TeorUpr

21

Где:

( ) – изменение передаточной функции всей системы.

( )

( ) – относительное изменение передаточной функции составной части системы.

Алгоритм определения функций чувствительности

̂ ̃

Рассмотрим функции чувствительности системы к изменению динамических характеристик наименее стабильного звена в структуре объекта управления:

Функции чувствительности системы относительно изменения входящих в нее звеньев коррекции зависят от структуры управляющего устройства.

Формулы для численной оценки интегральных функций чувствительности

Способ 1

Оценка интегральной функции чувствительности, где под знаком модуля стоят дробно-рациональные функции, через коэффициенты определяется так:

–определитель Гурвица.

–определитель, полученный из определителя Гурвица путем замены элементов первого столбца коэффициентами .

22

[ ] [ ]

Способ 2

Другое соотношение для отыскания через вычеты функции имеет вид:

и. Величина вычета может быть вычислена по формуле:

Свойство оценки интегральной функции чувствительности

Запишем определитель Гурвица в виде:

Оценка сложности УУ на элементах дискретной техники

<пропущено описание дискретной техники>

В теории алгоритмов сложность – понятие, характеризующее количество средств, необходимых для реализации вычислительных функций.

Сложность бывает:

1.Алгоритмическая – величина, характеризующая размер записи алгоритма на каком-либо алгоритмическом языке.

2.Вычислительная – оценивается временем работы алгоритма и объемом используемой памяти.

23

Математические модели ограничений

Требования к математической модели ограничений:

1.Должна достаточно точно отражать сущность ограничения.

2.Быть достаточно простой, не усложнять существенно алгоритм решения задачи.

3.Совокупность ограничений и критериев не должна быть взаимоисключающей.

4.Форма описания ограничения должна быть такой, чтобы решаемая задача при ограничениях сводилась к классической вариационной задаче.

Замечание по поводу четвертого требования - обычно при оптимизации функционала

∫ ( ( ) ( ) )

Ограничения задаются в виде дополнительных алгебраических уравнений:

Дополнительные условия могут быть представлены в двух видах:

∫ ( ( ) ( ) )

Ограничения накладываются на те же функции, что входят в функционал. Если это не так, ограничениям необходимо придать соответствующую форму.

Математические модели ограничений на реализуемость

Полосой пропускания называется диапазон частот гармонических колебаний, в которых выход заметно изменился.

Все физические системы характеризуются полосой пропускания. Наличие полосы пропускания связано с инерционными свойствами объектов. При большой частоте входных колебаний выход не успевает, в силу инерционности, начать движение в одном направлении, когда входное воздействие уже начинает движение в обратную сторону. Так что под действием входных колебаний высокой частоты выход практически может не меняться.

Примером нереализуемого устройства может быть дифференциатор.

С увеличением частоты амплитуда выходного сигнала возрастает до бесконечности, что невозможно. Поэтому, такая математическая модель нереализуема.

24

Ограничения, которым должна удовлетворять математическая модель реального объекта

Линейному дифференциальному уравнению соответствует передаточная функция:

( )

Пусть , тогда:

( )

В модель входят дифференцирующие блоки, реализовать которые невозможно. Также невозможна реализация усилителя с коэффициентом усиления на всем частотном диапазоне.

Получим, что передаточная функция математической модели реального объекта имеет степень числителя ниже степени знаменателя.

Ограничения, которым должна удовлетворять математическая модель УУ

Как правило, полоса пропускания УУ значительно шире, чем у объекта управления. Поэтому, практический интерес представляют модели УУ в полосе пропускания объекта управления.

Рассмотрим УУ с передаточной функцией ( ) . Так как УУ должен иметь такую передаточную функцию только в полосе пропускания, а не на всем частотном диапазоне – построение такого УУ допустимо.

Пусть на вход УУ подается воздействие:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Если степень числителя превышает степень знаменателя на единицу, т.е. происходит однократное дифференцирование:

То соотношение сигнал/шум уменьшится в 100 раз. Дальнейшее увеличение превышения степени числителя еще больше уменьшает это соотношение.

Из этого следует, что передаточная функция УУ и звеньев коррекции степень числителя всегда меньше

либо равна степени знаменателя.

Соотношения, обеспечивающие реализуемость УУ

I случай

25

Предположим, что m>n, где m и n – степени числителя и знаменателя, соответственно. Запишем условия на

Тогда n>m:

II случай

̃

̂

26

Математическая модель ограничения на реализуемость в изопериметрической форме

Интегралы сходятся, если:

1.Степень числителя меньше степени знаменателя.

2.Все корни знаменателя находятся в левой полуплоскости.

Если интегралы сходятся, то справедливы неравенства:

Следовательно, справедливы следующие соотношения:

То есть из сходимости интегралов следует выполнимость ограничений.

Ограничения на реализуемость как мера качества системы управления

<Пропущено две схемы, стр. 86 учебника>

Согласно второй схеме, а также на основании равенства Парсеваля второе соотношение можно представить в виде:

27

Корректность задачи

Корректность задачи – малым изменения в исходных данных соответствует малое изменение в решении.

Непрерывная зависимость решения от вариаций исходных данных в среднеквадратичной метрике обеспечивается, если передаточная функция ( ) удовлетворяет ограничению:

∫ | ( )|

Если ограничение сопоставить с условиями на реализуемость УУ, то решаемые при ограничениях на

реализуемость оптимизационные задачи всегда корректны.

Математическая модель ограничений на астатизм в системе

УУ конструируем таким образом, чтобы ( ) и ( ) как можно раньше совпали.

Теорема Вейерштрасса

Если ( ) – функция действительного переменного, непрерывна в конечном замкнутом промежутке, то как бы ни было мало наперед заданное положительно число , можно указать такой полином ( ), чтобы для всех t из рассматриваемого промежутка выполнялось соотношение:

Где ( ) и ( ) – дробно-рациональные функции, не имеющие полюсов в начале координат плоскости комплексного переменного.

28

Математическая модель ограничения на астатизм в изопериметрической форме

∫ | ( )|

Интеграл сходится, если степень числителя ( ) меньше степени знаменателя, а полюсы на мнимой оси, в том числе и в начале координат, отсутствуют.

Ограничения на астатизм как мера качества системы управления

∫ |( ( ) ̂ ( )) |

Выражения представляют собой квадратичные интегральные оценки качества разности желаемого и действительного переходных процессов при подаче на вход операторов ( ) и ̂ ( ) воздействий видов

( ) и т.д.

29

Интегральный квадратичный критерий оценки качества системы

Обобщенный критерий оценки качества работы:

показателей.

Первая составляющая функционалов характеризует качество системы в установившемся режиме, относительно случайных воздействий. Все другие составляющие – качество системы в переходном режиме относительно регулярных воздействий.

Чем сложнее функционал, характеризующий качество системы, тем сложнее УУ.

Составим единый обобщенный функционал.

Примем ̂ ̃ для удобства вычислений.