540

52

14.Сколькими способами из 10 спортсменов можно отобрать четырех человек для участия:

A. В соревнованиях по бегу на 100 м.

B. В эстафете 100 м + 200 м + 400 м + 800 м?

15.Сколько существует различных трехбуквенных слов, которые можно составить из 32 букв алфавита?

16.Сколькими способами можно расставить 6 различных книг на одной полке?

17.В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?

18.На окружности выбрано7 точек. Сколько можно построить треугольников?

19.Сколько различных слов можно составить из букв слова«ли-

тература»?

20.В кондитерском магазине продаются5 видов тортов. Для выпускного вечера необходимо купить8 тортов. Сколько существует способов сделать это?

21.Сколько существует трехзначных чисел с разными цифрами в десятичной системе счисления?

53

Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ

§ 1. Основные понятия и определения

Под графом понимают систему объектов произвольной природы (вершин) и связок (ребер), соединяющих некоторые пары этих объектов.

Примером может служить схема автодорог, соединяющих населенные пункты Московской области. Представим на плоскости конечное множество точек V и некоторое множество линий X, соединяющих попарно какие-либо точки из множестваV. Пусть точки множества V обозначают населенные пункты Московской области, а линии множества X – автодороги, соединяющие населенные пункты между собой. Тогда множество точек(населенных пунктов) назовем множеством вершин, а множество линий (автодороги) – множеством ребер.

Известно, что на некоторых участках автомобильных дорог допускается только одностороннее движение. Тогда соответствующее ребро называется дугой и изображается стрелкой, направленной от начальной вершины к конечной вершине. Граф, состоящий из дуг, называют

ориентированным графом или просто орграфом. Граф, образованный ребрами, называют неориентированным графом или неографом.

Пример 1. Между планетами Солнечной системы установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля–Меркурий; Плутон–Венера; Земля–Плутон; Плу- тон–Меркурий; Меркурий–Венера; Уран–Нептун; Юпитер–Марс; Марс–Нептун; Юпитер–Уран и Марс–Уран. Можно ли долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса?

Решение. Нарисуем схему условия задачи: планеты изобразим точками (вершины графа), а маршруты ракет – линиями со стрелками на конце, указывающими направление маршрута (дуги графа) (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Теперь сразу видно, что долететь с Земли до Марса нельзя.

54

Ребро, концевые вершины которого совпадают, называется петлей. Ребра с одинаковыми концевыми вершинами называютсякратными. Вершина, которая не соединена с другими вершинами, называ-

ется изолированной.

Один и тот же граф можно изображать по-разному. Взаиморасположение вершин, а также длина, толщина и форма соединяющих линий не имеют никакого значения. В этом проявляется свойствоизо-

морфизма графов.

Так на рис. 4.2 и 4.3 представлены примеры изображения графов:

Таким образом, граф – свободная конструкция, для которой имеет значение факт наличия связей между двумя вершинами, а в некоторых случаях – характер этих связей.

Пример 2. Для графа G (рис. 4.4) указать вершины, ребра, изолированные вершины, кратные ребра, петли.

Рис. 4.4

55

§ 2. Маршруты на графах

Часто на графе требуется выделить различные маршруты, обладающие определенными свойствами. Маршрут длины m – это после-

довательность m ребер графа x1 ,..., xm , такая, что любые два соседних ребра последовательности имеют общую вершину.

Замкнутый маршрут приводит в ту же вершину, из которой он начался. Цепь – это маршрут, все ребра которого различны. Простая цепь – это цепь без повторяющихся вершин. Замкнутая цепь называется циклом. Простой цикл – это простая замкнутая цепь.

Пример 3. На рис. 4.5 представлен граф G.

Рис. 4.5

В данном графе:

- x1 , x2 , x3 , x6 , x7 , x2 – маршрут, соединяющий вершины v1 и v2 ;

-x1 , x2 , x3 , x6 , x7 , x2 , x1 – замкнутый маршрут. Он начинается и заканчивается в вершине v1 ;

-x1 ,x2 , x3 , x6 , x7 – цепь (все ребра в ней различны). Эта цепь не яв-

ляется простой, так как при обходе вершину v3 мы посетили два раза;

-x1 , x2 , x3 – простая цепь (все вершины различны);

-x6 , x7 ,x8 , x3 – цикл;

-x6 ,x7 ,x3 – простой цикл.

Вслучае орграфа вместо слова«цепь» говорят «путь», а слово «цикл» заменяют на слово «контур».

56

§ 3. Деревья

Граф называется связным, если для двух любых его вершин существует маршрут, их соединяющий. Связный граф, не содержащий циклов, называется деревом. Например, генеалогический граф (родословное дерево), совокупность файлов и каталогов на диске(иерархическая структура диска).

Пример 4. На рис. 4.6 представлен граф G, который является деревом.

Рис. 4.6

Пример 4. Граф G, представленный на рис 4.7, деревом не является, так как содержит цикл.

Рис. 4.7

Каждому дереву с m ребрами можно сопоставить вектор длины2 m из нулей и единиц, называемый кодом дерева. Обходим дерево, начиная с корня дерева. По каждому ребру нужно пройти дважды. Первый проход по ребру отмечается нулем. Повторному проходу по ребру соответствует единица. Из всех возможных вариантов продолжения обхода выбирается продолжение обхода по крайнему левому ребру. Заканчивается обход в корне дерева. Количество нулей в коде дерева всегда равно количеству единиц.

57

Пример 5. Определим код, соответствующий дереву, изображенному на рис 4.8.

Рис. 4.8

Решение. Обозначим ребра дерева буквами латинского алфавита

(рис. 4.9).

Рис. 4.9

Тогда обход дерева задается следующей последовательностью: a, b, b, c, c, a, d, e, e, f, f, d. По этой последовательности построим код дерева.

Двигаемся по последовательности слева направо. Если буква встречается в последовательности первый раз, то вместо нее пишем 0. Буквам, которые повторяются в последовательности, соответствует 1. Тогда код дерева равен 001011001011.

По коду дерева можно восстановить само дерево. Двигаемся по последовательности из нулей и единиц слева направо. Если очередной символ равен нулю, то рисуем новое ребро. Если очередной символ – это единица, то очередной шаг делаем в обратном направлении по последнему нарисованному ребру.

59

Рис. 4.11

Решение. Так как у данного графа5 вершин и 6 ребер, то размер матрицы смежности A(G) будет 5 ´ 5 .

Замечание. Элемент матрицы ai j – это элемент, расположенный

на пересечении i-й строки и j-го столбца.

Очевидно, что a12 = 1 (элемент, расположенный на пересечении 1-й

строки и 2-го столбца данной матрицы), так как в графе G есть ребро,

v4 , и т. д.

Так как у данного графа5 вершин и 6 ребер, то размер матрицы инцидентности B(G) будет 5´6 .

60

Очевидно, что b11 = 1 (элемент, расположенный на пересечении 1-й

строки и 1-го столбца данной матрицы), так как в графе G вершина v1 является концевой вершиной ребра x1 .

b12 = 1, так как в графе G вершина v1 является концевой вершиной ребра x2 ´ b13 = 0 , так как в графеG вершина v1 является концевой вершиной ребра x3 , и т.д.

Пусть дан орграф D с вершинами v1 ,...,vn и дугами x1 ,..., xm .

Матрица смежности орграфа D – это квадратная матрица A(D)

размера n´n (n – число вершин) с элементами:

Матрица инцидентности графаD – это матрица В(D) размера n ´ m (n – число вершин; m – число дуг) с элементами:

Пример 8. Дан орграф D (рис. 4.12). Для данного графа построить матрицу смежности A(D) и матрицу инцидентности B(D).

Рис. 4.12

Решение. Так как у данного графа5 вершин и 6 дуг, то размер матрицы смежности A(D) будет 5´5 .