Второй закон Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний вдоль оси x :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
max |
kx r x |
|
|
|
||||||||
где kx – возвращающая сила, r x |
– сила трения. |
|||||||||||||||
После несложных преобразований имеем: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
k |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x m x m x 0 |
|
|
|||||||||
Введем обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
квадрат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
коэффициент |
|||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
частотысобственной |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
затухания |
|||||||||||
|
|
|
|
2m |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
m |
0 |
незатухающих |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
колебаний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний:
x 2 x 02 x 0
Решение этого уравнения (при 0 ) имеет вид:
x А0e t cos( t )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частота колебаний: |
|
|
02 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Условный период: |
T |
2 |
|
|
2 |
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
02 2 |
|||||||||
Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому
затухающие колебания не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или
частоты. Однако, если затухание мало,
то можно условно |
x, |
пользоваться понятием |
x |
периода как проме- |
|
жутка времени между |
|
двумя последователь- |
|
ными максимумами |
|
(или минимумами) |
|
колеблющейся |
|
физической величины. |
|
|
|
Зависимость
|
|
|
x А e t cos( t ) |
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(на рисунке показана |
|||||
|
|
|
сплошной линией) можно |
|||||
|
|
|
рассматривать как |
|||||
|
|
|
гармоническое колебание с |
|||||
|
|
|
амплитудой, |
|||||
|
|
|
изменяющейся во времени |
|||||
|
|
|
по закону: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
A(t) А e t |
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
Здесь А0 - начальное значение |
|
амплитуды. |
|
||||
|
Зависимость A(t) |
на рисунке показана пунктирными |
||||||
линиями.
Основные параметры (характеристики)
затухающих колебаний
|
|
|
e |
|
- время, за которое амплитуда |
|||||||
Время релаксации - |
|
|
||||||||||
уменьшается в |
раз. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
e |
тогда |
|
1/ |
|
||||||||
|
e |
e |
|
|
|
|||||||
|
A0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1/ |
|
|
|
||||
Последнее выражение дает: |
|
|
|
|||||||||
Следовательно, |
коэффициент |
затухания |
– есть |
|||||||||
физическая величина, обратная времени, в течение |
||||||||||||
которого амплитуда уменьшается в |
е = 2,7 |
раз. |
||||||||||
Число колебаний Ne - число колебаний, по истечении |
|
которых, амплитуда уменьшается e раз. |
|
NeT |
Ne T 1 T |
Логарифмическим декрементом затухания d называется натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через период Т.
|
A(t) |
ln e T T |
d T |
|
d ln |
|
|
||
|
d 1 Ne |
|||
A(t T ) |
||||
То есть можно записать: |
|
|
||
A(t) |
ed |
Это означает, что логарифмический |
|
декремент характеризует, |
|||
A(t T ) |
|||
|
насколько убывает амплитуда |
||
|
|
колебаний за период |
Добротность Q является важнейшей характеристикой колебательной системы, которая при малых значениях коэффициента затухания равна
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
Ne |
|
0 |
|
|
|
|
T0 |
|
|
|||
|
|
d |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(так как затухание мало ( 2 02 ), тоT принято
равным T0 ).
Для определения физического смысла добротности
рассмотрим, как изменяется энергия колебаний. Полная энергия складывается из кинетической энергии и
потенциальной: E = K + U
E 12 mx2 12 kx2
При малом затухании: |
|
|
|
|
E 1 kA |
2e 2 t |
|
||
|
|
|||
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее значение энергии за период:
1 |
T |
1 T 1 |
1 |
||
E |
|
0 Edt |
|
0 2kA02e 2 t dt 2 kA02e 2 t |
|
T |
T |
||||
Средняя энергия, которая теряется в единицу времени:
dtd E 12 kA02 2 e 2 t 2 E
Тогда убыль энергии за период:
EТ dtd E T 2 T E
Физический смысл добротности:
|
Q 2 |
E |
|
|
|
|
E |
|
|
||
|
|
||||
|
|
Т |
|
|
|
Добротность пропорциональна отношению средней энергии, запасенной осциллятором за период, к средним потерям энергии за период.
Приведенное определение позволяет получить выражения для добротности через рассмотренные параметры осциллятора:
|
Q 2 |
|
|
E |
|
|
1 2 |
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 E T |
|
2 T |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
T d |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или: |
Q |
|
|
N |
e |
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
d |
T |
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Вынужденные колебания гармонического
Чтобы в реальнойосциллятораколебательной системе получить
незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого- либо периодически действующего фактора X (t) , изменяющегося по гармоническому закону:
X (t) X0 cos( t)
Если рассматривать механические колебания, то роль
X (t) играет внешняя вынуждающая сила
F(t) F0 cos( t)