4908

10

Задача1. ПОСТРОИТЬ СЛЕДЫ ПЛОСКОСТИ, ЗАДАННОЙ ТРЕУГОЛЬНИКОМ АВС.

Данные для своего варианта взять из табл. 1. Пример решения задачи приведен на рис. 4, 5.

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ 1

1.По заданным координатам точек А, В, С строятся проекции треугольника.

2.Известно, что прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие данной плоскости.

На рис. 3 представлен треугольник ABC, принадлежащий плоскости α.

Рис. 3

Очевидно, что для любой прямой, принадлежащей плоскости α, ее следы (точки пересечения с плоскостями проекций) находятся на одноименных с ними следах плоскости.

Следовательно, для построения следов плоскости, заданной треугольником, необходимо найти следы двух любых сторон треугольника. Построение показано на рис. 4. Найдем горизонтальные следы (точки пересечения с плоскостью π1) сторон АВ и АС и фронтальный след (точку пересечения с фронтальной плоскостью π2) стороны АС. Через горизонтальные

проекции точек М1/ и М 2/ проводим горизонтальный след плоскости f0// и,

11

найдя точку схода следов Хα, проводим фронтальный след плоскости Pv через фронтальную проекцию точки N1// .

Может оказаться, что точка схода следов Рх не получится в пределах чертежа, в этом случае необходимо найти горизонтальные и фронтальные следы двух любых сторон треугольника и провести следы плоскости (рис. 5).

Задача 2. ПОСТРОИТЬ ТОЧКУ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ ДЕ С ПЛОСКОСТЬЮ ТРЕУГОЛЬНИКА АВС.

Данные для своего варианта взять из табл. 1. Пример решения задачи приведен на рис. 7.

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ 2

1.По заданным координатам точек А, В, С, Д, Е строятся проекции треугольника АВС и прямой ДЕ.

2.Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения необходимо выполнить следующее (рис. 6):

2.1.Через данную прямую ДЕ провести некоторую вспомогательную плоскость α.

2.2.Построить линию МN пересечения заданной плоскости и вспомогательной.

2.3.Определить положение точки К пересечения прямых ДЕ и построенной МN.

12

Рис.6

На рис. 7 показано построение точки пересечения прямой ДЕ с плоскостью общего положения, заданной треугольником АВС.

Через прямую проведена вспомогательная фронтально – проецирующая плоскость α//. Выбор здесь фронтально – проецирующей плоскости объясняется удобством нахождения пересечения ее фронтального следа с фронтальными проекциями A//C// и B//C//. По точкам M// и N// найдены их горизонтальные проекции M/ и N/ и тем самым определена прямая МN, по которой вспомогательная плоскость α пересекает плоскость треугольника АВС. Затем найдена точка К, в которой горизонтальная проекция прямой Д/Е/ пересекает проекцию M/N/. После этого найдена фронтальная проекция точки пересечения — точка К//.

Для определения видимости надо сравнить положение двух точек, из которых одна принадлежит прямой, а другая - плоскости треугольника. Определим видимость на горизонтальной проекции, для чего рассмотрим положение точек 1 и 2. Точка 2 принадлежит прямой ДЕ, а точка 1 стороне АС. На горизонтальной проекции видима та точка, фронтальная проекция которой расположена дальше от оси X. В нашем случае дальше находится фронтальная проекция 2//, принадлежащая прямой ДЕ, следовательно, горизонтальная

проекция точки 2/ видима и горизонтальная проекция прямой Д/Е/ на участке 2/ К/ видима.

13

Рис. 7

Аналогично определяем видимость на фронтальной проекции. Рассмотрим положение точек М (М//, М/) и 3(3//, 3/). Фронтальные проекции М// и 3// этих точек совпали. Из двух проекций М// и 3// будет видима та, горизонтальная проекция которой дальше от оси X. В нашем случае дальше горизонтальная проекция точки М/. Так как точка М принадлежит прямой АС, то

фронтальная проекция этой прямой А//С// видима, а фронтальная проекция прямой Д//Е// на участке М// К// невидима.

Задача 3. ПОСТРОИТЬ ЛИНИЮ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ АВС И ЕДК И ПОКАЗАТЬ ВИДИМОСТЬ ИХ В ПРОЕКЦИЯХ.

Данные для своего варианта взять из табл. 1. Пример решения задачи приведен на рис. 11. Задачу рекомендуется решать в масштабе 2:1.

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ 3

1.По заданным координатам точек А, В, С, Д, Е, К строятся проекции треугольников АВС и ДЕК.

2.Линию пересечения треугольников АВС и ДЕК можно построить, найдя точки пересечения сторон одного треугольника с плоскостью другого. На рис. 8 линия пересечения ММ представлена точками пересечения сторон АВ и ВС с плоскостью треугольника ДЕК. На рис. 9 линия пересечения ММ представлена точками пересечения сторон ДЕ и ДК с плоскостью треугольника АВС. На рис. 10 линия пересечения ММ представлена точкой пересече-

14

ния стороны АВ с плоскостью треугольника ДЕК и точкой пересечения стороны ДК с плоскостью треугольника АВС.

На рис. 11 показано нахождение линии пересечения треугольников

АВС и ДЕК.

Рис. 11 Построение свелось к нахождению точки М пересечения прямой АВ с

плоскостью треугольника ДЕК и точки N пересечения прямой ЕК с плоскостью треугольника АВС.

В первом случае через прямую АВ проведена фронтальнопроецирующая плоскость α//, найдена линия пересечения плоскости α// и треугольника ДЕК ( линия 12 ) и найдена точка М (М//, М/ ) пересечения прямой АВ с плоскостью треугольника ДЕК.

Во втором случае через прямую ЕК проведена горизонтальнопроецирующая плоскость 1/ найдена линия пересечения плоскости β/ и тре-

15

угольника АВС (линия 3-4) найдена точка N (N//, N/) пересечения прямой ЕК с плоскостью треугольника АВС.

3. Для определения видимости надо сравнить положение двух точек, из которых одна принадлежит прямой, а другая плоскости треугольника и у которых совпадают горизонтальные или фронтальные проекции. Подробно этот вопрос рассмотрен при решении задачи 2.

16

17

ЛИСТ 2 (Задачи 4, 5, 6)

Пример оформления листа показан на рис.18. Точки А, В, С, Д заданы своими координатами. Требуется решить следующие задачи.

Задача 4. ОПРЕДЕЛИТЬ РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ Д ДО ПЛОСКОСТИ ТРЕУГОЛЬНИКА АВС.

Данные для своего варианта взять из табл. 2. Пример решения задачи приведен на рис. 14.

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ 4

1. По заданным координатам точек А, В, С, Д строятся проекции треугольника АВС и точки Д

2. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, определяющим плоскость, то она перпендикулярна к этой плоскости.

На рис. 13 плоскость определена двумя пересекающимися прямыми го- ри-зонталью АВ и фронталью АС. Прямая АД перпендикулярна к прямым АВ и АС: следовательно, она перпендикулярна к плоскости, определяемой этими прямыми.

Рис. 13

Следовательно, если прямая перпендикулярна к плоскости, то:

а) фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали этой плоскости; б) горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна к горизон-

тальной проекции горизонтали этой плоскости.

18

3. На рис.14 показано определение расстояния от точки Д до плоскости треугольника АВС

Рис. 14

В плоскости треугольника АВС проведена горизонталь А1 и фронталь А2. Фронтальная проекция перпендикуляра, проведенная из проекции Д//, перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали А//2//, а горизонтальная проекция перпендикуляра, проведенная из проекции Д/, перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали А/1/.

Для нахождения точки пересечения проведенного перпендикуляра с плоскостью треугольника через него проведена вспомогательная фронталь- но-проецирующая плоскость α//; найдена линия пересечения 34 вспомогательной плоскости и треугольника АВС и определена точка К (К//, К/) пересечения перпендикуляра с плоскостью треугольника.

4. Натуральная величина отрезка ДК определена по способу прямоугольного треугольника.

Задача 5. ПОСТРОИТЬ ПЛОСКОСТЬ, ПАРАЛЛЕЛЬНУЮ ПЛОСКОСТИ ТРЕУГОЛЬНИКА АВС И ОТСТОЯЩУЮ ОТ НЕЕ НА РАССТОЯНИИ

Н.

Данные для своего варианта взять из табл. 2. Пример решения задачи приведен на рис. 16.

19

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ 5

1. По заданным координатам точек А, В, С строятся проекции треугольника АВС.

2. План решения задачи может быть определен следующим образом:

2.1.Из любой точки, принадлежащей плоскости треугольника (целесообразно использовать одну из вершин треугольника), восстанавливаем перпендикуляр к плоскости.

2.2.На перпендикуляре находим точку, отстоящую от плоскости треугольника на расстоянии Н.

2.3.Через полученную точку проводим плоскость, параллельную заданной (рис. 15).

Рис. 15 3. Пример построения дан на рис. 16. Берем в плоскости треугольника

произвольную точку. В нашем примере за эту точку принимаем одну из вершин треугольника, например, точку А.

Строим проекции перпендикуляра, восстановленного из точки А к плоскости треугольника, для чего в плоскости треугольника проводим горизонталь А1 и фронталь А2. Горизонтальная проекция перпендикуляра расположена под прямым углом к горизонтальной проекции горизонтали А/1/, а фронтальная проекция - к фронтальной проекции фронтали А//2//.

Рис. 16 На перпендикуляре, восстановленном к плоскости треугольника из точки

А, необходимо отложить расстояние Н. Так как расстояние Н есть натуральная величина, а перпендикуляр - прямая общего положения, поступаем сле-