Ускорение равно нулю при прохождении телом положения равновесия и достигает наибольшего значения, равного амплитуде ускорения при наибольших
смещениях, то есть смещение и ускорение находятся в |
|
|
). |
противофазе (ускорение опережает смещение на |
|
Основное уравнение динамики гармонических колебаний
|
|
|
||||
|
Исходя из второго закона, |
F ma , можно записать: |
||||
|
F m 2 Acos( |
t |
0 |
) m 2 x (1) |
||
|
x |
0 |
0 |
х и |
0 |
|
сила |
F пропорциональна |
|
всегда направлена к |
|||
положению равновесия ( поэтому ее и называют
возвращающей силой ).
Период и фаза силы совпадают с периодом и фазой ускорения.
Примером сил, удовлетворяющих (1) являются упругие силы. Силы же имеющие иную природу, но удовлетворяющие (1), называются квазиупругими.
Fx kx,
где k – коэффициент квазиупругой силы.
Сравнивая , видим, что ω02 |
k |
ax d2 x |
|
m |
|||
|
dt2 |
Получим основное уравнение динамики гармонических колебаний, вызываемых упругими силами:
m |
d2 x |
kx ; |
m |
d2 x |
kx 0; |
d2 x |
|
k |
x 0 |
||||
dt |
2 |
dt2 |
dt2 |
m |
|||||||||
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
d |
2 |
x |
ω02 x 0 |
Основное уравнение |
||||||||
|
|
динамики гармонических |
|||||||||||
|
dt2 |
|
|
|
колебаний (гармоничес- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
кого осциллятора) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение этого уравнения всегда будет выражение вида:
x Acos( 0t 0 )
Круговая частота колебаний ω0 2Tπ , но так
|
|
k |
|
|
2 |
|
|
|
|
как |
ω02 |
, то |
0 |
|
k |
|
|||
m |
m |
|
|||||||
|
|
|
|
T |
|
|
|
||
Период колебаний груза на пружине:
T 2 
mk
Энергия гармонических колебаний
Потенциальная энергия тела U измеряется той работой, которую произведет возвращающая сила Fx kx . Так как
Fx dU dx
dU Fxdx kxdx
x
U k xdx или
0
потенциальная энергия выражается следующим образом:
U kx22 12 kA2 cos2 ( 0t 0 )
или |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 cos2( 0t 0 ) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
U |
4 kA |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кинетическая энергия |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
m 2 |
|
kA2 |
sin2 |
( 0t 0 ) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
kA2 |
1 cos 2( 0t 0 ) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Из формул, приведенных в рамках следует, что U и K |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, которая в два раза |
||||
изменяются с частотой 0 |
||||||||||||||||
превышает частоту гармонического колебания.
Сложив выражения для U и K, получим формулу для
полной энергии:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E K U 1 kA2 |
mA2 02 |
const |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консервативна.
На рисунках представлены графики зависимости x , U и K от времени.
Из графиков видно, что
происходит переход кинетической энергии в потенциальную и наоборот,
но их сумма в любой
момент времени постоянна.
Из ранее полученных формул
для U и |
K (а также |
|
учитывая, что |
1 |
|
sin2 |
cos2 |
|
следует: |
|
2 |
|
|
|
K 
U 
E2
Свободные незатухающие колебания
Пружинный маятник – это
груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине с жесткостью k, совершающий гармонические колебания под
действием упругой силы Fx kx
Из второго закона Ньютона
F = mа или F = - kx получим уравнение движения маятника:
|
d 2 x |
|
|
d 2 x |
|
k |
||
m |
dt |
2 |
kx |
или |
dt2 |
|
|
x 0 |
|
||||||||
|
|
|
m |
|||||
Решение этого уравнения – гармонические колебания
вида: |
x Acos( 0t 0 ) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
циклическая частота ω0 |
k |
; |
|||
|
m |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
период |
T 2 |
m |
k |
||
|
|