540
.pdf61
æ |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
ö |
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
çç1 |
0 |
0 |
0 |
1÷÷ |
||
A( D ) = çç0 |
1 0 |
0 0÷÷ . |
||||
çç0 |
0 |
1 |
0 |
1÷÷ |
||
ç |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
÷ |
èç0 |
ø÷ |
|||||
Очевидно, что a12 = 0 (элемент, расположенный на пересечении 1-й
строки и 2-го столбца данной матрицы), так как орграф D не содержит дуги из v1 в v2 .
a13 = 1, так как орграф D содержит дугу из v1 в v3 ;
a14 = 0 , так как орграф D не содержит дуги из v1 в v4 , и т.д.
Так как у данного орграфа5 вершин и 6 дуг, то размер матрицы инцидентности B(D) будет 5´6 .
æ |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
ö |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
çç-1 0 |
0 |
0 |
-1 1 ÷÷ |
||||
B ( D ) = ç |
0 |
1 |
1 0 |
0 |
-1÷ . |
||
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
çç 0 |
0 |
-1 -1 0 |
0 ÷÷ |
||||
ç |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
÷ |
èç |
ø÷ |
||||||
Очевидно, что b11 = 1 (элемент, расположенный на пересечении 1-й
строки и 1-го столбца данной матрицы), так как в вершине v1 заканчивается дуга x1 .
b12 = -1, так как в вершине v1 начинается дуга x2 ;
b13 = 0 , так как вершина v1 не является концевой вершиной для дуги x3 , и т.д.
§ 5. Эйлеров цикл
Первой научной работой, посвященной графам, считается статья Л. Эйлера, опубликованная в 1736 г. Статья была посвящена задаче о кенигсбергских мостах. Жителей Кенигсберга заинтересовал вопрос, могут ли они, выйдя из любой части города и пройдя по каждому из семи мостов ровно один раз, вернуться в исходное место. Эйлер переформулировал задачу, изобразив части города в виде вершин, а
62
мосты сделал ребрами графа и дал отрицательный ответ на поставленный вопрос. Задачу о кенигсбергских мостах Эйлер свел к задаче о существовании на графе цикла, включающего все вершины графа. Такой цикл называется эйлеровым.
Граф, в котором есть эйлеров цикл, можно нарисовать, не отрывая карандаш от листа бумаги и не проводя дважды по какому-либо ребру графа. Следует заметить, что это условие является необходимым, но недостаточным, т.е. не всякий граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаш от листа бумаги, содержит эйлеров цикл.
Эйлеров цикл есть в графе (с более чем одной вершиной) тогда и только тогда, когда граф являетсясвязным и каждая его вершина имеет четную степень.
Степенью вершины графа называется число ребер графа, для которых эта вершина является концевой вершиной.
Пример 9. Определим наличие эйлерова цикла в следующем гра-
фе (рис. 4.13):
Рис. 4.13
Решение. Рассмотрим данный граф. Степень каждой вершины данного графа четна. Очевидно, что эйлеров цикл в графе существует.
Пример 10. Определим наличие эйлерова цикла в следующем графе (рис. 4.14):
Рис. 4.14
63
Решение. Рассмотрим данный граф. В данном графе есть вершины, степень которых нечетна. Это вершины d и e. Очевидно, что эйлеров цикл в графе не существует.
Интересно заметить, что сам термин «граф» появился в математике лишь через двести лет после решения Эйлером задачи о кенигсбергских мостах.
Задания для самостоятельного решения к главе 4
1. Определить код, соответствующий следующему дереву (рис. 4.15).
Рис. 4.15
2. По матрице смежности A(G) построить граф G. Определить наличие эйлерова цикла в этом графе.
æç0 1 1 1 ö÷
ç1 0 1 0 ÷ A ( G ) = çç1 1 0 0 ÷÷
çè1 0 1 0 ÷ø
3. Для данного графа(рис. 4.16) построить матрицу смежности и матрицу инцидентности:
64
Рис. 4.16
4.Построить дерево, соответствующее коду 0010110011.
5.Для данного орграфа(рис. 4.17) построить матрицу смежности
иматрицу инцидентности:
Рис. 4.17
|
|
65 |
|
Ответы к главе 1 |
|
1. |
À È Â ={ 1; 2; 3; 4; 5; 6;7; 9; 10 }, À Ç Â ={ 3; 10 } , |
|
A\ B ={ 1; 2; 5;7 } , Â \ À ={ 4;6; 9 }, |
А D В = {1; 2; 4; 5; 6; 7; 9}. |
|
2. |
À È( Â ÇÑ ) ={ 1; 2; 3; 5;7; 9; |
10 }, ( À È Â )ÇÑ ={ 2; 5;7; 9 }, |
À Ç( Â ÈÑ ) ={ 2; 3; 5;7 ;10 }, ( À Ç Â )ÈÑ ={ 2; 3; 5;7; 9;10;11} , ( À È Â )Ç( Â ÈÑ ) ={ 2; 3; 4; 5;6;7; 9; 10 } , ( À Ç Â )È( Â ÇÑ ) ={ 3; 9;10 }.
3. |
À È Â = [ -13; 5 ] , À Ç Â =( -13;0 ), A\ B = [ 0; 5 ] , Â \ À ={ -13 }. |
4. |
À È Â = [ 0; 11] , À Ç Â =( 0;11) , A\ B ={ 11}, Â \ À ={ 0 }. |
5. |
À È Â =( -3; + ¥), À Ç Â = Æ , A\ B =( -3; 3 ), Â \ À = [ 3;+¥ ). |
6. |
À È Â =( -¥; + ¥ ), À Ç Â = [ 0;19 ), A\ B =( -¥;0 )È[ 19; + ¥ ), |
 \ À = Æ . |
|
7. |
À È Â =( -¥; 27 ), À Ç Â = [ -14; 0 ), A\ B =( -¥; -14 ) , |
Â\ À = [ 0; 27 ).
8.À È Â = [ -12; + ¥ ), À Ç Â =( -3;12 ] , A\ B =( 12; + ¥ ) ,
Â\ À = [ -12; -3 ] .
9.À È Â =( -7;19 ), À Ç Â =( 0; 9 ) , A\ B =( -7;0 ] È[ 9;19 ), Â \ À = Æ .
10.À È Â =( -4;0 )È [ 4; 8 ] , À Ç Â = Æ , A\ B =( -4;0 ) , Â \ À = [ 4; 8 ] .
11.À È Â = [ -5; 5 ] È{7; 9; 11;15; 20; 22 } , À Ç Â ={ 5 } ,
A\ B ={7; 9; 11; 15; 20; 22 } , Â \ À = [ -5;5 ) .
12.AÈ B ={ 2 }È( 3; 9 )È{ 10 }È{ 12 } , À Ç Â ={ 4;6; 8 }, A\ B ={ 2;10;12 } , Â \ À =( 3; 4 )È( 4;6 )È( 6; 8 )È( 8; 9 ).
13.( À ÈÑ )Ç Â .
66
14. ( À \ Ñ )Ç( Â \ Ñ ) .
15. ( À Ç Â )È( Â ÇÑ ).
16. ( À ÇÑ )È( Â \ Ñ ) .
17. ( À ÈÑ )\( Â \ Ñ ).
67
18. À È Â ={ 3;7;10 }, À ={ 1; 3; 5;7; 9;10 }, Â = { 2; 3; 4; 6;7; 8; 10 } ,
À Ç Â = E ={ 1; 2; 3; 4; 5;6;7; 8; 9;10 }, AÈ B ={ 1; 2; 3; 4; 5;6;7; 8; 9;10 },
ÀÇ Â ={ 3;7;10 }.
19.À È Â =( -¥; -4 ) È[ 16; + ¥ ) , À =( -¥;0 ] È( 11; + ¥ ) ,
Â=( -¥; -4 )È[ 16; + ¥ ), À Ç B =( -¥; 0 ] È( 11; + ¥ ),
ÀÈ B =( -¥;0 ] È[ 11; +¥ ), AÇ Â =( -¥; -4 ) È[ 16; + ¥ ) .
20.( À \ Â )ÈÑ = [ 3;7 ] , ( À \ Ñ )È Â =( 6;7 ] È[ -2; 4 ] , A\( Ñ Ç B ) = [ 2; 3 )È( 4;7 ] , ( A È Â )\ Ñ = [ -2; 3 )È( 6;7 ] , AÈ( Â \ Ñ ) = [ -2;7 ] .
21.8.
22.3.
Ответы к главе 2
1.
A.Истинно.
B.Истинно.
C.Истинно.
D.Ложно.
E.Истинно.
2.
A.À Ú Â .
B.À Ù Â ÙÑ .
C.À ® Â .
D.À ® Â .
E.À « Â .
F.À Ù Â .
G.À « Â .
H.À Ú Â .
I.À ® Â .
68
3.
A. ( à Ùb ) ®( c Ú a ) .
а |
b |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ù |
|
|
c Ú a |
( |
|
Ù |
|
) ® ( c Ú a ) |
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
à |
b |
||||||||
a |
|
|
|
a |
|||||||||||||||
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
|||||||||
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|||||||||
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
|||||||||
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
|||||||||
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
1 |
1 |
|||||||||
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
1 |
1 |
|||||||||
1 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
|||||||||
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
|||||||||
B. ( a ®c )Ù( b Ú a ).
а |
b |
с |
a ® c |
|
|
|
b Ú a |
( |
a ®c |
)Ù( b Ú a ) |
a ®c |
||||||||||
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
|
0 |
0 |
||
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
|
0 |
0 |
||
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
|
1 |
0 |
||
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
|
1 |
0 |
||
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
1 |
0 |
||
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
|
1 |
0 |
||
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
|
1 |
1 |
||
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
|
1 |
0 |
||
C. ( à «b )Ú( c « a ).
а |
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
« |
|
|
c « a |
( |
|
«b )Ú( c « a ) |
||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
à |
|||||||||
a |
|
|
|
a |
|||||||||||||||
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|||||||||
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
|||||||||
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
|||||||||
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|||||||||
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|||||||||
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
1 |
1 |
|||||||||
1 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
|||||||||
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|||||||||
69
D. ( a Ùb Ùc ) ®b .
а |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
a Ùb Ùc |
|
|
|
|
|
|
|
( a Ùb Ùc ) ®b |
|
||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
a Ùb Ùc |
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
0 |
|
1 |
|
1 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
0 |
|
1 |
|
1 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
E. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
( a Úb )Ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а |
b |
|
с |
|
ñ |
|
|
|
a Úb |
|
( a Úb )Ù |
c |
|
|
|
|
( a Úb )Ù |
c |
|
|
||||||
0 |
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
4.Роман – первый, Андрей – второй, Владимир – третий, Сергей – четвертый.
5.7 решений.
6.
A.p( x ) истинно тогда, когда p( x ) не выполняется. Следовательно, множеством истинности p( x ) является интервал [3; +∞).
B.q( x ) истинно тогда, когда q( x ) не выполняется. Следовательно, множеством истинности q( x ) является интервал (–3; +∞).
C.p( x ) Ù q( x ) истинна тогда, когда истинны оба неопределенных высказывания p( x ) и q( x ) . Следовательно, множеством ис-
тинности p( x ) Ù q( x ) является интервал [3; +∞).
70
D. p( x )Ú q( x ) |
истинна тогда, |
когда истинно хотя бы одно из |
|||
неопределенных |
высказываний |
|
|
|
|
p( x ) или |
|
. Следовательно, |
|||
q( x ) |
|||||
множеством истинности p( x )Ú q( x ) является интервал (–3; +∞). E. p( x ) ® q( x ) истинна во всех случаях, кроме случая, когда
p( x ) истинно, а q( x ) ложно. Следовательно, множеством истинности p( x ) ® q( x ) является интервал (–∞; +∞).
F. p( x ) « q( x ) истинна, если p( x ) и q( x ) или оба истинны, или оба ложны. Следовательно, xÎ( -¥; -3 ] È[ 3; + ¥ ).
7.
A.( "yÎR ):( y2 ³0 ).
B.( "xÎR ):( x <0,x ³0 ).
C.( $xÎR ):( x +7 = 2 ).
8.
A.Истинно.
B.Истинно.
Ответы к главе 3
1.50.
2.12.
3.3 (два числа делятся на 2, и одно число делится на 3).
4.15.
5.30.
6.81.
7.77220.
8.24.
9.792.
10.24.
11.24.
12.240.
13.
A.4896.
B.816.
14.
A.210.
B.5040.