2373

21

где γR − верхняя полуокружность радиуса R с центром 0. Если при

z → ∞

1

, то есть если

f (z) =

α(z)

(Im z ≥ 0) f(z) стремится к нулю быстрее, чем

, где

z

z

α(z) → 0 при z → ∞

(Im z ≥ 0),

то легко показать,

Rlim→∞ ∫ f (z)dz = 0.

γ R

Следовательно, из (11) получим при R → ∞

∞

n

∫ f (x)dx = 2πi∑reszk f (z)

(12)

−∞

k =1

(здесь понимаем ∞∫= Rlim→∞ ∫R

).

−∞

−R

верхней полуплоскости имеет две особые точки

z1 = −

1

+

1

i

и

2

2

z2 =

1

+

1

i.

2

2

Следовательно,

∞

dx

1

1

1

1

−∫∞

= 2πi(resz1

+ resz2

= 2πi[(

) z=z1

+(

) z=z2

] =

x4 +1

z 4 +1

z4 +1

4z3

4z3

−

1

+

1

i

1

+

1

i

2πi

z

1

1

i +(

z

1

1

i] =

πi

2

2

2

2

=

[(

)z = −

+

)z =

+

(

+

) =

4

z4

2

2

z4

2

2

2

−1

−1

= −

2πi2

=

π

.

2

2

2

∞

eiax

eiaz

i(π +kπ )

ia i( π +kπ )

∞

∞

e

2

e

2

∫

dx = 2πi∑

πres

= 2πi∑

=

x

+e

−x

e

z

+e

−z

i2(

π

+kπ )

−∞e

k =0 i(

2

+kπ )

k =0

2e

2

= −πi2 e−

aπ

∞

−

aπ

1

π

2

π

∑(−1)k e−akπ = πe

=

=

.

2

2

1

+ e

−aπ

2 e

aπ

−

aπ

k =0

+ e

2ch

aπ

2

2

2

1

1

ln z

функция

f (z) =

z

3

=

e

3

z

3

+1

z

3

+1

1

x

3

равной

на его верхнем берегу.

x3 +1

Тогда

на нижнем

берегу эта

ветвь

2

1

πi

x3

равна

e

3

,

поэтому

два

x

3

+1

25

3.

Дифференцируемы ли функции:

а) ω =

z

;

б) ω = −sin x −i sin y ; в) ω = cos iz ?

4.

Является ли аналитической функция ω = f (z) , если

а)

ω = z Im z;

б)

ω = (x +3y2 ) +i(2xy − y2 );

в)

ω =

1

?

z 2

5.

Покажите,

что функция ω = f (z) = x3 −3xy2 +i(3x2 y − y3 ) является

z0 = i.

6. Проверьте, являются ли гармоническими функции

а)

υ = ex sin y ;

б) u = y2 + 3;

в) u = y(3x - 2).

7. Разложите функцию f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z0 и найдите

область сходимости полученного ряда

f (z) = sin

3z −1

, z0

= −5;

5 z

а)

б)

f (z) = e

z−3

, z0

= 3;

z +5

в) f (z) =

z

,

z0 = 3i;

г) f (z) =

z

,

z0 = 0.

z

2

2z

2

−5z + 2

+9

8. Найдите вычет функции f(z) в точке z0, если

f (z) = e

1

,

z

=1;

f (z) =

cos 3z

,

z0

= 0;

a)

z−1

0

б)

z5