4476
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Воронежский государственный лесотехнический университет имени Г.Ф. Морозова»
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ПРОБЛЕМ ОБЕСПЕЧЕНИЯ БЕЗОПАСНОСТИ ДОРОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ АВТОТРАНСПОРТА
Методические указания для самостоятельной работы студентов по направлению подготовки
23.04.01 – Технология транспортных процессов
Воронеж 2018
УДК 656
2
Белокуров, В.П. Математические методы в системном анализе проблем обеспечения безопасности дорожного движения автотранспорта [Электронный ресурс] : методические указания для самостоятельной работы студентов по направлению подготовки 23.04.01 – Технология транспортных процессов / В. П. Белокуров, О. Н. Черкасов, Э.Н. Бусарин, Ю. В. Струков, Р.А. Кораблев; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2018. – 56 с.
Печатается по решению учебно-методического совета ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (протокол № … от ………….г.)
3
Оглавление
Введение ………………………………………..………………………..……4 1.Элементы теории игр ……………………………….………………………5
1.1.Основные определения и понятия……………………………………5
1.2.Матричные игры…………...……………………………..……………6
1.3.Приведение матричной игры к задаче линейного программирования………………………………………………………….9
1.4Статистические игры. Критерии для принятия решений…….……..13
2.Элементы теории массового обслуживания……………………...……...18
2.1.Основные понятия………………………………………………..…..18
2.2.Модели решения задач массового обслуживания.
Системы массового обслуживания с отказами……………………..…...21
2.3.Системы массового обслуживания с ожиданием и ограниченным ожиданием……………………………………………………………....…24
3.Модели управление запасами……………………………..……………...29
3.1.Основные понятия………………………………………………...….29
3.2.Основная модель управления запасами……………….………...…..30
Варианты заданий…………………………………………………..………..35
Библиографический список…………………………….……………..…….44
4
ВВЕДЕНИЕ
Переход к рыночной экономике в России привел к тому, что работа автомобильного транспорта слабо контролируется и зачастую плохо управляется. Вопросам использования современных методов прикладных исследований и системного анализа, оптимизации работы транспорта,
снижения затрат времени и средств, связанных с перевозкой, неблагоприятного воздействия подвижного состава на окружающую среду, повышения безопасности движения и другим не уделяется должного внимания.
Так, например, отсутствие точных методов прогнозирования объемов грузовых автомобильных перевозок приводит к значительным потерям, связанным, с одной стороны, с несвоевременной перевозкой производимой товарной продукции до места ее потребления, а с другой стороны - с недоиспользованием провозных возможностей подвижного состава.
Необходимы дальнейшие исследования, направленные на определение оптимальных схем перевозок, а также на обеспечение безопасности транспортного процеса.
В области теории автомобильных перевозок в настоящее время широко используются современные методы исследования, в частности методы системного анализа. Однако до сих пор практика автомобильных перевозок носит эмпирический характер.
Экономический рост России связан с увеличением транспортной подвижности населения и дальнейшим ростом числа транспортных средств, что вызывает усиление внимания к вопросам безопасности движения. России необходимо повышение сбалансированности и безопасности транспортной системы, ее интеграция в европейскую и мировую транспортную систему с учетом национальных особенностей и интересов.
5
Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР
1.1.Основные определения и понятия
1.1.1.В теории игр изучаются модели конфликтных ситуаций, которые могут возникнуть в экономике, в управлении запасами и других областях человеческой деятельности. Задачи теории игр состоят из разработки и определенных рекомендаций по принятию решений в условиях конфликтных ситуаций.
Определение 1.1. Ситуация называется конфликтной, если в ней участвуют стороны, интересы которых полностью или частично противоположны.
Под термином «игра» понимается совокупность предварительно оговоренных правил и условий, согласно которым действуют, по крайней мере, два участника (игрока), каждый из которых стремится к достижению собственных целей. Допустимые действия каждого из игроков, направленные на достижение некоторой цели, называются правилами игры.
1.1.2. Количественная оценка результатов игры vj (j= ), где n - число игроков, называется платежом или выигрышем.
Если vj >0 - выигрыш; vj < 0 - проигрыш;
vj = 0 — ничейный исход (j= ).
Вбольшинстве случаев имеют место игры с нулевой суммой, то есть когда для платежей всех участников игры выполняется условие: v1+v2+…+vn = 0.
Виграх с нулевой суммой выигрыш переходит от одного участника игры к другому, не поступая из внешних источников.
1.1.3. Игры, в которых участвуют два игрока, называются парными. Принятие игроком решения — это ход игры.
Ходы могут быть личные (выбран лично игроком) и случайные (выбран с помощью механизма случайного выбора).
Однозначное описание выбора игрока в каждой из возможных ситуаций, при которой он должен сделать личный ход, называется стратегией игрока.
Определение 1.2. Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает игроку максимально
6
возможный средний выигрыш (или минимально возможный средний проигрыш).
В зависимости от количества стратегий игры бывают конечные и
бесконечные.
В зависимости от вида функции выигрышей игры разделяются на матричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные и т.д.
Ограничимся рассмотрением конечных парных игр с нулевой суммой.
1.2.Матричные игры
1.2.1.Матричная игра задается матрицей размерности mxn, которая называется платежной матрицей. В игре участвуют два игрока.
Номер строки i (i = ) соответствует номеру стратегии Ai, которую может выбрать первый игрок P1 из m своих возможных стратегий. Второй игрок
Р2, не зная выбора первого, выбирает стратегию Bj (j= ) из n своих возможных стратегий. В результате первый игрок выигрывает величину aij, а второй проигрывает эту величину. Описанная игра однозначно определяется платежной матрицей. Такую игру называют конечной игрой размерности тхп.
|
B1 |
B2 |
… |
Bn |
|
|
|
|
|
A1 |
a11 |
a12 |
… |
a1n |
|
|
|
|
|
A2 |
a21 |
a22 |
… |
a2n |
|
|
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
|
Am |
am1 |
am2 |
… |
amn |
|
|
|
|
|
A = (aij) = , где .
1.2.2. Определение 1. . Число называется нижней чистой
ценой игры или максимином, а соответствующая ему стратегия (строка) —
максиминной. |
|
исло |
называется верхней чистой ценой игры или |
7
минимаксом , а соответствующая ему стратегия игрока (столбец) —
минимаксной.
Стратегии различаются на чистые и смешанные. Чистая стратегия Ai (i= ) первого игрока — это возможный ход первого игрока, выбранный им с
вероятностью, равной единице. Аналогично, чистая стратегия Bj (j= ) второго игрока — его возможный ход, выбранный им с вероятностью, равной единице.
Для пары стратегий Аi и Bj их чистые стратегии можно записать в виде:
Pi (0; …; 0; ; 0; …; 0) и qi (0; …; 0; ; 0; …; 0).
Теорема 1.1. В матричной игре нижняя цена игры всегда не превосходит верхней цены игры, то есть α ≤ β.
Если для чистых стратегий выполняется условие: α β ν, то игра называется игрой с седловой точкой. Число ν называется ценой игры.
Для игры с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе максиминной и минимаксной стратегий, которые являются оптимальными.
Пример 1.1. Найти решение матричной игры, заданной платежной матрицей
A = |
. |
Решение. Найдем максимин и минимакс игры, для чего запишем задачу в табл.1.
|
|
|
|
|
Таблица 1.1 |
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
αi |
A1 |
8 |
4 |
6 |
5 |
4 |
A2 |
2 |
3 |
4 |
7 |
3 |
A3 |
5 |
2 |
1 |
-1 |
-1 |
βi |
8 |
4 |
6 |
7 |
|
= max (4; 3; -1) = 4.
8
= min (8; 4; 6; 7) = 4,
следовательно, цена игры ν = α = β 4. Для пары стратегий (A1; B2) чистыми стратегиями будут P1 (0; 1; 0; 0) и q2 (1; 0; 0; 0), которые являются оптимальными стратегиями игроков.
1.2.3. Вектор р ( 1; …; ), где р 0
называется смешанной стратегией первого игрока. Каждая из компонент вектора p показывает относительную частоту использования игроком соответствующей чистой стратегии. Смешанная стратегия второго игрока —
это вектор q = (q1; …; qn), где qj 0 |
|
и |
Когда игра не имеет седловой точки, то для нахождения ее решения используются смешанные стратегии. При смешанных стратегиях игра носит случайный характер и величина проигрыша или выигрыша также становится случайной.
Для смешанных стратегий цена игры является функцией смешанных стратегий ν = f(p, q) и определяется по формуле:
|
|
(1.1) |
Определение 1.4. Стратегии p* = ( |
) и q* = ( |
) называются |
оптимальными, если для произвольных стратегий p и q выполняется условие:
|
f(p, q*) ≤ f(p*, q*) ≤ f(p*, q). |
|
||
|
Совокупность оптимальных стратегий и цены игры составляет решение задачи. |
|||
|
Теорема 1.2. Всякая матричная игра с нулевой суммой имеет решение в |
|||
смешанных стратегиях. |
|
|||
|
Теорема 1. . Для того чтобы смешанные стратегии p* = ( |
) и q* = |
||
( |
) были оптимальными для игроков А и В в игре с матрицей [aij]mxn и |
|||
выигрышем ν, необходимо и достаточно выполнение неравенств: |
|
|||
|
|
|
|
(1.2) |
|
|
|
|
|
9
(1.3)
Таким образом, чтобы проверить то, что (p·, q·, ν) являются решением матричной игры, достаточно проверить условие, удовлетворяют ли p· и q· неравенствам теоремы и уравнениям:
(1.4)
Теорема 1.4. Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то его выигрыш остается неизменным и равным цене игры независимо от того, какую стратегию применит другой игрок.
Теорема 1.5. Оптимальные смешанные стратегии p* и q* соответственно игроков A и B в матричной игре [aij]mxn с ценой игры ν будут оптимальными и в матричной игре [baij + c]mxn с ценой ν / = bν + c, где b > 0.
1.3. Приведение матричной игры к задаче линейного программирования
1.3.1.Рассмотрим матричную игру размерности mxn с матрицей
A = |
. |
Обозначим через р* = (p1; ...; рm) и q* = (q1; …; qn) — оптимальные смешанные стратегии игроков А и В. Стратегия игрока А гарантирует ему выигрыш не меньше ν, независимо от выбора стратегии βj игроком В. Согласно вышеизложенным теоремам запишем:
(1.5)
где p1 + p2 + … + pm = 1; pi 0 ( |
|
) |
(1.6) |
10
Аналогично стратегия q* игрока В гарантирует ему проигрыш не больше ν независимо от выбора стратегии Ai игроком А, то есть
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1. ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где q1 + q2 + … + qn = 1; qj |
0 (j = |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.8) |
|||||
Цена игры ν 0 всегда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разделим обе части каждого из неравенств на положительное число ν, |
||||||||||||||||
введя обозначения pi /ν |
xi; qi /ν |
|
yj |
|
(i = |
|
|
; j = |
|
), получим |
пару |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
двойственных задач. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти минимальное значение функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f (x) = x1 + x2 + … + xm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.9) |
(если игрок А максимизирует цену игры ν, то обратная величина |
|
|
будет |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
минимизироваться) при ограничениях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.10) |
где x1 + x2 + … + xm = 1/ν; |
xi |
0 (i = |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
(1.11) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
и найти максимальное значение функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
G (y) = y1 + y2 + … + yn – max, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.12) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где y1 + y2 + … + yn |
1/ν; yj |
0 (j = |
) |
|
|
|
|
|
|
|
(1.14) |
|||||
Решение одной из пары двойственных задач можно найти симплексным |
||||||||||||||||
методом (графически для 2-х переменных). Цену игры и оптимальные стратегии находим по формулам:
(1.15)
1.3.2. Если в матричной игре (aij)mxn строки (столбцы) с одними и теми же элементами, то эти строки (столбцы), соответственно и стратегии игроков называются дублирующими.