4412
.pdf
Определение. Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.
Оказывается, гипербола имеет две наклонные пересекающиеся асимптоты с
уравнениями |
y |
b |
x , проходящими |
|
|||
|
|
a |
|
через начало координат и симметричные относительно координатных осей. Гипербола представляет собой кривую, состоящую из двух ветвей, симметричную относительно
координатных осей и начала координат.
Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение
фокусного расстояния с и действительной полуоси а, т.е. |
c |
. |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
Из (5.7) вытекает, что для гиперболы |
1. |
|
|
|
|||
|
Если a b , то |
|
|
|
|
||
Частный случай. |
c a 2 , |
и уравнение гиперболы |
|||||
принимает вид x2 y2 |
a2 . |
|
|
|
|
|
|
Полученная кривая имеет асимптоты |
y x |
и называется равнобочной |
|||||
гиперболой. |
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Сопряженной к гиперболе (5.10) называется гипербола,
заданная уравнением |
y2 |
|
x2 |
1. |
(5.11) |
|
b2 |
a2 |
|||||
|
|
|
|
Нетрудно убедиться в том, что у сопряженной гиперболы b – действительная полуось, а асимптоты такие же, как у данной гиперболы:
y ba x .
Сопряженная гипербола представляет собой кривую, состоящую из двух ветвей, симметричную относительно координатных осей и начала координат.
43
Рис. 5.4
Парабола, ее каноническое уравнение
|
p |
|
x |
p |
|
|
Пусть имеются точка |
F |
|
,0 и прямая |
|
. Точку назовем фокусом, а |
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
прямую – директрисой.
Определение. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и директрисы.
Обозначим произвольную точку параболы через M x, y и заметим, что расстояние между точкой М и вертикальной прямой x 2p равно длине перпендикуляра, опущенного из точки М на эту прямую. При этом основанием
|
|
p |
|
перпендикуляра является точка Q с координатами |
|
, y , так как, во-первых, |
|
|
|||
|
|
2 |
|
точка Q лежит на прямой x 2p , а во-вторых, МQ – отрезок горизонтальной
прямой, а это означает, что ординаты точек М, Q совпадают. Определение параболы можно записать в виде равенства
Поскольку
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
||||
MQ |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MF |
|
x |
|
|
y |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
p |
|
|
p |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
, то уравнение параболы принимает |
||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
2 |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
вид |
x |
|
|
y |
|
|
x |
|
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
44
Рис. 5.5
Рис. 5.6
Чтобы получить каноническое уравнение параболы, возведем в квадрат обе
|
|
p 2 |
|
2 |
|
p 2 |
|||
части последнего равенства, получим уравнение x |
|
|
y |
|
x |
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
или после несложных преобразований y2 2 px . |
Легко видеть, что |
|
|
|
|||||
единственной точкой пересечения параболы с координатными осями является начало координат О(0; 0).
Парабола |
y2 2 px |
представляет |
собой кривую, |
симметричную |
относительно |
оси Ox . |
Если p 0 то, |
поскольку 2 px y2 |
0 , получаем |
неравенство x 0. Это означает, что график параболы располагается в правой полуплоскости.
Если p 0 , то из того же неравенства px 0 находим, что x 0 , то есть график параболы располагается в левой полуплоскости.
45
|
|
p |
y |
p |
|
|
Пусть имеются фокус |
F 0; |
|
и директриса |
|
. Воспользовавшись |
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
определением параболы и проведя аналогичные рассуждения, мы можем получить каноническое уравнение x2 2 py . (5.12)
Если p 0 в уравнении (5.12), то график параболы располагается в верхней полуплоскости, если же p 0 , то ее график расположен в нижней полуплоскости. Заметим, что парабола в обоих случаях характеризуется одним параметром p .
Эксцентриситет параболы принимают равным единице.
ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ
1.Матрицы и действия с ними.
2.Симметрическая, диагональная, единичная матрицы.
3.Ортогональная матрица.
4.Обратная матрица.
5.Ранг матрицы.
6.Определители второго и третьего порядков.
7.Определители n-го порядка.
8.Определители n-го порядка и их свойства.
9.Алгебраические дополнения и миноры.
10.Вычисление определителей разложением по столбцу или по строке.
11.Системы линейных алгебраических уравнений.
12.Методы решения системы линейных алгебраических уравнений.
13.Декартовы координаты. Векторы. Базис.
14.Операции над векторами.
15.Скалярное произведение векторов, его основные свойства.
16.Координатное выражение скалярного произведения векторов.
17. Длина вектора, угол между двумя векторами.
18. Ортогональность, коллинеарность, компланарность векторов.
19. Проекции векторов.
20. Векторное произведение векторов, его свойства, геометрический смысл. 21. Смешанное произведение векторов, его свойства, геометрический смысл. 22. Координатное выражение векторного и смешанного произведений.
23. Прямая на плоскости. Расстояние от точки до прямой. 24.Угол между прямыми.
25. Направляющий вектор прямой.
26. Векторное уравнение прямой линии в пространстве.
46
27. Параметрическое уравнение прямой линии в пространстве.
28. Каноническое уравнение прямой линии в пространстве. 29. Что называется углом между прямыми в пространстве.
30. Сформулируйте условие перпендикулярности двух прямых в пространстве. 31. Сформулируйте условие параллельности двух прямых в пространстве.
32. Сформулируйте условие параллельности прямой и плоскости.
33. Сформулируйте условие перпендикулярности прямой и плоскости.
34. Кривые второго порядка: окружность,
35. Кривые второго порядка: эллипс,
36. Кривые второго порядка: гипербола,
37. Кривые второго порядка: парабола.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Основная литература
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики [Электронный ресурс]: доп. Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника / В. П. Григорьев, Ю. А. Дубинский. - 11-е изд., перераб. и доп. –М.: Академия, 2016. - 320 с. - ЭБС "Академия".
2. Григорьев В.П. Сборник задач по высшей математике [Электронный ресурс]: рек. Федеральным институтом развития образования в качестве учебного пособия / В.П. Григорьев, Т. Н.Сабурова. – 5-е изд., стер - М.: Академия, 2014.
– 160 с. - ЭБС "Академия".
Дополнительная литература
1.Дадаян А. А. Математика [Электронный ресурс] : рек. Министерством образования и науки РФ в качестве учебника для студентов образовательных учреждений СПО / А.А. Дадаян. — 3-е изд., испр. и доп. — М. : ИНФРА-М, 2017. — 544 с. - ЭБС "Знаниум".
2. Математика. Элементы высшей математики [электронный ресурс]: рек. в качестве учебника для студентов учреждений СПО : в 2 т. Т. 1 / В.В. Бардушкин, А.А. Прокофьев. — М.: КУРС: ИНФРА-М, 2017. — 304 с. - ЭБС "Знаниум".
47