4329

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Г. Ф. МОРОЗОВА»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

ТЕОРИЯ ИГР

Методические указания к практическим занятиям для студентов

по направлению подготовки 23.04.03 – Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов

Воронеж 2016

2

УДК 519.8 (075)

Веневитина, С.С. Прикладная математика. Теория игр [Электронный ресурс] :

ческих машин и комплексов / С. С. Веневитина, В. В. Зенина; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2016. – 37 с.

Печатается по решению учебно-методического совета ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (прот)

Рецензент д-р физ.-мат. наук, профессор Воронежского государственного педагогического университета В.В. Обуховский

3

Оглавление

Введение…………………………………………………………………………... 4

1. Решение матричных игр в чистых и смешанных стратегиях………….. 5

1.1. Теоретическая часть…………………………………………………………. 5

1.2. Практическая часть…………………………………………………………... 12

1.3. Индивидуальные задания……………………………………………………. 15

2. Графический метод решения матричной игры…………………………... 17

2.1. Теоретическая часть…………………………………………………………. 17

2.2. Практическая часть…………………………………………………………... 20

2.3. Индивидуальные задания……………………………………………………. 27

3. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования….. 28

3.1.Теоретическая часть…………………………………………………………. 28

3.2.Практическая часть…………………………………………………………... 31

3.3.Индивидуальные задания……………………………………………………. 35

Библиографический список…………………………………………………........ 37

4

ВВЕДЕНИЕ

Одной из наук, предоставляющей возможность математического описания постановок различных задач по принятию решений и математическое обоснование подходов к их анализу, является теория игр, представляющая собой теоретические основы математических моделей принятия оптимальных решений в конфликтных рыночных отношениях, носящий характер конкурентной борьбы.

Использование теории игр помогает лицу, принимающему решение, произвести критический анализ ситуации и в результате более обосновано и последовательно проводить определенную политику или стратегию поведения при решении сложных, комплексных проблем.

Внастоящее время теоретико-игровые модели используются в различных областях экономики и других наук, в частности: для выбора эффективных стратегий в бизнесе и оптимального поведения фирмы, для рационального управления финансами, в теории инвестирования, в оценке эффективности проектов и управлении портфелем проектов, в коммерческой деятельности, в страховании, в маркетинге транспортных услуг и управлении городским транспортом, в области рынка жилья, в теории инноваций, в менеджменте и управлении организационными системами, в организации исследований, в задачах распознавания, в психологии и медицине, в военном деле, в задачах обеспечения безопасности, в социологии и политике.

Вметодических указаниях изложены необходимые теоретические сведения и разобраны примеры решения задач по каждой теме. Приведены варианты индивидуальных заданий.

Методические указания помогут подготовиться к практическим занятиям

студентам, обучающимся по направлению подготовки 23.04.03 – Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов. Они могут быть полезны также студентам других направлений подготовки.

5

1. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР В ЧИСТЫХ И СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ

1.1. Теоретическая часть

На практике часто возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Подобные ситуации, возникающие при игре в шахматы, шашки, домино и т.д., относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры – выигрыш одного из партнеров. В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом.

Для грамотного решения задач с конфликтными ситуациями необходимы научно обоснованные методы. Такие методы разработаны математической теорией конфликтных ситуаций, которая носит название теория игр.

Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны участвующие в конфликте – игроками, а исход конфликта –

выигрышем.

Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Мы будем рассматривать только парные игры. В них участвуют только два игрока А и В, интересы которых противоположны.

Игра называется игрой с нулевой суммой, или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. для полного задания игры достаточно указать величину одного из них. Если обозначить a – выигрыш одного из игроков, b – выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b a .

Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Ходы бывают личными и случайными. Ход называется личным, если игрок сознательно выбирает его из совокупности возможных вариантов действий и осуществляет его (например, любой ход в шахматной игре). Ход называется случайным, если его выбор производится не игроком, а каким-либо механизмом случайного выбора (например, по результатам бросания монеты). В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков.

8

стратегию, соответствующую максимальному элементу этого столбца,

9

принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.

Нетрудно показать, что нижняя цена игры никогда не превосходит верхней цены игры, т.е. .

Если нижняя и верхняя цены игры совпадают, т.е. = , то игру называют игрой с седловой точкой.

Для игры с седловой точкой общее значение нижней и верхней цены игры

= = называется чистой ценой игры, или ценой игры.

Минимаксные стратегии, соответствующие цене игры, являются

оптимальными стратегиями, а их совокупность – оптимальным решением, или решением игры.

Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. В таком случае можно получить оптимальное решение, случайным образом чередуя чистые стратегии.

вероятностей появления стратегий равна 1 ( q1 + q2 + q3 +…+ qn = 1).

10

Замечание. Чистые стратегии можно считать частным случаем смешенных и задавать строкой, в которой 1 соответствует чистой стратегии.

Смешанные стратегии, избранные игроками, называются оптимальными, если одностороннее отклонение любым игроком от своей оптимальной стратегии может изменить средний выигрыш только в сторону невыгодную для игрока.

Совокупность, состоящая из оптимальной стратегии одного игрока и оптимальной стратегии другого игрока, называется оптимальным решением

или решением игры.

Средний выигрыш при применении обоими игроками оптимальных стратегий называется ценой игры.

В 1928 году фон Нейманом была доказана основная теорема теории игр, утверждающая, что каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно оптимальное решение, возможно, среди смешанных стратегий.

Поскольку все чистые стратегии являются частными случаями смешенных стратегий, то из основной теоремы теории игр можно получить:

Следствие 1. Любая игра имеет цену; Следствие 2. Цена игры удовлетворяет неравенству .

Стратегии, входящие в оптимальную стратегию с отличной от нуля вероятностью, называются активными.

Справедлива теорема об активных стратегиях: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то средний выигрыш остается неизменным и равным цене игры , если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий.

Эта теорема имеет большое практическое значение, так как указывает методы нахождения оптимальных стратегий при отсутствии седловой точки.

Рассмотрим игру размера 2 2 с платежной матрицей