540

12

Пример 18. Пусть множество А = {Татьяна, Ольга, Алина, Петр, Ирина, Виталий}, а множество В = {Иван, Ольга, Мария, Николай, Петр, Ирина}. Тогда А \ В = {Татьяна; Алина; Виталий}, а В \ А = = {Иван; Мария; Николай}. Очевидно, что множество А \ В состоит из всех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В, а множество В \ А соответственно состоит из всех элементов, которые принадлежат множеству В и не принадлежат множеству А.

Пример 19. Пусть множество А = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, а множество В = = {3; 6; 9; 12}. Тогда А \ В = {1; 2; 4; 5}, а В \ А = {9; 12}.

Пример 20. Пусть множество А = [–11; 3], а множество В = (0; 10].

Тогда А \ В = [–11; 0] (рис. 1.9).

Рис. 1.9

Так как в множество В точка 0 не входила, то соответственно при вычитании эта точка останется в множествеА (круглая скобка меняется на квадратную).

Найдем теперь В \ А. В \ А = (–3; 10] (рис. 1.10).

Рис. 1.10

Так как в множествоА точка 3 входила, то соответственно при вычитании эта точка не останется в множествеВ (квадратная скобка меняется на круглую).

13

Пример 21. Пусть множество А = (–5; 11], а множество В = [–23; 17).

Тогда А \ В = Æ , а В \ А = [–23; 5] È (11; 17) (рис. 1.11).

Рис. 1.11

Симметрической разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит или только множеству А, или только множеству В. Симметрическая разность множеств А и В обозначается А D В (рис. 1.12).

Рис. 1.12

Пример 22. Пусть множество А = {Татьяна, Ольга, Алина, Петр, Ирина, Виталий}, а множество В = {Иван, Ольга, Мария, Николай, Петр, Ирина}. Тогда А D В = {Татьяна; Алина; Виталий; Иван; Ма-

рия; Николай}. Очевидно, что множество А D В состоит из всех элементов, которые принадлежат или только множествуА, или только множеству В.

Пример 23. Пусть множество А = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, а множество В = = {3; 6; 9; 12}. Тогда А D В = {1; 2; 4; 5; 9; 12}.

Пример 24. Пусть множество А = (–5; 5], а множество В = [–5; 5). Найти À È Â , À Ç Â , А \ В, В \ А. Очевидно, что: À È Â = [–5; 5],

À Ç Â = (–5; 5), А \ В = {5}, В \ А = {–5}.

14

Пример 25. Пусть множество А =(–∞; +∞), а множество В = [–7; 29). Найти À È Â , À Ç Â , А \ В, В \ А. Очевидно, что: À È Â = (–∞; +∞),

À Ç Â = [–7; 29), А \ В = (–∞; –7) È [29; +∞), В \ А = Æ .

Пример 26. Пусть множество А = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15}, а мно-

жество В = [15; 23). Найти À È Â , À Ç Â , А \ В, В \ А. Очевидно, что:

À È Â = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13} È [15; 23), À Ç Â = {15}, А \ В = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13}, В \ А = (15; 23).

Пример 27. Пусть множество А = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15}, а мно-

жество В = [5; 11]. Найти À È Â , À Ç Â , А \ В, В \ А. Очевидно, что:

À È Â = {1; 3} È [5; 11] È {13; 15}, À Ç Â = {5; 7; 9; 11}, А \ В = {1; 3; 13; 15}, В \ А = (5; 7)È(7; 9) È (9; 11).

Пример 28. Пусть А – множество курсантов первого курса, а В – множество курсантов-спортсменов. Найти À È Â , À Ç Â , А \ В, В \ А, А D В. Очевидно, что объединение À È Â представляет собой множество всех курсантов института, которые либо учатся на первом курсе, либо занимаются спортом. Пересечение À Ç Â – это множество первокурсников-спортсменов. Разность А \ В – это все первокурсники, не занимающиеся спортом, а В \ А – это все курсан-

это все курсанты первого курса, но не спортсмены, и все спортсмены, но не первокурсники.

При работе в конкретной предметной области обычно ограничиваются некоторой совокупностью объектов. Зафиксированное какимлибо образом множество объектов, допустимых при данном рассмот-

рении, называют универсальным множеством.

Примерами универсального множества являются: числа в арифметике, законы в юриспруденции, слова в языкознании и т.д.

Универсальное множество обозначается буквой Е и представляется в виде некоторого прямоугольника, а все рассматриваемые множества А, В, С, … являются его подмножествами и представляются в виде соответствующих кругов (рис. 1.13).

15

Е

А В

С

Рис. 1.13

Рассмотрим множество А, которое является подмножеством универсального множества Е (рис. 1.14).

Е

А

Рис. 1.14

Множество всех элементов универсального множестваЕ, не принадлежащих множеству А, называется дополнением множества А до Е и обозначается А (рис. 1.15).

Рис. 1.15

Пример 29. Пусть множества А, В и С являются подмножествами универсального множества Е. С помощью кругов Эйлера требуется

изобразить результат выполнения следующих операций: ( À È Â ) Ç Ñ .

18

Пример 31. С помощью кругов Эйлера требуется изобразить результат выполнения следующих операций: (А Ç В) \ С .

Первое действие – А (рис. 1.24). Второе – АÇ В (рис. 1.25). Тре-

тье – это (А Ç В) \ С (рис. 1.26).

Рис. 1.26

Пример 31. Дано: Е = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, А = {1; 3; 4; 8},

В= {2; 3; 5; 8; 10}. Найти: А È В , А , В , А Ç В , А È В , А Ç В .

АÈ В = { 1; 2; 3; 4; 5; 8;10 } = {6; 7; 9}.

А= {2; 5; 6; 7; 9; 10}.

В= {1; 4; 6; 7; 9}.

А Ç В = { 3; 8 } = {1; 2; 4; 5; 6; 7; 9; 10}.

АÈ В = {1; 2; 4; 5; 6; 7; 9; 10}.

АÇ В = {6; 7; 9}.

Пример 32. Дано: Е = (–∞; +∞); А = (–7; 13], В = [0; 18). Найти:

А È В , А , В , А Ç В , А È В , А Ç В .

19

АÈ В = ( -7 ; 18 ) = (–∞; –7] È [18; +∞).

А= (–∞; –7] È (13; +∞).

В= (–∞; 0) È(18; +∞).

А Ç В = [ 0; 13 ] = (–∞; 0) È (13; +∞).

АÈ В = (–∞; 0) È (13; +∞).

АÇ В = (–∞; –7) È (18; +∞).

Далее рассмотрим еще одно важное понятие теории множеств– мощность. Мощность конечного множества есть число элементов этого множества. Мощность любого бесконечного множества больше мощности любого конечного. Среди бесконечных множеств наименьшей мощностью обладает множество N всех натуральных чисел и все множества, ему равномощные (так называемые счетные множества). Мощность множества R всех действительных чисел (так называемая мощность континуума) больше, чем мощность счетного множества.

Мощность конечного множества А (число элементов в множестве А) будем обозначать m(А). Очевидно, что мощность пустого множест-

ва m(Æ ) = 0.

Для любых двух конечных множеств справедливо следующее ут-

верждение: m( À È Â ) = m( A ) + m( B ) - m( A Ç B ) .

Пример 33. Экзамен по математике сдавали250 абитуриентов. Оценку ниже пяти получили 180 человек. Выдержали экзамен 210 человек. Сколько человек получили оценку три или четыре?

Решение. Пусть А – множество человек, выдержавших экзамен. Тогда m(A) = 120. Пусть В – множество человек, получивших оценку ниже пяти. Тогда m(B) = 180. Очевидно, что À È Â – множество человек, сдававших экзамен. Тогда m( À È Â ) = 250. С другой стороны, справедливо следующее утверждение: m( А È В) = m( A) + m(B) - m( A Ç B) , где À Ç Â – множество человек, сдавших экзамен на три или четыре.

Тогда m( А Ç В) = m( A) + m(B) - m( A È B) . Подставляя уже известные данные, получаем m( À Ç Â ) = 120 + 180 – 250 = 140.

Ответ: 140 человек получили оценку три или четыре.

20

Задания для самостоятельного решения к главе 1

1.Пусть множество А = {1; 2; 3; 5; 7; 10}, а множество В = {3; 4; 6; 9; 10}. Найти À È Â , À Ç Â , А \ В, В \ А, А D В.

2.Пусть множество А = {1; 2; 3; 5; 7; 10}; множество В = {3; 4; 6; 9;

10}, а множество С = {2; 5; 7; 9; 11}. Найти À È( Â ÇÑ ) , ( À È Â ) ÇÑ ,

À Ç( Â ÈÑ ) , ( À Ç Â ) È Ñ , ( À È Â ) Ç( Â È Ñ ) , ( À Ç Â ) È( Â Ç Ñ ) .

3.Пусть множество А = (–13; 5], а множество В = [–13; 0) . Найти

ÀÈ Â , À Ç Â , А \ В, В \ А.

4. Пусть множество А = (0; 11], а множество В = [0; 11). Найти

ÀÈ Â , À Ç Â , А \ В, В \ А.

5.Пусть множество А = (–3; 3), а множество В = [3; +∞). Найти

ÀÈ Â , À Ç Â , А \ В, В \ А.

6.Пусть множество А = (–∞; +∞), а множество В = [0; 19). Найти

ÀÈ Â , À Ç Â , А \ В, В \ А.

7.Пусть множество А = (–∞; 0), а множество В = [–14; 27). Найти

ÀÈ Â , À Ç Â , А \ В, В \ А.

8.Пусть множество А = (–3; +∞), а множество В = [–12; 12]. Най-

ти À È Â , À Ç Â , А \ В, В \ А.

9. Пусть множество А = (–7; 19), а множество В = (0; 9). Найти

ÀÈ Â , À Ç Â , А \ В, В \ А.

10.Пусть множество А = (–4; 0), а множество В = [4; 8]. Найти

ÀÈ Â , À Ç Â , А \ В, В \ А.

11.Пусть множество А = {5; 7; 9; 11; 15; 20; 22}, а множество В =

=[–5; 5]. Найти À È Â , À Ç Â , А \ В, В \ А.

12.Пусть множество А = {2; 4; 6; 8; 10; 12}, а множество В = (3; 9). Найти À È Â , À Ç Â , А \ В, В \ А.

13.Изобразите с помощью кругов Эйлера результат выполнения

следующих операций: ( À ÈÑ ) Ç Â .

14.Изобразите с помощью кругов Эйлера результат выполнения следующих операций: ( À \ Ñ ) Ç( Â \ Ñ ) .

15.Изобразите с помощью кругов Эйлера результат выполнения

следующих операций: ( À Ç Â ) È( Â ÇÑ ) .

16. Изобразите с помощью кругов Эйлера результат выполнения следующих операций: ( À ÇÑ ) È( Â \ Ñ ).

17. Изобразите с помощью кругов Эйлера результат выполнения следующих операций: ( À ÈÑ )\( Â \ Ñ ) .