4908

20

дующим образом. Возьмем на восстановленном перпендикуляре произвольную точку Е (Е//, Е/)/ и найдем натуральную величину отрезка АЕ. На натуральной величине откладываем расстояние Н и на перпендикуляре находим точку К (К//, К/), отстоящую от плоскости треугольника на расстоянии Н. Через полученную точку К (К//, К/) проводим плоскость, параллельную плоскости треугольника АВС. Как известно, две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. В нашем случае эту плоскость целесообразно задать двумя пересекающимися прямыми, проходящими через точку К (К//, К/) и параллельными двум любым сторонам треугольника АВС.

Задача 6. ЧЕРЕЗ ВЕРШИНУ В ТРЕУГОЛЬНИКА АВС ПРОВЕСТИ ПЛОСКОСТЬ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНУЮ К СТОРОНЕ АС. ПОСТРОИТЬ ЛИНИЮ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЭТОЙ ПЛОСКОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ ТРЕУГОЛЬНИКА АВС.

Данные для своего варианта взять из табл. 2. Пример решения задачи приведен на рис. 17. Задачу рекомендуется решать в масштабе 2:1.

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ 6

1. По заданным координатам точек А, В, С строим проекции треугольника АВС.

2. Искомую плоскость, перпендикулярную к стороне АС, следует задать двумя пересекающимися прямыми (горизонталью и фронталью), перпендикулярными к стороне АС, ограничив их в произвольных точках 1 и 2.

Пример решения задачи дан на рис. 17.

Рис. 17 Плоскость треугольника В12 перпендикулярна к стороне АС, так как содер-

жит две пересекающиеся прямые (горизонталь В 2 и фронталь В1) , перпендикулярные к стороне АС.

3. Для построения линии пересечения двух плоскостей, заданной (треугольник АВС) и построенной (треугольник В12), необходимо найти две общие точки. Одна общая точка В (В//,В/) имеется. Вторую точку определим,

21

найдя точку пересечения стороны 12 с плоскостью треугольника АВС, для чего:

3.1. Через прямую 12 проведем дополнительную фронтально– проецирующую плоскость α//.

Таблица 2

22

23

3.2.Найдем линию пересечения дополнительной плоскости α// с плоскостью треугольника АВС (Линия 3 - 4).

3.3.Найдем точку К (К//,К/) пересечения стороны 12 с плоскостью треугольника АВС. Соединив точки В и К, определим линию пересечения двух треугольников.

3.4.Видимость сторон треугольников определяется способом конку-

рирующих точек. Подробно этот вопрос рассмотрен при решении задачи 2.

ЛИСТ 3 (Задачи 7, 8, 9)

Пример оформления листа показан на рис. 27. Точки А, В, С, Д заданы своими координатами. Требуется решить следующие задачи.

Задача 7. ОПРЕДЕЛИТЬ НАТУРАЛЬНУЮ ВЕЛИЧИНУ ТРЕУГОЛЬНИКА АВС СПОСОБОМ ВРАЩЕНИЯ ВОКРУГ ЛИНИИ УРОВНЯ.

Данные для своего варианта взять из табл. 3. Пример решения задачи приведен на рис. 19.

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ 7

1.По заданным координатам точек А, В, С строятся проекции треугольника АВС.

2.Для определения натуральной величины треугольника АВС надо повернуть его вокруг горизонтали или фронтали так, чтобы в результате этого вращения треугольник расположился параллельно горизонтальной или фронтальной плоскости проекций.

3.На рис. 19 показано вращение треугольника АВС вокруг горизонтали

АЕ.

При этом вращении точки А и Е, расположенные на оси вращения, остаются на месте. Рассмотрим вращение точки В. Точка В, вращаясь вокруг

горизонтали АЕ, описывает дугу окружности, лежащую в плоскости, перпендикулярной к оси вращения (горизонтали АЕ). Опуская из проекции В/ перпендикуляр на А/Е/, находим горизонтальную проекцию центра вращения – точку О/ – и горизонтальную проекцию радиуса вращения точки В - отрезок О/В/, а затем фронтальную проекцию центра вращения – точку О// – и фронтальную проекцию радиуса вращения точки В - отрезок О//В//.

Если треугольник займет положение, параллельное горизонтальной плоскости, то радиус вращения точки В - отрезок ОВ (О/В/, О//В//) будет в натуральную величину. Определив по способу прямоугольного треугольника натуральную величину радиуса вращения точки В, находим новое положение

точки В1/ . Новое положение точки С1/ можно найти, не определяя радиуса

24

вращения точки С в пересечении двух прямых, из которых одна является перпендикуляром, проведенным из горизонтальной проекции С/ к горизонтальной проекции горизонтали А/Е/, а другая проходит через найденную точ-

ку В1/ - и точку Е/ (горизонтальную проекцию точки Е, принадлежащей стороне ВС и расположенной на оси вращения).

Рис. 19

Горизонтальная проекция А/ В1/ С1/ есть натуральная величина тре-

угольника АВС, так как после вращения его плоскость параллельна горизонтальной плоскости проекций.

Задача 8. ОПРЕДЕЛИТЬ НАТУРАЛЬНУЮ ВЕЛИЧИНУ ТРЕУГОЛЬНИКА АВС СПОСОБОМ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ.

Данные для своего варианта взять из табл. 3. Пример решения задачи приведен на рис. 22.

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ 8

1.По заданным координатам точек А, В, С строятся проекции треугольника АВС.

2.Предварительно рассмотрим некоторые свойства способа плоскопараллельного перемещения.

25

Отметим, что при перемещении прямой линии или любой плоской фигуры (в нашем случае треугольник АВС) в плоскостях, параллельных горизонтальной плоскости проекций, его горизонтальная проекция А/В/С/ величине не изменяется, а фронтальные проекции точек перемещаются по линиям, параллельным оси Х (рис. 20).

Рис. 20

При перемещении треугольника в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, его фронтальная проекция А//В//С// по величине не изменяется, а горизонтальные проекции точек перемещаются по линиям, параллельным оси Х (рис. 21).

Рис. 21

3. На рис. 22 показано построение для определения натуральной величины треугольника АВС.

В плоскости треугольника АВС проводим горизонталь АЕ (А//Е//, А/Е/ ). Перемещаем треугольник АВС в новое положение, при этом его горизонтальная проекция А/В/С/ без изменения ее размеров перемещается в новое по-

26

ложение А1/ В1/ С1/ так, чтобы горизонталь АЕ оказалась перпендикулярной к фронтальной плоскости.

Рис. 22

В плоскости треугольника АВС проводим горизонталь АЕ (А//Е//, А/Е/ ). Перемещаем треугольник АВС в новое положение, при этом его горизонтальная проекция А/В/С/ без изменения ее размеров перемещается в новое по-

ложение А1/ В1/ С1/ так, чтобы горизонталь АЕ оказалась перпендикулярной к

фронтальной плоскости. В результате этого фронтальная проекция треугольника в новом положении превратится в прямую, то есть в новом положении

С1// А1// В1// плоскость треугольника стала перпендикулярной к фронтальной

плоскости проекций.

Перемещаем треугольник в новое положение, при этом его фронтальная проекция по величине не изменяется и располагается параллельно горизонтальной плоскости проекций. В новом положении треугольник АВС оказывается параллельным горизонтальной плоскости, а его горизонтальная

проекция А2/ В2/ С2/ представляет натуральную величину.

Задача 9. ОПРЕДЕЛИТЬ РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ Д ДО ПЛОСКОСТИ ТРЕУГОЛЬНИКА АВС.

Данные для своего варианта взять из табл. 3. Пример решения задачи приведен на рис. 26.

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ 9

1.По заданным координатам точек А, В, С, Д строятся проекции треугольника АВС и точки Д.

2.Сущность способа перемены плоскостей проекций заключается в том, что положение изображаемых точек, линий, плоских фигур в простран-

27

стве остается неизменным, а система плоскостей, в которой заданы проекции, заменяется новой системой двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Новая система плоскостей выбирается так, чтобы получить положение, наиболее удобное для решения задачи.

3. Рассмотрим сущность способа перемены плоскостей проекций на примере точки.

На рис. 23 показано введение в систему плоскостей проекций π1 π2 плоскости π3, перпендикулярной к π1, и образование новой системы π1 π3.

Плоскость π1 входит в обе системы, поэтому положение горизонтальной проекции точки А1 в старой и новой системах не изменяется. Так как А//Ах

= АА/ = А1/// Ах , то построение фронтальной проекции точки А в новой системе А1/// не вызывает затруднений.

Рис. 23

На рис. 24 показано введение в систему плоскостей π1 π2 плоскости π3, перпендикулярной к π2, и образованию новой системы π2 π3.

Рис. 24

Плоскость π2 входит в обе системы, поэтому положение фронтальной проекции точки А// в старой и новой системах не изменяется. Так как АХА/ =

28

АА// = Ах1 А1/// , то построение горизонтальной проекции точки А в новой сис-

теме А1/// не вызывает затруднений.

Итак, при замене одной из плоскостей проекций расстояние от старой оси до заменяемой проекции равно расстоянию от новой оси до новой проекции.

4. При решении задач упрощается ряд построений, если участвующие в них плоскости являются проецирующими, а не общего положения. Например, если бы плоскость треугольника АВС была фронтально-проецирующей, то нахождение расстояния от точки Д до плоскости треугольника заключалось бы лишь в проведении перпендикуляра из фронтальной проекции точки на фронтальную проекцию плоскости А//В//С// (рис. 25).

Рис. 25

Отрезок Д//К// определяет искомое расстояние.

5. На рис. 26 показано определение расстояния от точки Д до плоскости треугольника АВС.

Если плоскость, заданная треугольником АВС, станет в новой системе π1 π3 проецирующей, то расстояние от точки Д до плоскости треугольника АВС определится, как показано на рис. 25.

Поэтому, вводя дополнительную плоскость проекций π3 ┴ π1 надо расположить ее перпендикулярно и к плоскости АВС. Но чтобы это сделать, надо плоскость π3 расположить перпендикулярно к горизонтали плоскости треугольника. Поэтому, в плоскости АВС проведена горизонталь АЕ и новая ось Х1(π1/ π3) проведена перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали А/Е/. В результате построения плоскость треугольника АВС в новой системе стала фронтально-проецирующей и решение задачи свелось к построению, показанному на рис. 25.

Отрезок Д1// К1// определяет искомое расстояние.

29

Рис. 26

Таблица 3