4329

y 6

x 1

или

y 5x 1.

0 1

1 6

Уравнение прямой

b2 , проходящей через точки (0; 5) и (1; 3)

y 3

x 1

или

y 2x 5 .

5 3

0 1

Вычислив координаты точки N

4

5x 1

x

,

7

, получаем оптимальную стратегию игрока А

y

y 2x 1

y

27

7

p 1 x

1

4

3 ,

p

x

4 , y

27

.

N

7

N

N

1

7

2

7

22

Так как точка N является пересечением прямых b1

и

b2 , то активными

стратегиями игрока В будут стратегии B1

и

B2 .

На оси абсцисс

откладываем единичный отрезок B1 B2 . В точках B1

и B2

проведем оси I и II

на которых отметим выигрыши при стратегиях B1

и

B2

соответственно.

25

Прямая

a2

проходит через точки

(0;9)

и

(1;6). Следовательно, ее

уравнение имеет вид

y 9

x 0

или y 3x 9.

6 9

1 0

Прямая

a3

проходит через точки

(0;6)

и

(1;8). Уравнение этой

прямой будет иметь вид

y 6

x 0

или

y 2x 6.

1 0

8 6

Координаты точки N находятся из системы

x

3

y 3x 9

5

, получаем оптимальную стратегию игрока В

y 2x 6

,

36

y

5

q 1 x

1

3

2

, q x

3

, y

36

.

N

5

N

N

1

5

2

5

5

как активными стратегиями игрока

А

являются стратегии A2

и

A3 , то

S* (0; p*; p*;0) и

p*

p* 1.

На оси абсцисс откладываем единичный

A

2 3

2

3

отрезок

A2 A3 , на концах которого восстанавливаем перпендикулярные оси I

и II.

Пусть первый игрок придерживается стратегии

A2 . Если 2-й

игрок

примет стратегию B1 ,

то она дает выигрыш a21 9 .

Отложим по

оси I

отрезок длины a21 9

вверх от точки

A2 , получим точку с координатами

(0;9) .

Пусть первый игрок придерживается стратегии

A3 . Если 2-й

игрок

примет стратегию B1 ,

то она дает выигрыш a31 6.

Отложим по оси II

отрезок длины a31 6 вверх от точки

A3 и получим точку с координатами

y 9

x 0

или

y 3x 9 .

6 9

1 0

Уравнение прямой

b2 , проходящей через точки (0; 6)

и (1; 8), имеет

вид

y 6

x 0

или

y 2x 6.

8 6

1 0

Координаты точки М,

как точки пересечения прямых b1

и b2 , находим

из системы

x

3

y 2x 6

5 .

3x 9

,

y

y

36

5

Получаем оптимальную стратегию игрока А:

p 1 x

1 3

2

,

p

x

3 ,

y

36

.

M

5

M

M

2

5

3

5

5

*

2

3

О т в е т :

SA

0;

;

;0

– оптимальная стратегия игрока А,

5

5

*

2

3

S

;

– оптимальная стратегия игрока В,

5

B

5

36

–

цена игры.

5

1. Р 8

5 3 6 7 ,

2.

Р 2

4 0 3 5

,

3.

4

7 9 5 8

,

4.

6

3 8 4 2

Р 5

3

6 4 5

Р 3

5 1 4 6

,

4

6

8 1 2

7

4 9 5 3

2

5

6

5

7

1

4

6

5.

Р

,

6.

Р

,

3

7

2

7

7.

4

6

,

8.

1

8

Р 4

7 1 2

Р 2

3 1 5 ,

9.

0

3 4

2

10.

4

1 6 0

Р 3

4

5 4

,

Р 8

0

6 7 ,

7

6

4 5

3

6 3 1

28

2

5

6

5

7

1

4

6

11.

Р

,

12.

Р

,

3

7

2

7

13.

4

6

0

3 ,

14.

1

8

3 4

,

Р 4

6

Р 2

2

3 0 7

2

4

3 2 2

2

7

3

4

15.

Р

5

1

9

6

.

3.

СВЕДЕНИЕ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ К ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОГО

ПРОГРАММИРОВАНИЯ

3.1. Теоретическая часть

Рассмотрим матричную игру

m n без седловой точки с платежной

матрицей Р.

Допустим, что все выигрыши

ai j ( i = 1, 2, 3, … , m ; j = 1, 2, 3, … , n )

увеличится на С, а оптимальные стратегии игроков S*

и

S*

не изменятся).

А

B

Если все

ai j положительны, то и цена игры

при оптимальной

стратегии тоже

положительна, так как .

стратегий S*

и

S* , применение которых обеспечивает игрокам получение

А

B

цены игры .

Найдем в начале S*

, для этого предположим, что игрок В отказался от

А

своей оптимальной

смешанной стратегии S*

и применяет только чистые

B

m

m

aij

pi v ( j 1, 2, ... , n ) ;

pi

1,

pi

0

(i 1, 2, ... , m),

i 1

i 1

которые с учетом обозначений

x

pi

( i 1, 2, ... , m)

i

можно записать так

m

m

1

aij xi

1 ( j 1, 2, ... , n) ;

xi

,

xi

0

(i 1, 2, ... , m).

v

i 1

i 1

Аналогично находим оптимальную

стратегию

S*

игрока

В.

B

Предположим, что игрок А отказался от своей оптимальной стратегии S*

и

А

применяет только чистые стратегии. Тогда проигрыш игрока

В

в каждом из

этих случаев будет не больше, чем .

Иными словами,

выполняются

n

n

aij q j

v (i 1, 2, ... , m) ; q j

1,

q j 0

( j 1, 2, ... , n),

j 1

j 1

которые с учетом обозначений

y j

q j

( j

1, 2, ... , n)

можно записать так

n

n

1

aij y jk

1 (i 1, 2, ... , m) ; y j

,

y j 0

( j 1, 2, ... , n).

v

j 1

j 1

Таким

образом,

оптимальные стратегии S*

p*, p*, ... ,

p*

и

A

1 2

m

S*

q*, q*, ... , q*

матричной игры m n

с платежной матрицей

Р

B

1

2

n

могут быть найдены

путем решения пары двойственных задач линейного

программирования: