540

41

Решением неравенства x + 5 ³ 0 является интервал [–5; +∞). Таким образом, интервал [–5; +∞) является множеством истинности неопределенного высказывания q( x ) : { x + 5 ³ 0 } .

1.p(x) истинно тогда, когда p(x) не выполняется. Следовательно, множеством истинности p(x) является интервал (–∞; 5].

2.q(x) истинно тогда, когда q(x) не выполняется. Следовательно, множеством истинности q(x) является интервал (–∞; –5).

3.p(x) Ù q(x) истинна тогда, когда истинны оба неопределенных высказывания p(x) и q(x) . Следовательно, множеством истинности p(x) Ù q(x) является интервал (5; +∞).

4.p(x) Ú q(x) истинна тогда, когда истинно хотя бы одно из неопределенных высказываний p(x) или q(x) . Следовательно, множеством истинности p(x) Ú q(x) является интервал [–5; +∞).

5. p(x) ® q(x) истинна во всех случаях, кроме случая, когда

p(x) истинно, а q(x) ложно. Следовательно, множеством истинности p(x) ® q(x) является интервал (–∞; +∞).

6. p(x) « q(x) истинна, если p(x) и q(x) или оба истинны, или оба ложны. Следовательно, x Î( -¥; 5 ) È( 5; + ¥ ).

Наряду с логическими операциями важную роль играют операции, называемые кванторами. Наиболее употребительны два квантора:

квантор общности " (для всех, для каждого) и квантор существова-

ния $ (для некоторого). Кванторы " и $ характеризуют множество истинности неопределенного высказывания и ставятся перед этим высказыванием. Это называется «навешиванием квантора». Так, если данное неопределенное высказывание p(x) истинно для всех элементов из множестваМ, то применяют квантор общности" и пишут: ("x Î M ) : p(x) . При этом p(x) превращается в истинное высказывание. Если данное неопределенное высказывание p(x) истинно хотя бы для одного элемента из множестваМ, то применяют квантор существования $ и пишут так: ($x Î M ) : p(x) . Тогда неопределенное высказывание p(x) превращается в истинное.

Например, неопределенное высказывание «2х + 5 = 11» превращается в истинное высказывание, если воспользоваться квантором существования ( $x Î R ) : ( 2x + 5 = 11 ) , и читается так: «Существует

42

действительное значение х, такое, что 2х + 5 = 11». Аналогично неопределенное высказывание « x2 ³0 » превращается в истинное с помощью квантора общности: ( "x Î R ) : ( x2 ³ 0 ) , и читается так: «Для всех действительных значений х выполняется неравенство x2 ³0 ».

Записи ("x Î M ) : p(x) и ($x ÎM ) : p(x) можно читать по-разному, хотя их логический смысл всегда один и тот же. Например:

1. ("x Î M ) : p(x) читается так (слова в квадратных скобках иногда опускаются):

- для всякого (любого, каждого) [значения] х из М p(x) [истинно]; - всякий (любой, каждый) элемент х множества М обладает свой-

ством p(x) ;

- каково бы ни было х из М, p(x) [истинно]. 2. ($x ÎM ) : p(x) читается так:

-существует [значение] х из М такое, что p(x) [истинно];

-для некоторых [значений] х из М p(x) [истинно];

- по меньшей мере (хотя бы) одно [значение] х из М таково, что p(x) [истинно];

- найдется такое х из М, что p(x) [истинно].

Кстати, отметим, что квантор общности произошел от английского слова «All» (все) и обозначается буквойА, перевернутой вверх ( " ). Квантор существования произошел от английского слова«Exist» (существует) и обозначается буквой Е, повернутой в другую сторону ( $ ).

Пример 24. Запишите следующие высказывания, воспользовавшись кванторами:

1. «Всякое число равно самому себе».

2. «По крайней мере одно числох является корнем уравнения x2 - 2x + 1 = 0 ».

Решение. Используя квантор общности " и квантор существования $ , получим:

1.( "xÎR ):( x = x ).

2.( $xÎR ):( x2 -2x +1).

43

Пример 25. Определите значения истинности следующих высказываний:

1.«( "x Î R ) : ( x - 1 = x ) , если R – множество действительных чисел».

2.«( $x Î R ) : ( x -1 ¹ x ), если R – множество действительных чисел». Решение. Пользуясь определением квантора общности и квантора

существования, сформулируем эти высказывания и определим значения истинности:

1.( "x Î R ) : ( x - 1 = x ) – для любого х из множества R справедливо утверждение: x - 1 = x (ложно).

2.( $x Î R ) : ( x -1 ¹ x ) – найдется такое х из множества R, для ко-

торого справедливо утверждение: x - 1 ¹ x (истинно).

Задания для самостоятельного решения к главе 2

1. С помощью диаграмм Эйлера-Венна проверить истинность следующих утверждений:

A.«Если все звезды излучают энергию, и Солнце это звезда, то Солнце излучает энергию».

B.«Если ни один кит не может лета, тоь ни один летающий предмет не является китом».

C.«Если все тигры являются млекопитающими, и все тигры являются хищниками, то некоторые хищники являются млекопитающими».

D.«Если все президенты – политики, и некоторые политики властолюбивы, то, значит, некоторые президенты властолюбивы».

E.«Если все самодовольные болтуны – утомительные собеседники, и некоторые люди – самодовольные болтуны, то, значит, некоторые люди – утомительные собеседники».

2.Запишите в символическом виде, используя обозначение соответствующих логических операций, следующие сложные высказывания:

A.«Пожар мог произойти или по причине поджога, или в результате замыкания электропроводки».

B.«Есть тайная ценность в ненужных мечтах, и цветах, и святынях» (В. Брюсов).

C.«Если власть нарушает закон, то она порождает неуважение к нему».

D.«Когда идет снег, то влажность воздуха повышается».

E.«Если число делится на два, то оно четное».

F.«Взломана дверь, украдены вещи».

G.«Если в прямоугольнике все стороны равны, то это квадрат».

44

H.«Число может быть рациональным или иррациональным».

I.«Если дважды два четыре, то снег белый».

3.Построить таблицу истинности для булевых функций:

A.(а Ù b) ® (c Ú a) .

B.(a ® c) Ù (b Ú a) .

C.(а « b) Ú (c « a) .

D.(a Ù b Ù c) ® b .

E.(a Ú b) Ù c .

4.Владимир, Роман, Андрей и Сергей заняли на математической олимпиаде четыре первых места. На вопрос о распределении мест были получены следующие ответы:

1) Роман – первый, Сергей – второй;

2) Роман – второй, Владимир – третий;

3) Андрей – второй, Владимир – четвертый.

Вкаждом из ответов только одно утверждение истинно. Определите, как распределились места.

A.p(x) .

B.q(x) .

C.p(x) Ù q(x) .

D.p(x) Ú q(x) .

E.p(x) ® q(x) .

F.p(x) « q(x) .

7.Запишите следующие высказывания, воспользовавшись кванторами:

A.«Каково бы ни было число у, квадрат его неотрицателен».

B.«Всякое число либо положительно, либо отрицательно, либо равно нулю».

C.«Существует такое х, что x +7 = 2 ».

8.Определите значения истинности следующих высказываний:

A.( "x Î R ) : ( x + x = 2x ) .

B.( $x Î R ) : ( x + 1 ¹ x ) .

45

Глава 3. КОМБИНАТОРИКА

§ 1. Предмет и основные правила комбинаторики

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Комбинаторные задачи связаны:

1.С выбором из некоторой группы предметов тех, которые обладают заданными свойствами.

2.С расположением этих предметов в определенном порядке.

3.С расчетом числа возможных комбинаций.

Комбинаторное правило сложения. Если некоторый объектА можно выбрать m способами, а другой объектВ можно выбратьn способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить m + n способами.

Пример 1. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?

Решение. По условию задачи яблоко(объект А) можно выбрать пятью способами (m = 5), апельсин (объект В) – четырьмя (n = 4). Так как в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо апельсин», то его, согласно правилу сложения, можно осуществить m + n = 5 + 4 = 9 способами.

Правило сложения справедливо для выбора любого конечного числа объектов. В общем виде его можно сформулировать так:

Если выбор каждого из объектов Ai (i = 1, 2, ..., k) можно выполнить ni способами, то выбор «либо A1, либо A2, ..., либо Ak» можно

k

произвести N = åni способами.

i=1

Пример 2. Пусть из пункта А в пункт В можно добраться самолетом, поездом и автобусом, причем между этими пунктами существуют 2 авиамаршрута, 1 железнодорожный и3 автобусных. Сколько существует способов добраться из пункта А в пункт В?

Решение. Так как между пунктамиА и В существуют 2 авиамаршрута, 1 железнодорожный и3 автобусных, то общее число маршрутов будет равно 2 + 1 + 3 = 6, т.е. существует 6 способов добраться из пункта А в пункт В.

46

Комбинаторное правило умножения. Если некоторый объектА можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А, В) в указанном порядке можно осуществить m × n способами.

Пример 3. В почтовом отделении продаются 7 видов открыток и 5 видов конвертов. Сколько существует способов купить открытку с конвертом?

Решение. Для покупки открытки (объект А) и конверта (объект В) существует m × n = 7 × 5 = 35 способов.

Правило умножения справедливо для выбора любого конечного числа объектов. В общем виде его можно сформулировать так:

Если выбор каждого из объектов Ai (i = 1, 2, ..., k) можно осуществить ni способами, то выбор «и A1, и A2, ..., и Ak» в указанном порядке

k

можно произвести N = Õni способами.

i=1

Пример 4. Для запирания автоматической камеры применяется кодовый замóк, который открывается лишь тогда, когда набран соответствующий шифр. Этот шифр набирают с помощью пяти дисков, на каждом из которых изображены цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Сколько существует способов закодировать замок?

Решение. Шифр кодового замка состоит из пяти цифр. Каждую цифру можно выбрать десятью способами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Поэтому существует 10 × 10 ×10×10 ×10 = 100000 способов закодировать замок.

§ 2. Размещения

Пусть имеется множество, содержащее n различных элементов. Из данных элементов всеми возможными способами делаются выборки k элементов (k < n). Каждая выборка отличается от другой или составом элементов, или их порядком. Такие выборки называются разме-

щениями из n по k.

В комбинаторных задачах необходимо уметь подсчитывать число всех размещений изn элементов поk элементов. Для обозначения

этого числа применяется специальный символ Ank (А – первая буква

47

французского слова arrangement, что означает размещение, приведение в порядок).

Число размещений без повторений из n элементов по k вычисляют по формуле:

Замечание 1. n! – факториал числа n (от лат. factor – множитель). n! = 1 × 2 × 3 … × n (произведение натуральных чисел доn включительно). Факториал определен только для целых неотрицательных чи-

сел. Полагают: 0! = 1; 1! = 1; 2! = 1 × 2 = 2 ; 3! =1 × 2 × 3 = 6 и т.д.

Пример 5. В турнире по рукопашному бою участвуют8 команд. Сколько существует вариантов призовой тройки?

Решение. Так как порядок следования команд в призовой тройке важен (от этого зависит достоинство медалей), то мы имеем дело с размещениями. Нужно определить число всех размещений из n = 8 команд

по k = 3 команды.

Пример 6. На первом курсе университета изучается 15 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на среду, если известно, что в этот день должно быть 4 разных предмета?

Решение.

Пример 7. Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры, однако помнил, что они различны. Сколько неудачных попыток дозвониться может быть сделано абонентом?

дозвониться, среди которых одна удачная. Поэтому неудачных попы-

ток будет 720 – 1 = 719.

48

Если все n элементов различны, но в размещениях допускаются повторения, то число размещений с повторениями определяется формулой:

Ank( ïîâò .) = nk .

Пример 8. Сколько двузначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, если в записи числа цифры могут повторяться?

Решение. A42( ïîâò .) = 42 = 16 .

§ 3. Перестановки

Пусть имеется множество, содержащее n различных элементов. Комбинации, которые можно получить, переставляя всеми возможными способами между собой данные n элементов, называются пе-

рестановками из n элементов.

Перестановки являются частным случаемразмещений (размещение из n элементов по n элементов). Так как каждая перестановка содержит все n элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов.

Для обозначения числа перестановок применяется специальный символ Pn (P – первая буква французского слова permutation, что означает перестановка).

Число перестановок без повторений из n элементов вычисляют по формуле:

Pn = n!

Пример 9. На собрании должны выступить6 ораторов. Сколькими способами можно установить очередность выступлений?

Решение. Pn = n! = 6! = 1´ 2 ´3 ´4 ´5 ´6 =720 .

Пример 10. Сколько перестановок можно составить из букв слова «линейка»?

Решение. В слове «линейка» – 7 букв, все они различны. Поэтому

49

Пример 11. Сколькими способами можно переставить буквы слова «задача», чтобы три буквы «а» шли подряд?

Решение. Чтобы три буквы «а» шли подряд, их нужно рассматривать как один элемент и переставлять только соединенными между собой. «Свяжем» три буквы «а», тогда искомое число способов равно числу перестановок 4из элементов (ааа, з, д, ч), т.е.

P4 = 4! = 1´ 2 ´ 3 ´4 = 24 .

Если среди n элементов имеется p элементов одного вида, q – другого, r – третьего и т.д, то число всех перестановок с повторениями определяется формулой:

Пример 12. Сколько различных шестизначных чисел можно -со ставить из цифр 1, 1, 1, 5, 5, 9?

§ 4. Сочетания

Пусть имеется множество, содержащее n различных элементов. Из данных элементов всеми возможными способами делаются выборки k элементов (k < n). Каждая выборка отличается от другой только составом элементов (хотя бы одним элементом). Такие выборки назы-

ваются сочетаниями из n по k.

Число всех сочетаний из n элементов по k элементов обозначается символом Ñ nk (С – первая буква французского слова combinaison, что означает сочетание).

Число сочетаний без повторений из n элементов по k вычисляют по формуле:

50

Пример 13. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 5 членов, можно образовать из 12 преподавателей?

Решение.

Пример 14. Учащимся дали список из10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из этого списка 6 книг?

Если все n элементов различны, но в сочетаниях допускаются

Пример 15. На третьем курсе экономического факультета учатся 10 девушек и 12 юношей. Сколько существует способов выбрать 2 девушек и 2 юношей для возложения цветов к Вечному огню?

Решение. Девушек можно отобратьÑ 102 способами, а юношей –

Ñ 122 способами. Применяя правило умножения, получаем, что суще-

отобрать 2 девушек и 2 юношей для возложения цветов к Вечному огню.

Пример 16. В почтовом отделении продаются открытки 5 видов. Сколько существует способов покупки 7 открыток?

Решение.