Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний под действием гармонической силы
Рассмотрим систему, на которую кроме упругой силы (–
kx) и сил сопротивления (–rυx) действует добавочная
периодическая сила Fx – вынуждающая сила:
max kx r x Fx
– основное уравнение колебательного процесса при вынужденных колебаниях с силой: Fx F0 cos t.
С учетом обозначений для собственной частоты колебаний системы и коэффициента затухания приходим к уравнению:
x 2 x 02 x Fm0 cos t
Решение уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: x x1 x2
Где общее решение однородного уравнения:
x1 А0e t cos( 1t 1) 
1 
02 2
Частное решение неоднородного уравнения имеет общий вид: x2 B cos( t )
где |
|
|
|
- частота вынуждающей силы, а B |
- амплитуда |
||
|
|
|
|
и - фаза задаются соответственно формулами: |
|||
|
|
B |
|
|
F0 |
|
m |
|
|
|
arctg |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
2 |
) |
2 |
2 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
( 0 |
|
|
4 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
Итак, частное решение неоднородного уравнения:
|
|
|
|
F0 |
|
m |
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
t arctg |
2 |
|
|
||||
|
2 |
2 |
) |
2 |
2 2 |
|
cos |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
( 0 |
|
|
4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Слагаемое x1 играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого равенством для B .
x
Следовательно, в
установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой и
являются гармоническими.
Амплитуда B и фаза колебаний также зависят от частоты .
Амплитуда и фаза вынужденных
колебаний. Резонанс.
Рассмотрим зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты .
Из формулы: |
|
B |
|
|
|
F0 |
m |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
видно, что |
|
|
( 02 2 )2 4 2 2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
при 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
статическая |
||||
|
Bст |
|
F0 |
|
|
|
F0m |
|
F0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
амплитуда, |
||||||||
|
m 02 |
mk |
k |
|
|
колебания не |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
совершаются |
|||
|
|
|
B 0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
при
|
B |
|
F0 m |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
( 02 2 )2 4 2 2 |
|
||||
Видно, что амплитуда смещения имеет максимум при некоторой частоте, которую называют резонансной рез
Чтобы определить резонансную частоту, нужно найти максимум функции B( ) , или, что то же самое,
минимум подкоренного выражения в знаменателе. Продифференцировав подкоренное выражение по
и приравняв его нулю, получим условие, определяющее рез .
[( 02 2 )2 4 2 2 ] 4( 02 2 ) 8 2 0
[( 02 2 )2 4 2 2 ] 4( 02 2 ) 8 2 0
Это равенство выполняется при: 0; 02 2 2
Физический смысл имеет лишь положительный корень. Следовательно, резонансная частота:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рез |
02 |
2 2 |
|
|
|
|||
Значение резонансной амплитуды: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Bрез |
|
F0 m |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 02 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
Отсюда: при 0 |
рез |
0 |
Bрез |
|||||||
|
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных |
||
|
колебаний при приближении частоты вынуждающей |
||
|
силы к частоте, равной или близкой собственной часто- |
||
|
|
|
|
|
те колебательной системы, называется механическим |
||
|
резонансом. |
||
B |
|
На рисунке |
|
|
|
представлены |
|
|
|
резонансные кривые , |
|
|
|
то есть зависимости |
|
|
|
амплитуды |
|
|
|
вынужденных |
|
|
|
колебаний от частоты |
|
|
|
для разных |
|
|
|
коэффициентов |
|
|
|
затухания. |
|
При малом затухании: 2 02 , |
Bрез |
F0 m |
|
|
2 0 |
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Разделим полученную резонансную амплитуду на статическое смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы той же величины
Bст F0 
m 02
|
Bрез |
|
F |
|
m 2 |
|
|
0 |
|
T |
|
2 |
|
|
Q |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
B |
m2 |
|
2 |
2d |
d |
||||||||||
|
|
0 |
|
F |
|
|
2 T |
|
|
|
||||||
|
ст |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Добротность показывает, во сколько раз амплитуда в момент резонанса превышает статическое смещение системы при одинаковой силе.
Зависимость сдвига фазы вынужденных колебаний относительно вынуждающей силы для различных
|
коэффициентов затухания : |
|
|
|
arctg |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
02 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1. 0 |
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
рез |
|
|||||
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
рез arctg |
|
02 2 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
рез 0 |
2 |
|
||||
|
3. 0 ; рез 0 |
; 2 . , |
|
|
|
|
|
|
|||