Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4329

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

939.33 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Прямая (исходная) задача:

L(x) xi min,

i 1

aij xi 1 ( j 1, 2, ... , n) ,

i 1

Двойственная задача:

L( y) y j max,

	j 1
n
aij y j	1 (i 1, 2, ... , m),
j 1

xi 0	( i 1, 2, ... , m).				y j 0	( j 1, 2, ... , n) .
При этом
		1		1
						,
			min L( x)		max L( y)	,
	p* x			(i 1,2,..., m),
	i		i
	q*j	y j		( j 1,2,..., n).

Замечание. Для любой задачи линейного программирования может быть также построена эквивалентная ей задача теории матричных игр. Эта связь задач теории матричных игр с задачами линейного программирования оказывается полезной не только для теории игр, но и для линейного программирования. Дело в том, что существуют приближенные численные методы решения матричных игр, которые при большой размерности задачи могут оказаться проще, чем симплекс–метод.

3.2. Практическая часть

Пример. Решить игру с платежной матрицей

	1	2	3
P	3	1	1	.

	1	3	1
	1	3	1

Решение. Найдем нижнюю и верхнюю цены игры

		32
	1	2	3	1
	3	1	1	1

	1	3	1	1

	3	3	3
Нижняя цена игры max 1;1;1 1,			верхняя цена игры min 3;3;3 3.

Так как , то игра не имеет седловой точки. Решим игру сведением ее к паре двойственных задач линейного программирования.

Составим математические модели пары двойственных задач линейного программирования.

Прямая (исходная) задача. Найти неотрицательные переменные х1 , х2 ,

х3, минимизирующие функцию		L (x)			= х1 + х2 + х3 m i n при
ограничениях
x1 3x2 x3 1
		x2 3x3 1
2x1		x2 3x3 1
	3x	x		x 1 .
	1		2		3
	1		2		3

	x	0, (i 1,3)
	i

Двойственная задача. Найти неотрицательные переменные y1, y2, y3, максимизирующие функцию L (x) = y1 + y2 + y3 max при ограничениях

y1 2 y2 3y3 1
3y			y	2	y		1
	1			2		3
y		3y			y		1.
	1			2		3
	y	j	0,( j 1,3)
		j

Поскольку в двойственной задаче ограничения имеют вид « », то ее решать проще (не нужно вводить искусственные переменные). Оптимальное решение исходной задачи можно будет непосредственно получить из данных симплексной таблицы для оптимального решения двойственной задачи. Приведем двойственную задачу к каноническому виду

y1 2 y2 3y3 y4 1
	3y y	2	y y 1
	1	2		3	5
y 3y			y		y		1
	1	2		3		6

	y j 0,( j 1, 6)
	y j 0,( j 1, 6)

и составим симплексную таблицу
														Таблица 1

	С	Б		f	-1	-1		-1	0	0	0		∑			fi
					y1	y2		y3	y4	y5	y6					his
	0	y	4	1	1	2		3	1	0	0		8		1
			4
	0	y5		1	[3]	1		1	0	1	0		7		1 3
	0	y6		1	1	3		1	0	0	1		7		1
		L(Y0 ) 0			-1	-1		-1	0	0	0		-3
		L(Y0 ) 0
В последней строке таблицы 1							оценки переменных					y1 ,		y2 и y3

отрицательны, то есть опорный план Y0 (0;0;0;1;1;1) не является оптимальным. Выберем за ключевой столбец первый и для выбора ключевой строки

посчитаем отношение					fi hi1		(в последнем столбце). Вторая строка является
ключевой, так как min 1;1 3;1 1 3,									а ключевым элементом – элемент						[3].
Пересчитаем симплексную таблицу
												Продолжение табл. 1

С		Б	f	y	y	2	y	3	y	4	y	y	6	∑	f	h
				1		2		3		4	5		6			i is

0		y4	2 3	0	5 3		8 3		1		1 3	0		17 3	0,4
		y4	2 3		5 3		8 3				1 3			17 3

1		y1	1 3	1	1 3		1 3		0		1 3	0		7 3		1
		y1	1 3		1 3		1 3				1 3			7 3
0		y6	2 3	0	[8 3]		2 3		0		1 3	1		14 3	0,25
		y6	2 3		[8 3]		2 3				1 3			14 3
	L(Y1) 1 3			0	2 3		2 3		0		1 3	0		2 3
	L(Y1) 1 3				2 3		2 3				1 3			2 3

Продолжение табл. 1

С		Б	f	y	y	2	y	3		y	4	y	y	6	∑	f	h
				1								5					i is
0		y4	1 4	0	0		[ 9 4		]	1		1 8	5 8		11 4	1 9

1		y1	1 4	1	0		1 4			0		3 8	1 8		7 4		1

1		y2	1 4	0	1		1 4			0		1 8	3 8		7 4		1

	L(Y2 ) 1 2			0	0		1 2			0		1 4	1 4		1 2

1		y3	1 9	0	0		1			4 9		1 18	5 18		11 9

1		y1	2 9	1	0		0			1 9		7 18	1 18		13 9

1		y2	2 9	0	1		0			1 9		1 9	4 9		5 9

	L(Y3) 5 9			0	0		0			2 9		2 9	1 9		10 9

Мы добились того, что в нижней строке таблицы нет отрицательных оценок. Это говорит о том, что мы получили оптимальное решение двойственной задачи

		y1 = 2 9,					y2 = 2 9,									y3 =1 9 ,					L(Y ) 5 9						─ max.
	Находим оптимальную смешанную стратегию																							S*		игрока В
																									В
												1							1					9	,
									3								2		2		1			5	,
									3
										y j
										y j							9		9		9
											j 1						9		9		9
											j 1
q* y		2		9	2	,			q*			y						2		9		2	,		q* y			1	9	1	.
q* y						,			q*			y											,		q* y						.
1	1	9	5		5				2						2			9	5		5					3	3	9	5	5
						*		2					2		1
	Следовательно,				S							;		;		.
	Следовательно,				S							;		;		.
						В		5 5 5
						В

Оптимальное решение исходной задачи ЛП находим, используя двойственные оценки из симплекс – таблицы для оптимального решения двойственной задачи. Получаем

x1 = 2 9, x2 2 9,

x3 1 9 ,

L( X ) 5 9 – min.

Теперь определим вероятности применения своих активных стратегий игроком А

р* х		2	9	2	,		р* х			2	9	2	,
р* х					,		р* х						,
1	1	9	5	5			2	2		9	5	5
	р* х					1	9	1	.
	р* х								.
	3		3			9	5	5

											S*	2		2		1
Следовательно,													;		;		.
Следовательно,													;		;		.
											А	5 5				5
О т в е т :
S*				2	;		2	;		1	– оптимальная смешанная стратегия игрока А ,


А				5			5			5
S*				2		;	2		;	1	. – оптимальная смешанная стратегия игрока В ,


В				5			5			5
		9	– цена игры.
			– цена игры.
	5

3.3. Индивидуальные задания

Свести матричную игру к задачам линейного программирования и решить ее симплексным методом.

2		4	6		1		3	2		5		7	1

1. Р	6	2	2	,	2. Р	3	1	3	,	3. Р	5	5	1	,

	2	6				2	3	1			2	2
	2	6	2			2	3	1			2	2	6

	2			6	4

4.	Р	6		2	6	,

		4		6
		4		6	2

	4			6	1

7.	Р	4		4	1	,

		1		1
		1		1	6

		1		2	3

10.	Р		6	1	2		,

			3	5	0
			3	5	0

		1		4	1

13.	Р		2	3	4		,

			3	1	6
			3	1	6

	3		6	9

5.	Р	9	3	3	,

		3	9
		3	9	3

	1		1	5

8.	Р	3	2	1	,

		4	3
		4	3	1

	3		7	6

11.	Р	3	1	0	,

		2	2	1
		2	2	1

	2		2	5

14.	Р	3	3	6	,

		4	5
		4	5	4

	2		1	0

6.	Р	1	2	1	,

		0	1
		0	1	2

	1		0	3

9.	Р	3	1	7	,

		2	4	8
		2	4	8

		3	5	5

12.	Р	7	1	2		,

		1	6	0
		1	6	0

		1		7	3

15.	Р	4		9	4 .

		2		3	1
		2		3	1

Библиографический список

Основная литература

1. Математические методы и модели исследования операций [Текст] : рек. УМО по образованию в обл. математ. методов в экономике в качестве учеб. для студентов высш. учеб. заведений / под ред. В. А. Колемаева. - М. : ЮНИТИ,

2008. - 592 с.

Дополнительная литература

1. Красс М. С. Математика для экономического бакалавриата [Электронный ресурс]: рек. УМО по образованию в области финансов, учета и мировоя экономики в качестве учеб. пособия для студентов / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 472 с. - ЭБС " Знаниум".

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.2021935.15 Кб34323.pdf
#
08.01.2021935.94 Кб44324.pdf
#
08.01.2021936.47 Кб54325.pdf
#
08.01.2021937.67 Кб24326.pdf
#
08.01.2021937.71 Кб24327.pdf
#
08.01.2021939.33 Кб14329.pdf
#
08.01.2021197.49 Кб3433.pdf
#
08.01.2021939.87 Кб34330.pdf
#
08.01.2021940.02 Кб14331.pdf
#
08.01.2021940.64 Кб04332.pdf
#
08.01.2021941.22 Кб24333.pdf

	2			6	4

4.	Р	6		2	6	,

		4		6
		4		6	2

	4			6	1

7.	Р	4		4	1	,

		1		1
		1		1	6

		1		2	3

10.	Р		6	1	2		,

			3	5	0
			3	5	0

		1		4	1

13.	Р		2	3	4		,

			3	1	6
			3	1	6

	2			6	4

4.	Р	6		2	6	,

		4		6
		4		6	2

	4			6	1

7.	Р	4		4	1	,

		1		1
		1		1	6

		1		2	3

10.	Р		6	1	2		,

			3	5	0
			3	5	0

		1		4	1

13.	Р		2	3	4		,

			3	1	6
			3	1	6

	2			6	4

4.	Р	6		2	6	,

		4		6
		4		6	2

	4			6	1

7.	Р	4		4	1	,

		1		1
		1		1	6

		1		2	3

10.	Р		6	1	2		,

			3	5	0
			3	5	0

		1		4	1

13.	Р		2	3	4		,

			3	1	6
			3	1	6