Физические основы механики
Семестр 1
Лекция № 6
1.Модель абсолютно твёрдого тела.
2.Кинематика движения свободного тела. Вектор угловой скорости. Мгновенная ось вращения.
3.Момент импульса частицы, момент силы относительно точки и оси. Уравнения моментов относительно точки и оси для частицы и системы частиц.
4.Закон сохранения момента импульса. Орбитальный и собственный момент импульса тела. Спин элементарных частиц.
5.Вращение твердого тела вокруг
неподвижной оси.
6. Момент инерции относительно оси. Теоре- ма Гюйгенса-Штейнера.
Абсолютно твёрдое тело - это система материальных точек, где все расстояния между ними сохраняются постоянными независимо от внешних воздействий. Иными словами, отсутствует относительное движение частиц.
Для полного и однозначного определения положения тела в трёхмерном пространстве необходимо задать 6 скалярных параметров: три координаты центра масс тела и три угла, фиксирующие ориентацию тела. Число независимых скалярных параметров, полностью и однозначно определяющих положение системы в пространстве, называется числом степеней свободы. Частица имеет три степени свободы, абсолютно твёрдое тело - шесть, а система из n частиц - 3n степеней свободы.
Произвольное движение свободного тела есть сумма поступательного движения со скоростью движения центра масс тела и вращения тела вокруг некоторой мгновенной оси вращения, проходящей через центр масс.
Линейная скорость r любой точки на
оси вращения равна нулю, поскольку вектор угловой скорости направлен вдоль оси
вращения. При наблюдении с конца вектора
вращение тела
должно происходить против хода часовой
стрел ки. Величина угловой
скорости определя-
ется формулой: d
dt
Рассмотрим систему частиц состоящую из n точек (m1 m2 … mn); r –
радиус-вектор i-ой точки, проведенныйi из
точки О – центра неподвижной инерци- альной систе- мы отсчета.
ОбозначимFi |
– внешняя сила, |
|
действующая на i-ю точку, Fik |
– сила |
|
действия со стороны k-ой точки на i-ю.
|
Запишем основное уравнение динамики |
||||||||||||
для точки: d |
|
|
|
n |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
mi i Fik Fi . |
|
||||||
|
|
|
|
dt |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k i |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
Умножим обе части векторно на |
r |
|||||||||||
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|||
|
ri |
|
|
mi i |
|
ri |
Fik |
|
ri |
Fi . |
|||
|
|||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
Знак производной можно вынести за |
|||||||||||
знак векторного произведения (и знак суммы тоже), тогда:
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
ri |
mi i ri |
Fik ri |
Fi . |
|||
dt |
|||||||
|
|
k |
|
|
|
||
Векторное |
произведение |
точкиr |
||
на её импульс |
называется |
i |
||
моментом |
||||
импульса |
L i этой точки относительно |
|||
точки О: |
|
|
|
|
Li |
ri mi i |
|
||
|
|
|||
Эти три вектора образуют правую тройку векторов, связанных «правилом буравчика» или «левой руки»:
|
|
|
. |
Li ri |
mi i |
||
|
|
|
|
Или L r |
р . |
||
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
y z |
|||||
L x |
r |
p r , p . |
||||
|
рx |
рy |
рz |
Модуль L r p sin |
||
Здесь L трехмерный момент импульса относительно центра вращения О.
