4329

теоремой теории игр, имеет оптимальное решение, которое определяется парой

смешанных стратегий

S*

p*,

p*

и S*

q*,

q* .

A

1

2

B

1

2

Для того чтобы их найти воспользуемся теоремой об активных

стратегиях. Если игрок

А придерживается своей оптимальной стратегии S* ,

A

то его средний выигрыш будет равен

цене

игры

, какой бы активной

стратегией ни воспользовался игрок В.

В данной игре обе чистые стратегии

выигрыш игрока (оптимальная стратегия) будет равен

и для первой, и для

второй стратегии противника.

Средний выигрыш игрока А , если он использует оптимальную

смешанную стратегию S*

p*,

p* , а игрок В чистую стратегию B

(это

A

1

2

1

соответствует первому столбцу платежной матрицы P) равен цене игры :

a p* a

p* .

11

1

21

2

Тот же

средний

выигрыш

получит

игрок

А ,

если

второй

игрок

применяет стратегию

B ,

т.е.

a

p*

a

p* .

Учитывая, что

2

12

1

22

2

p* p* 1,

получаем систему

уравнений

для

определения оптимальной

1

2

стратегии S*

и цены игры :

A

a

p*

a

p*

,

11

1

21

2

p*

a

p*

,

a

12

1

22

2

*

*

1.

p1

p2

Решив эту систему линейных алгебраических уравнений, получим

оптимальную стратегию S*

p*,

p*

и цену игры .

A

1

2

Аналогичным образом

можно

найти оптимальную

стратегию

S*

q*,

q* игрока

В.

В этом

случае неизвестные q*

,

q*

и

B

1

2

1

2

удовлетворяют системе уравнений

a

q*

a

q*

,

11

1

12

2

q*

a

q*

,

a

21

1

22

2

*

*

1.

q1

q2

4

5

6

7

9

P

3

4

6

7

6

,

7

6

10

8

11

8

5

4

7

3

4

5

6

7

9

4

3

4

6

7

6

3

7

6

10

8

11

6

8

5

4

7

3

3

элементы каждого столбца:

4

5

6

7

9

3

4

6

7

6

7

6

10

8

11

8

5

4

7

3

8

6

10

8

11

A1

4

5

6

7

9

4

A2

3

4

6

7

6

3

[ A ]

7

6

10 8

11

6

3

A

8

5

4

7

3

3

4

8

6

10 8 11

6

P

1

2 .

3

1

Решение. Прежде всего, проверим наличие седловой точки. Для этого

найдем нижнюю и верхнюю цены игры

1

2

1

1

1

3

3

2

Нижняя

цена

игры max 1;1 1 и верхняя цена игры

min 3;2

2 .

Так как , то седловой точки нет. В этом случае

Найдем оптимальную смешанную стратегию S*

p*,

p*

игрока А

A

1

2

и цену игры решая систему уравнений

1 p1 3 p2

,

p1 1 p2

,

2

1.

p1

p2

Приравняем левые части 1-го и 2-го уравнений

1 p 3 p

2 p

1 p , то есть

3 p 2 p

0.

1

2

1

2

1

2

Учитывая, что p 1 p ,

получаем

5 p

3. Таким образом, находим

1

2

2

решение системы

p

2

,

p

3

,

7

.

1

5

2

5

5

Для определения

оптимальной смешанной стратегии

S*

q*,

q*

B

1

2

второго игрока составляем систему уравнений

1 q1 2 q2

,

3 q1 1 q2

,

1.

q1

q2

1

3

2

2

13.

а)

5

8

3

б)

Р 6

9

;

Р

3 ,

7 6 8

5

8

7

2

2

1

0

6

5

6

7

14.

а)

1

4

2

б)

Р

1

3

;

Р

1 ,

8

5 7

4

8

5

0

2

6

2

8

4

3

7

15.

а)

6

8

б)

Р

4

5 .

Р 7

9 ,

4

5

8

2

4

6

a

a

a

...

a

P 11

12

13

1n .

a22

a23

...

a21

a2n

По оси абсцисс (рис. 1) отложим единичный отрезок

A1A2 ; точка

A1

( x 0 ) изображает стратегию

A1, точка

A2 ( x 1)

– стратегию A2 ,

а все

промежуточные точки

этого

отрезка –

смешанные

стратегии SA первого

игрока, причем расстояние от SA до правого конца –

это вероятность

p1

стратегии A1, расстояние до левого конца – вероятность

p2

стратегии

A2 . На

вертикальных осях I и

II откладываем выигрыши при стратегиях A1

и

A2

соответственно. Если второй игрок примет стратегию

Bi , то на оси I отмечаем

значение a , а на оси

II – значение a

, соответствующие стратегиям A1 и

1i

2i

Рис. 1

Если игрок А

применяет смешанную стратегию SA

p ; p ,

то его

1

2

выигрыш в случае, если противник применяет чистую стратегию Bi , равен

i a p a p a (1 p ) a p ,

1i 1 2i

2 1i

2

2i

2

и этому выигрышу соответствует ордината y i

точки М на прямой

b

c

i

абсциссой

x p2 ( рис. 1 ).

Ломаная b1MNb3 , отмеченная на чертеже ( рис. 2 ) жирной линией,

позволяет определить минимальный выигрыш игрока

А при любом поведении

игрока В.

Точка

N , в которой эта ломанная достигает максимума,

определяет решение и цену игры.

Ордината точки N равна цене игры

,

двух стратегий, то выбираем любые две из них). Пусть это будут стратегии

Bi

и

B

. Находим координаты точки N(xN ; yN ) ,

как точки пересечения прямых

j

b

и

b . Оптимальной стратегией игрока А будет

p 1 x

N

,

p x

N

,

i

j

1

2

yN

Аналогично определяется

оптимальная

стратегия

второго

игрока

S*

0,..., qi*,...,q*j ,...,0 . На оси

абсцисс откладываем

единичный

отрезок

B

Bi

B j , соответствующий активным стратегиям

Bi

и

B j ;

на осях

I и

II

отмечаем соответствующие выигрыши и строим прямые

a1

и

a2 .

В

P 1

5

9

3

.

6

3

2

7