2373

2

УДК 517.53

Котко, Л. А. Математика. Элементы теории функций комплексного переменного [Текст] : методические указания для самостоятельной работы студентов специальности 190601 – Автомобили и автомобильное хозяйство / Л. А. Котко, С. В. Писарева ; Фед. агентство по образованию, ГОУ ВПО

«ВГЛТА». – Воронеж, 2010. – 28 с.

Печатается по решению учебно-методического совета ГОУ ВПО «ВГЛТА» (протокол № 8 от 11 июня 2009 г.)

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры высшей математики и физико-математического моделирования ВГТУ А.П. Дубровская

3

1.КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1.1.Комплексные числа. Исходные определения

Как известно, квадратное уравнение с действительными коэффициентами не всегда имеет действительные корни. Это обстоятельство приводит, естественно, к расширению понятия о числе, к введению чисел, частным случаем которых являются действительные числа.

Определение. Комплексным числом z называется выражение z = a + ib,

где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, определяемая равенством

i = −1 или i2 = −1.

Число a называется действительной или вещественной частью z и обозначается Re z, число b - мнимой частью и обозначается Im z.

Если a=0, то число 0 + ib = ib называется чисто мнимым, если b = 0, то получается действительное число a + i0 = а. Комплексные числа z = a + ib и

z =a – ib, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными.

Два комплексных числа z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2 считаются равными z1 = z2, если a1 = a2, b1 = b2, то есть равны их действительные и мнимые части. В частности, z = 0, если a = 0 и b = 0.

Если для геометрического изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то для изображения комплексных чисел служат точки координатной плоскости 0xy.

Любое комплексное число z = x + iy можно изобразить на плоскости 0xy в виде точки z(x,y) с координатами x и y (см. рис. 1). Обратно, каждой точке

Ось Ox, на которой расположены действительные числа, и ось 0y, на которой расположены чисто мнимые числа, называются соответственно действительной и мнимой осями.

5

В результате операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел получается снова комплексное число. Если правила действий над комплексными числами применить к действительным числам, рассматривая их как частный случай комплексных, то эти правила будут совпадать с обычными правилами действий, известными из арифметики.

Пусть комплексные числа z1 и z2 даны в тригонометрической форме

z1 z2 = r1 r2[cos(ϕ1 +ϕ2 ) +i sin(ϕ1 +ϕ2 )],

откуда видно, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

Аналогично, поделим теперь z1 на z2 , в результате получим

(Для проверки этого равенства достаточно умножить делитель на частное.) Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Пример 1.1. Комплексные числа z1 =1− 3 i и z2 = - 1 + i представьте в

1.3.Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа

Так как при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, легко получить формулу возведения комплексного числа в натуральную степень n, известную как формула Муавра

[r(cosϕ +isinϕ)]n = r n (cos nϕ +isin nϕ).

Обратимся к извлечению корня из комплексного числа.

Корнем n-ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n-ая степень которого равняется подкоренному числу, то есть

8

На комплексной плоскости значения корня n-ой степени из числа z представляют равностоящие друг от друга точки z1, z2,…, zn, расположенные на

2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

2.1. Понятие функции комплексного переменного

Пусть даны две плоскости комплексных чисел z = x + iy и w = u +iv и пусть комплексное переменное z принимает всевозможные значения из некоторого множества D в плоскости z.

Определение. Если каждому значению z из D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число w из множества G в плоскости w, то говорят, что на множестве D задана однозначная функция комплексного переменного w = f(z).

10

Непрерывность f(z) в точке z0 эквивалентна непрерывности функций u(x,y) и v(x,y) в точке (x0,y0).

Введем в рассмотрение функции комплексного переменного ez, sin z, cos z, sh z, ch z. Показательная функция w = ez определяется так

ez = ex+iy = ex (cos y +i sin y),

то есть w(z) =ex (cos y +isin y).

Синус и косинус комплексного переменного, а также гиперболические синус и косинус определяются по формулам

Легко видеть, что sin z и sh z связаны соотношением sh z= –i sin iz, а cos z и ch z соотношением ch z = cos i z. Справедлива формула Эйлера

eiz = cos z + i sin z,

из которой следует показательная форма комплексного числа z = reiϕ .

Известные из элементарной математики формулы

sin(z1 ± z2 ) = sin z1 cos z2 ±cos z1 sin z2 ; cos(z1 ± z2 ) = cos z1 cos z2 sin z1 sin z2

справедливы и для комплексных значений аргументов z1 и z2.

Приведем некоторые многозначные функции комплексного переменного:

а) корень целой степени n w = n z;

б) логарифмическая функция Lnz=ln |z| + i(arg z + 2πk);

в) степенная функция zα = eαLnz (α – действительное число). Эти функции многозначны во всех точках, кроме точек z=0 и z=∞, в которых они однозначны – такие точки называют точками ветвления. Если на плоскости z провести разрез, соединяющий точки ветвления (например, вдоль положительной действительной полуоси), то можно говорить об однозначных ветвях многозначных функций.