2373

11

2.2.Производная функции комплексного переменного. Формулы для вычисления производной

Определение. Производной однозначной функции комплексного переменного w = f(z) в точке z0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента произвольным образом стремится к нулю, то есть

Производную функции f(z) можно считать по любой из полученных выше формул

Можно показать, что производные функций zn, ez, cos z, sin z, ch z, sh z, n z, Ln z, zα находятся по тем же формулам, что и для действительного аргумента (в случае многозначных функций производные берут от их однозначных ветвей). Основные правила дифференцирования функций действительного переменного справедливы и для функций комплексного переменного.

12

2.3. Аналитические и гармонические функции

Определение. Функция комплексного переменного f(z), определенная в области D и дифференцируемая в каждой точке этой области, называется аналитической в области D.

Теорема. Необходимым и достаточным условием аналитичности функции

f(z) =u(x, y) +iv(x, y)

вобласти D плоскости z является существование и непрерывность частных производных первого порядка функций u и v в D и выполнение условий КошиРимана

С помощью этих условий легко проверить, является ли заданная функция аналитической.

Замечание. Из условий Коши-Римана вытекает, что производную функции f(z) можно считать также по формулам

аналитической ни в какой области комплексной плоскости.

Определение. Функция двух действительных переменных u(x,y), определенная в области D, имеющая в этой области непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяющая уравнению Лапласа

∂2u + ∂2u = 0, ∂x2 ∂y2

называется гармонической в области D.

13

Между аналитическими и гармоническими функциями существует простая связь. Действительная и мнимая части всякой аналитической функции являются гармоническими функциями. Однако функция f (z) = u(x, y) +iv(x, y) , где u(x,y) и v(x,y) – произвольные гармонические в D функции, не всегда является аналитической в D. Она будет аналитической только в том случае, если функции u(x,y) и v(x,y) удовлетворяют в D условиям Коши-Римана. Гармонические функции u и v, связанные условиями КошиРимана, называются сопряженными.

В случае односвязной области D справедливо утверждение: любая гармоническая функция в односвязной области D является действительной (мнимой) частью некоторой аналитической функции.

2.4. Интеграл по комплексному переменному

Пусть w = f(z) – непрерывная функция комплексного переменного z, определенная в некоторой области D, и Г – гладкая кривая, лежащая в области

D, на которой задано направление от z0 (начало кривой) к z (конец кривой).

Разобьем Г на n частей произвольными точками z0, z1, z2,…, zn = z , лежащими последовательно на кривой Г. Составим сумму

Вычисление интеграла от функции f(z) = u(x,y) + iv(x,y) сводится к вычислению двух криволинейных интегралов от действительных функций u(x,y) и v(x,y).

Справедливы следующие свойства интегралов по комплексному переменному:

14

2. Если | f (z)| ≤ M ( z Г), то | ∫ f (z)dz |≤ M дл.Г

Г

3. ∫ f (z)dz = −∫ f (z)dz, где Г– – та же кривая Г, но направление на ней

Г− Г

от z к z0.

2.5. Ряды Лорана

Пусть ряд (1) сходится в области, определяемой неравенством |z – z0| > r, ряд (2) – в области |z - z0| < R.

Если r < R, то ряд, полученный сложением рядов (1) и (2)

n=−∞

будет сходиться в кольце r < |z – z0| < R.

Теорема. Функция f(z), аналитическая в области r <|z – z0|< R, может быть представлена в этой области рядом

∞

f (z) = ∑cn (z − z0 )n ,

n=−∞

который называется рядом Лорана для функции f(z).

16

Пример 2.5. Найти особые точки функции f(z) и определить их характер:

Решение. Для данных функций особой точкой является z0=0. Для определения характера этой точки воспользуемся разложениями (5) и (6).

правильную часть. Следовательно, z0=0 является для данной функции устранимой особой точкой.

f (z) = 5 2 ez . z (z +4)(z −3)

Решение. В нашем случае g(z) = ez, h(z) = z5(z2 + 4)(z – 3) – аналитические функции во всей комплексной плоскости. Выпишем нули знаменателя – z1 = 0, z2 = 2i, z3 = – 2i, z4 = 3. Запишем знаменатель в виде произведения линейных множителей h(z) = z5(z – 2i)(z + 2i)(z – 3). Так как g(zk) ≠ 0 (k = 1, 2, 3, 4), то

z1 = 0 – полюс кратности 5, а z2 = 2i, z3 = -2i, z4 = 3 – полюсы кратности 1 (простые полюсы) для исходной функции.

Воспользуемся разложениями (5) и (6)

и найти область сходимости полученного ряда.

Решение. Мы должны получить разложение по степеням (z–1). Преобразуем данную функцию

Полученную дробь будем рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем

q = −5(z3−1) .

Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

следует, что область сходимости полученного ряда будет определяться

2.7. Вычеты

Определение. Вычетом функции f(z) в особой точке z0 называется число, равное коэффициенту с-1 при первой отрицательной степени в лорановском разложении (3). Обозначается вычет res f(z).

Пример 2.9. Найти вычет функции

Коэффициент при первой отрицательной степени c−1 = res3 f (z) = 7e2 .

Заметим, что в устранимой особой точке вычет всегда равен нулю, так как ряд Лорана содержит только правильную часть.

Для определения вычета в полюсе можно получить более удобные формулы. Пусть z0 – полюс кратности n, тогда

19

В частности, если z0 – полюс первой кратности (простой полюс), получаем

Решение. Для f(z) точка z1 = 2 – полюс первой кратности, а точка z2 = –i – полюс второй кратности.

Вычет f(z) в точке в точке z1 найдем по формуле (8):

Найдем вычет f(z) в точке z2 по формуле (7):

Теорию вычетов широко используют для вычисления контурных интегралов. Приведем основную теорему о вычетах.

Теорема. Пусть f(z) - аналитическая функция в области D, кроме конечного числа изолированных особых точек z1, z2,…, zn, и пусть γ −замкнутый контур, содержащий внутри себя z1, z2,…, zn. Тогда

n

∫ f (z)dz = 2πi∑reszk f (z) (10)

γ k =1

(мы опять использовали результат примера 2.11).

2.8. Приложение вычетов к вычислению несобственных интегралов

Пусть f(z) – функция, имеющая выше действительной оси конечное число особых точек z1, z2,…, zn и не имеющая особых точек на действительной оси. При достаточно большом R точки z1, z2,…, zn будут лежать внутри верхнего полукруга радиуса R с центром в нуле. Имеем (С – контур полукруга)