|
m |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
c |
|
|
|
|
|
|
m m |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Средняя скорость υср
1
υср n 0 n F ( )d ,
где n F (υ)dυ dn – число молекул со
скоростью от υ до υ dυ . Если подставить сюда F(υ) и вычислить, то получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υср |
|
8kT |
|
2,25kT |
|
|
|||
|
|
|
|
πm |
|
|
m |
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υср |
8RТ |
|
2,25RT |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
πμ |
|
|
μ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧНАЯ СКОРОСТЬ
Средней квадратичной скоростью молекул Vкв называется квадратный корень из среднего значения квадрата скорости
V V |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кв |
c |
, то есть по теореме о равнораспределении энергии |
||||||||||||||||||
по степеням свободы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3kT |
|
3RT |
|
|
|
||||||||
m0 (V 2 )c |
|
3 |
kT |
|
V |
2 |
c |
|
3kT |
3RT |
|
|
V |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
кв |
m0 |
|
M |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
m0 |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нахождении (V2)c с помощью функции распределения:
V |
|
c |
|
|
m0 |
3 2 |
|
|
|
m0V 2 |
4 |
|
3kT |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
V |
F V dV 4 |
|
|
|
exp |
|
2kT |
V |
dV |
m0 |
. |
|||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
2 kT |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Vв :Vc :Vкв 2 : |
8 : 3. |
|
||||||||
Vв :Vc :Vкв 1:1,13:1,22.
вер
Среднюю квадратичную скорость
находят используя соотношение :
mυкв2 3 kT 2 2
|
|
|
|
|
|
|
|
υкв |
3kT |
|
3RT |
||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полезно знать, что
|
υ |
кв |
1,22 |
υср |
1,13; |
|
|
υвер |
|||
|
|
|
|||
|
υвер |
|
|||
F |
|
|
|
|
|
вер ср кв
вер ср кв
вер