4412

a1x1 a2 x2 ... an xn b,

где ai и b – числа, xi - неизвестные.

Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой – число.

Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным.

Системой линейных алгебраических уравнений называется система вида

уравнений.

Решением системы линейных алгебраических уравнений называется набор чисел x01, x02 ,...,x0n , которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная систем линейных алгебраических уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Имеется три основных способа решения систем линейных уравнений. Первым является метод Гаусса последовательного исключения переменных. Два других способа – метод обратной матрицы и правило Крамера.

Определение. Матрицы

называются соответственно матрицей и расширенной матрицей системы

(2 .1).

Если ранг матрицы А равен рангу матрицы А1, то система совместна. Исследование на совместность и решение системы производят обычно

одновременно с помощью метода Гаусса. Напомним, что элементы аii в матрице А называются диагональными.

Метод Гаусса заключается в преобразованиях строк матрицы А1 так, чтобы элементы преобразованной матрицы, стоящее ниже диагональных элементов, были нулевыми. При этом необходимо следить за диагональными элементами: они не должны обращаться в нуль. Если же при преобразованиях строк какойлибо диагональный элемент обратится в нуль (например, аii = 0), то поступать необходимо следующим образом: а) если в этом же столбце (где диагональный элемент оказался равен нулю) имеется ниже диагонального элемента ненулевой элемент, то соответствующую строку меняют местом с i-й строкой и продолжают преобразования; б) если же ниже нулевого диагонального элемента все элементы нулевые, то мы должны перейти к построению ступенчато-диагональной матрицы. Для этого сдвигаемся на один столбец вправо и считаем, что и диагональ матрицы тоже сдвинулась вправо, и далее поступаем как описано выше. После всех преобразований матрица системы должна принять так называемый диагонально ступенчатый вид:

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных:

14

Для нахождения решения совместной определенной системы уравнений, в которой число уравнений совпадает с числом неизвестных,

можно применять метод обратной матрицы и метод Крамера.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (2.2) и введем следующие обозначения:

Пусть матрица А – невырожденная, тогда существует обратная к ней матрица A 1.

Умножим обе части равенства () слева на A 1.

Получим A 1AX A 1B. Но A 1A E, тогда EX A 1B , а поскольку

EX X , X A 1B.

15

Итак, решением матричного уравнения (2.3) является произведение матрицы, обратной к А, на столбец свободных членов системы (2.2). Система решена методом обратной матрицы.

Назовем главным определителем системы (2.2) определитель , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

(система является совместной, определенной). Приведенные формулы и называются формулами Крамера.

Отметим, что если = x j =0, то система имеет бесконечно много решений

(система является совместной, неопределенной).

Если = 0, а хотя бы один из x j 0, то система не имеет решений

(система является несовместной).

Решение вырожденных систем линейных уравнений.

Если определитель матрицы A системы линейных уравнений равен нулю (или число уравнений системы меньше числа неизвестных), то либо имеется бесконечно много решений, либо система несовместна, решений нет вовсе. Разберем на примере, как можно описать все решения вырожденной системы уравнений, используя метод Гаусса последовательного исключения неизвестных.

16

3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Пусть даны две точки А и В. Отрезок, соединяющий эти точки, будем называть направленным, если указаны начальная и конечная точка отрезка, т.е. на отрезке указано направление.

Вектором называется направленный отрезок. Векторы принято обозначать

Вектор называется нулевым, если начальная и конечная точки совпадают. В этом случае будем писать а = 0 . Длиной вектора называется длина соответствующего ему направленного отрезка. Длина обозначается через | a |

или .

Векторы а и b называются коллинеарными (при этом пишут a || b), если существует прямая которой они параллельны. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины. Иными словами, мы рассматриваем свободные векторы, начальные точки которых могут выбираться произвольным образом.

Сложение векторов.

Пусть даны векторы а и b. Совместим начальную точку вектора b с конечной точкой вектора а. Тогда вектор, начальная точка которого совпадает

17

с начальной точкой вектора а, а конечная – с конечной точкой b, называется суммой векторов а + b.

Совместим начальные точки векторов а и b и обозначим эту точку через О. Построим параллелограмм ОАСВ на сторонах этих векторов. Тогда вектор

a + b. Тем самым получено эквивалентное определение суммы векторов, называемое правилом параллелограмма.

Имеет место также свойство ассоциативности: (а + b) + c = a + (b + c).

Умножение вектора на число.

Определение. Пусть даны вектор a и число . Произведением вектора a на число называется вектор a , коллинеарный вектору a , имеющий длину

18

a a и то же направление, что и вектор a , если 0 , и противоположное

направление, если 0 . Если 0 , то a 0 .

Следствие 1. Из определения умножения вектора на число следует, что если

свойства операции умножения вектора на число, которые непосредственно вытекают из определения этой операции:

1.( + )а = а + а.

2.( а) = ( )а.

3.(a + b) = a + b.

Вычитание векторов.

Разностью двух векторов а и b называется вектор a – b = a + (-1)·b. Зафиксируем в пространстве некоторую точку О и три взаимно перпендикулярных вектора единичной длины i, j и k. Совокупность точки О и векторов i, j, k называется декартовой прямоугольной системой координат.

Пусть задан вектор а. Совместим его начальную точку с началом координат О, а через его конечную точку А проведем плоскости, перпендикулярные координатным осям. Пусть эти плоскости пересекают оси Ox, Oy, Oz в точках L, M, N соответственно.

19

Числа x1, y1, z1 в представлении называются координатами вектора а. Вместе с равенством будет использоваться также запись вида

a = (x1, y1, z1). Радиусом-вектором точки А называется вектор, начало которого совпадает с началом координат О, а конец – с точкой А. Координатами точки А называются координаты радиус-вектора точки А. При

Пример. Найдем координаты вектора , если А = { x1, y1, z1} и

В = { x2, y2, z2}. Имеем Отсюда

Прямую с заданным на ней направлением будем называть осью. Пусть дан вектор и ось l. Обозначим через С и D проекции точек А и В на ось l . Тогда проекцией вектора на ось l прl называется

20

величина , если направление оси l совпадает с направлением вектора ,

и – в противном случае.

.

Пусть заданы векторы a и b . Выберем в пространстве произвольную точку O и отложим от этой точки векторы OA a и OB b .

Углом между векторами a и b называется наименьший угол 0 , на который нужно повернуть один из заданных векторов до его совпадения со вторым.

Пусть в пространстве заданы вектор AB и ось .

Обозначим через A1 и B1 проекции на ось точек A и B соответственно.

Построим вектор A1B1 и назовем его компонентом вектора AB по оси .

Проекцией вектора AB на ось называется длина его компоненты A1B1 по этой оси, если компонента направлена в ту же сторону, что и ось ; противоположное число, если компонента и ось имеют разные направления;

21

нуль, если компонента есть нулевой вектор. Проекция вектора на ось обозначается в виде Пр AB или Пр a .

Выберем на оси единичный вектор e имеющий то же направление, что и ось . Углом между векторами AB и e называется угол между вектором AB и осью .

Проекция вектора a на ось равна модулю вектора a , умноженному на

рассмотренные линейные операции над векторами, можно убедиться, что для проекций векторов на ось справедливы следующие теоремы (без доказательств). Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекции

Если вектор a умножить на число , то его проекция на ось умножится на это число: Пр a Пр a .

Прямоугольная декартова система координат

Определение. Пусть в пространстве R3 векторы a1 , a2 , a3 образуют базис

этого пространства. Выберем в R3 произвольную точку O и отложим с началом в этой точке базисные векторы. Совокупность точки O и трех базисных векторов называется системой координат в пространстве R3 .

Ввиду произвольности выбора точки и выбора базисных векторов в R3 можно построить бесконечное множество систем координат. Выберем в качестве базисных векторов три взаимно перпендикулярных единичных

пространстве R3 .

22