Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4811

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

1.9 Mб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Г. Ф. МОРОЗОВА»

МАТЕМАТИКА

Методические указания к расчетно-графической работе

для студентов по направлению подготовки

15.03.04 – Автоматизация технологических процессов и производств

Воронеж 2018

УДК 517.9

Веневитина, С.С. Математика [Электронный ресурс] : методические указания к расчетно-графической работе для студентов по направлению подготовки 15.03.04 – Автоматизация технологических процессов и производств / С.С. Веневитина, В.В. Зенина, И.В. Сапронов; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2018. – 48 с.

Одобрено решением учебно-методического совета ФГБОУ ВО «ВГЛТУ»

(протокол № 6 от 23.03.2018)

Рецензент д-р физ.-мат. наук, профессор Воронежского государственного педагогического университета В.В. Обуховский

Методические указания к выполнению расчетно-графических работ по дисциплине «Математика» предназначены для студентов ФГБОУ ВО «Воронежский государственный лесотехнический университет», обучающихся по направлению подготовки 15.03.04 – «Автоматизация технологических процессов и производств».

Дисциплина «Математика» изучается в течение трех семестров, в каждом из которых необходимо выполнить одну РГР.

Предложены несколько вариантов расчетно-графических работ по каждому из разделов «Дифференциальное исчисление функции одной переменной», «Интегральное исчисление функции одной переменной», «Математическая статистика».

В целях качественного выполнения студентами расчетно-графических работ даны необходимые рекомендации и образцы выполнения этих работ. Они будут особенно полезны при самостоятельном изучении дисциплины «Математика».

Материалы данной учебно-методической разработки по содержанию, форме изложения и объѐму соответствуют задачам дисциплины и требованиям стандарта соответствующего направления подготовки.

Оглавление

1. РГР № 1 «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»……………………………………………………………………… 4

1.1.Теоретический материал………………………………………………........ 4

1.2.Варианты РГР………………………………………………………………. 7

1.3.Образец решения РГР……………………………………………………… 8

2. РГР № 2 «Определенный интеграл и его приложения»………………… 15

2.1. Теоретический материал………………………………………………........ 15

2.2. Варианты РГР……………………………………………………………….. 17

2.3. Образец решения РГР………………………………………………………. 29

3. РГР № 3 «Теория корреляций»…………………………………………. 35

3.1.Теоретический материал…………………………………………………… 35

3.2.Варианты РГР……………………………………………………………….. 37

3.3.Образец решения РГР………………………………………………………. 42

Приложение……………………………………………………………………… 47

Библиографический список…………………………………………………… 48

1. РГР №1 «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»

1.1. Теоретический материал. Правила дифференцирования:

1.(u v) u v ;

2.(u v) u v u v ;

;

C const ;

(C u)

C u

u ,

C const ;

u v u v

;

C v

C (v

C const .

)

Производная сложной функции
Если функция u (x) имеет производную		u	в точке x , а			функция
		x
y f (u) имеет производную	y в соответствующей			точке	u (x) , то
	u
сложная функция y f ( (x))	имеет производную	y		в точке	x ,	которая
			x

находится по формуле

yx yu ux .

Производные

основных

элементарных

функций

(таблица

производных)

1. (xn ) n xn 1 ;

2. (x) 1;

;

(

x )

3.(a x ) a x ln a ;

4.(ex ) ex ;

5.		1	;

	(log a x)	x ln a

6.(ln x) 1x ;

7.(sin x) cos x ;

8.(cos x) sin x ;

tgx

;

cos2

10.

ctgx

;

sin2

11.

;

(arcsin x)

1 x2

12.

(arccos x)

;

13.

(arctg x)

;

1 x2

14.

(arctg x)

1 x2

Производные высших порядков

Производная y

функции

y f (x)

есть также функция от

x и

f (x)

называется производной первого порядка.

Если

функция

дифференцируема,

то ее

производная

f (x)

или

( y )

( f (x)) называется производной второго порядка и обозначается y

f (x) .

Производная от производной второго порядка ( y

называется

)

( f (x))

производной третьего порядка и обозначается y

или

(x) .

Производной

n -го

порядка

(или n -й поизводной)

называется

производная от производной

(n 1) -го порядка:

y(n) ( y( n 1) ) .

Применение производной к исследованию функций

Необходимые условия возрастания (убывания) функции:

Если дифференцируемая на интервале (a,b) функция f (x) возрастает (убывает), то f (x) 0, x (a,b) ( f (x) 0, x (a,b) .

Достаточные условия возрастания (убывания) функции:

Если	функция f (x) дифференцируемая на интервале (a,b) и	f
			(x) 0 ,
x (a,b) , то эта функция f (x) возрастает на интервале (a,b) .
Если	функция f (x) дифференцируемая на интервале (a,b) и	f
			(x) 0 ,

x (a,b) , то эта функция f (x) убывает на интервале (a,b) .

Необходимые условия существования экстремума функции:

Если дифференцируемая функция f (x) имеет экстремум в точке x0 , то ее производная в этой точке равна нулю: f (x0 ) 0 .

Достаточные условия существования экстремума функции:

Если непрерывная функция f (x) дифференцируема в некоторой -

окрестности критической точки x0 и при переходе через нее (слева направо)

производная меняет знак, то x0 – точка экстремума.

Если знак меняется с плюса на минус, то x0 – точка максимума.

Если знак меняется с минуса на плюс, то x0 – точка минимума.

Достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика функции:

Если

функция

f (x)

во

всех

точках

интервала

(a,b)

имеет

отрицательную вторую производную,

то есть

x (a,b) ,

то ее

(x) 0,

график – выпуклый (выпуклый вверх) на интервале (a,b) .

Если

функция

f (x)

во

всех

точках

интервала

(a,b)

имеет

положительную вторую производную,

то есть

x (a,b) ,

то ее

(x) 0,

график – вогнутый (выпуклый вниз) на интервале (a,b) .

Достаточные условия существования точек перегиба:

Если вторая производная

меняет знак

при переходе через точку

(x)

x0 (в которой

0 или

не существует), то

точка графика с

f (x0 )

(x0 )

абсциссой x0 –

точка перегиба.

1.2. Варианты Расчетно-графической работы по теме «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Задание: Исследовать методами дифференциального исчисления

функции и на основании результатов исследований построить их графики.

Вариант 1

y 3x x3 ;

б)

;

Вариант 2

9x 27 ;

б)

x3 4

;

3x2

б)

;

Вариант 3

а)

y 8 x

12x

36x ;

x2 2x

Вариант 4

а)

y 3x2 x3 ;

б)

;

x2 4x 3

12x ;

x 1 2

Вариант 5

а)

б)

;

x 2

21x

60x ;

x 3

Вариант 6

а)

б)

;

Вариант 7

а)

;

б)

;

6 2x2

Вариант 8

а)

9x 54 ;

б)

;

2x2 8

Вариант 9

а)

;

б)

x 4

;

2x3 21x2 60x ;

Вариант 10

а)

б)

;

2x 1

Вариант 11

а)

y x3

3x ;

б)

;

Вариант 12

а)

y 12x x3 ;

б)

;

Вариант 13

а)

x2 ;

б)

y x

;

Вариант 14

а)

y x3

5x2

3x 5;

б)

;

Вариант 15

а)

y x

x ;

б)

3 x2

x 2 ;

Вариант 16

а)

y x3

4x2

4x ;

б)

2x2

;

Вариант 17

а)

y x3

6x2

б) y x

;

Вариант 18

а)

y x3

5x2

3x 5

б)

(x 3)3

;

2)2

а)

3x 1;

(x 1)2

Вариант 19

б)

;

а)

3x 1;

Вариант 20

б)

x2 x 1

;

Вариант 21

а)

y x3

3x2

9x 9 ;

б)

;

2 2x

Вариант 22

а)

y x3

2x2

x 2 ;

б)

x3 8

;

2x2

Вариант 23

а)

y 3x5

5x3 ;

б)

;

2(x

1)2

Вариант 24

а)

y x4

2x2

б)

;

Вариант 25

а)

y x4

2x3

б)

( x

1)2

1.3. Образец выполнения РГР.

а) y x3 2x2 x 2

Проведем исследование функции по следующей схеме:

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.20211.83 Mб14806.pdf
#
08.01.20211.84 Mб24807.pdf
#
08.01.20211.86 Mб24808.pdf
#
08.01.20211.87 Mб24809.pdf
#
08.01.2021202.92 Кб2481.pdf
#
08.01.20211.9 Mб04811.pdf
#
08.01.20211.92 Mб64812.pdf
#
08.01.20211.92 Mб24813.pdf
#
08.01.20211.92 Mб44814.pdf
#
08.01.20211.92 Mб24815.pdf
#
08.01.20211.93 Mб74816.pdf