4476

21

Длительность обслуживания tобсл заявки является случайной величиной, часто подчиняется показательному закону распределения с плотностью

где µ - интенсивность потока обслуживания, то есть среднее число заявок,

2.2. Модели решения задач массового обслуживания Системы массового обслуживания с отказами

2.2.1. В целом динамика перехода состояний систем массового обслуживания описывается системами дифференциальных уравнений, решение которых позволяет найти модели определении вероятности Рk нахождения системы в одном из дискретных состояний причем

(например, уравнения Колмагорова).

Рассмотрим СМО с отказами.

Пусть СМО имеет конечное множество состояний системы (S1, S2,…, Si, …, Sn) и исходные данные по некоторым параметрам, таким, как , µ, n, тогда расчет характеристик СМО можно провести на основе расчета вероятностей состояний СМО (используя формулы Эрланга).

1) Вероятность P того, что все каналы свободны и система находится в состоянии S0 (i = 0).

(2. )

2) Вероятность отказа СМО Ротк - предельная вероятность того, что все n каналов заняты, то есть система будет находиться в состоянии Sn (так как i=n):

22

В системах с отказами события отказа и обслуживания образуют полную группу событий, поэтому вероятность обслуживания Робсл (относительная пропускная способность):

Доля каналов k3, занятых обслуживанием, определяется по формуле:

Среднее число занятых каналов можно найти по формуле:

µ находится из формулы

Пример 2.1. Определить оптимальное число кассовых аппаратов в супермаркете при условии, что поток покупателей поступает в магазин с интенсивностью λ 0 человек в час, среднее время обслуживания покупателя на кассе tобсл 2 мин.

Решение: Рассмотрим вначале одноканальную СМО (n=1). Интенсивность потока обслуживания:

(покупат./час)

обсл

Интенсивность нагрузки:

23

Доля времени простоя каналов:

Кассовый аппарат не будет занят: 0,25 · 100% 25%. Доля покупателей, получивших отказ в обслуживании:

от от

Это означает, что 5% покупателей не принимаются к обслуживанию. Вероятность обслуживания поступивших заявок составит:

Pобсл = 1 – Pотк; Pобсл = 1 – 0,75 = 0,25,

то есть только 25% покупателей будут обслужены. Среднее число занятых обслуживанием аппаратов:

Кассовый аппарат на 5% занят обслуживанием. Абсолютная пропускная способность системы:

A = Pобсл · ; A 0,25 · 0 22,5 (чел./час).

СМО с одним каналом плохо справятся с обслуживанием заявок. Необходимо увеличить число каналов. Проведем аналогичные вычисления для n 2, 3, 4, 5, 6 каналов обслуживания (кассовых аппаратов). Результаты

вычисления приведены в таблице 2.1.

Абсолютная пропускная способность СМО составит 1 чел./час.

2.3. Системы массового обслуживания с ожиданием и ограниченным ожиданием

2.3.1. Рассмотрим СМО с неограниченным ожиданием (очередью). Для таких СМО Ротк 0, то есть все заявки будут обслужены и Робсл 1, а значит q = 1. Абсолютная пропускная способность

Основные характеристики таких СМО:

1. Вероятность того, что СМО находится в состоянии S0,то есть все обслуживающие каналы свободны:

(2.1 )

2. Вероятность занятости обслуживанием K заявок:

(2.1 )

3. Вероятность занятости обслуживанием всех каналов системы:

(2.1 )

4. Вероятность состояния системы, когда все каналы заняты обслуживанием:

(2.20)

5. Вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты:

(2.21)

6. Средняя длина очереди:

(2.22)

25

. Среднее время ожидания заявки в очереди:

(2.23)

. Среднее время пребывания заявки в СМО:

автослесаря (n 4). В среднем в течение рабочей недели от населения поступает в ремонт автомобилей (λ = ). Общее число автомобилей у населения велико, выходят они из строя в случайные моменты времени независимо друг от друга. Считается, что поток требований на обслуживание пуассоновский. Автослесари имеют одинаковую квалификацию. В среднем один мастер обслуживает 3 машины в неделю (µ 3). Определить показатель качества работы мастерской.

Решение: Интенсивность нагрузки:

Вероятность того, что все мастера свободны от ремонта автомобилей (система в состоянии S0):

Вероятность того, что все мастера заняты ремонтом:

2.3.5. Пример 2. . На туристическую базу отдыха приезжают отдыхающие из близлежащего города. Машины с туристами прибывают в разное время с интенсивностью 6 машин в день. Имеющиеся на базе помещения и стоянки позволяют принимать и размещать туристов, привезенных двумя автобусами (m 2). На туристической базе имеется 4 инструктора, каждый из которых в среднем, может обслужить туристов с одного автобуса в течение обсл = 4 аса Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 часов. Необходимо определить, какова должна быть емкость помещений туристической базы, чтобы вероятность полного обслуживания туристов была

обсл 0,97.

28

Решение: Задача решается путем последовательного определения показателей СМО для различных значений емкости корпусов базы (m 2, 3, 4 и т.д.) и сравнения на каждом этапе вероятности обслуживания с заданной величиной обсл

Интенсивность загрузки инструкторов в течение 12-часового рабочего

дня:

автобуса в день).

обсл

Вероятность простоя инструктора для m = 2.

29

Глава 3. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

3.1.Основные понятия

3.1.1.Временно не используемые экономические ресурсы называют запасами предприятия. Важнейшим этапом планирования работы любой производительной единицы – фирмы, цеха, предприятия и т. д. – является определение оптимального уровня запасов сырья, инструментов, комплектующих изделий и т.д.

Необходимость обеспечения бесперебойного снабжения производственного процесса, несовпадение режима производства с ритмом потребления, осуществление транспортировки большинства видов продукции от поставщиков к потребителям партиями являются основной причиной создания производственных запасов.

Задачи управления запасами определяют такую организацию поставок или нормативного уровня запасов, при которых суммарные затраты на функционирование экономической системы были бы минимальны.

Рассмотрим основные термины, используемые в моделях управления запасами.

Спрос на запасаемую продукцию может быть постоянным во времени (вполне определенным), то есть детерминированным, или случайным (случайный момент времени или объем спроса).

Организации поставок – определение объемов поставок и периодичность заказов, а также определение размера партии и периодичность запуска продукции в производство.

Размер партии – количество товара, поставляемого на склад.

Объем заказа зависит от состояния, которое наблюдается в момент подачи заказа. При этом, достижение запасом заданного уровня называется точкой заказа.

3.1.2.При построении математических моделей управления запасами необходимо учитывать факторы, связанные с затратами (издержками). К основным видам затрат (издержек) относятся:

1 Издерж и на приобретение запасо – это разовые затраты не зависящие от объемов заказываемой партии, и затраты, зависящие от объемов партии;

30

2.Издерж и на организацию за аза, к которым относят постоянные расходы по размещению заказов, расходы на разъезды и командировки, транспортные расходы, не зависящие от размера партии, и т. д.;

3.Издерж и хранени запасо . В большинстве моделей управления запасами считают, что объем склада практически неограничен, в качестве контролирующей величины выступает объем хранимых запасов. При этом, за хранение каждой единицы запаса в единицу времени взимается определенная плата;

4Потери от дефицита Отсутствие запаса в нужный момент времени приводит к убыткам, связанные с простоем оборудования, неритмичностью производства и т. п. Это все потери от дефицита.

3.2.Основная модель управления запасами

3.2.1. Рассмотрим экономико-математическую постановку задачи управления товарными запасами на складе для одной группы продукции, отвечающие следующим условиям:

1.Количество продукции на складе в момент времени t равно q(t);

2.Дефицит не допускается;

3. Спрос в единицу времени постоянен (детерминирован) и непрерывен, то есть в единицу времени осуществляются равномерно с известной интенсивностью. Пусть общее потребление запасаемого продукта за рассматриваемое время T равно N, тогда

(3.1)

4. Заказанная партия доставляется одновременно, мгновенно, как только уровень запаса станет равен 0. Размер партии постоянен. Пусть q – объем одной партии, тогда интервал поставок – время, когда вся партия будет использована, определяется по формуле:

(3.2)

5. Число поставок за любой период t или плановой Т находится по формуле: