2488
.pdfх t A KC х t B KD u t Ky t ;
у t Cх t Du t ; r t Q y t у t ,
где r t Rp – остаточный вектор; xˆ, yˆ – оценки векторов состояния и выходного сигнала соответственно; матрица Q Rp m – матрица весов остатков.
Системное уравнение для вектора ошибки оценивания состояния e t x t xˆ t и вектора остатка r t :
е t (A KC)e t Ed t R1 f t KR2 f t ;
r t QCe t QR2 f t .
Преобразование Лапласа отклика остатка на неисправности и возмущения:
r s QR2 f s QC sI A KC 1 R1 KR2 f sQC sI A KC 1E d s e 0 ,
где e 0 – начальное значение ошибки оценивания состояния. Очевидно, что остаток r t и ошибка оценивания e t ненулевые
даже при отсутствии неисправностей. Трудно отличить влияние неисправностей от влияния возмущений, действующих на систему. Влияние возмущений приводит к ложным срабатываниям FDI, поэтому для минимизации ложных срабатываний необходимо формировать остатки, декомпозированные относительно возмущений и неисправностей.
Многокритериальная диагностика неисправностей. И неис-
правности и возмущения действуют на остаток, трудно различить эти два эффекта. Необходимо увеличить влияние неисправностей на остаток и уменьшить влияние возмущений. Увеличить влияние неисправностей можно максимизацией следующего индекса в заданном диапазоне частот:
inf QR2 |
QC j I A KC 1 |
1 |
, что экви- |
|||
R1 KR2 |
|
|||||
1, 2 |
|
QR2 QC j I A KC 1 |
|
1 |
, |
|
|
|
|
||||
валентно 1 K,Q |
sup |
R1 KR2 |
1, 2
где , обозначают минимальные и максимальные сингулярные зна-
чения матрицы соответственно.
171
Влияние возмущений и начальных условий можно редуцировать
минимизацией индекса: 2 K,Q |
sup |
QC j I A KC 1 . |
|
1, 2 |
Кроме неисправностей и возмущений на остаток влияет шум. Пусть t шум входного сигнала; t шум чувствительного элемента; системные уравнения в этом случае
x t Ax t Bu t R1 f t t ;
y t Cx t Du t R2 f t t .
Шум чувствительного элемента, так же как неисправности, действуя через R2 f t , действует на остаток таким же образом, но диапазоны частот неисправностей и шума различны. Для редуцирования влияния шума на остаток необходимо минимизировать норму
Q QC j I A KC 1K .
Влияния возмущений и неисправностей могут быть разделены при использовании различных частотно-зависимых весовых штрафов:
|
|
|
|
1 |
|
1 K,Q sup |
|
W1 j QR2 QC j I A KC 1 R1 KR2 |
. |
||
1, 2 |
|
|
|||
Для минимизации влияния шума на остаток введем индекс |
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
3 K,Q |
sup |
W3 j Q I C j I A KC 1K |
. |
|
1, 2
Для максимизации влияния неисправностей на низких частотах и минимизации шумов на высоких вводится частотно-зависимый весовой множитель W1 j , имеющий большое значение амплитуды на низких частотах и малое значение на высоких. Частотный эффект W3 j должен быть обратным: W3 j W1 1 j .
Рассмотрим установившееся значение остатка: r QR2 f QC A KC 1 KR2 R1 f A KC 1d . По-
сле времени переходного процесса стационарное значение остатка играет важную роль в FDI. Идеально это должно реконструировать сигнал неисправности. Влияние возмущения на остаток может быть
редуцировано минимизацией индекса: 4 K A KC 1 ; при этом
матрица K увеличивается и норма A KC 1K приближается к по-
стоянному значению. Это означает, что влияние неисправности на ос-
172
таток не изменяется уменьшением влияния возмущения, что и требуется для хороших характеристик FDI.
Распределение возмущений и локализация неисправности.
Предположим, что матрица распределения возмущений известна: d t Ed' t , где E известная матрица; d' t неизвестный вектор. В
этом случае 2 K,Q |
sup |
W2 j QC j I A KC 1E . |
|
1, 2 |
Для локализации неисправности должно быть сформировано структурированное остаточное множество. Структурированный означает чувствительность к одним неисправностям и нечувствительность к другим. Неисправности могут быть разделены на две группы: f1 t , f2 t уравнение системы в этом случае запишется
x t Ax t Bu t R11 f1 t R12 f 2 t d t ; y t Cx t Du t R21 f1 t R22 f 2 t .
Если проектировать остаток, чувствительный к f1 t и нечувствительный к f2 t , то индекс 1 K,Q должен быть изменен:
|
|
|
|
W1 j QR21 |
|
|
1 |
. |
1 K,Q |
sup |
|
QC j I A KC 1 R11 |
KR21 |
|
|||
|
1, 2 |
|
|
|
|
|||
Индекс 5 K,Q должен быть минимизирован для формирования |
||||||||
нечувствительности остатка к f2 t . |
|
|
|
|||||
|
|
|
W5 j QR22 |
|
|
1 |
. |
|
5 K,Q |
sup |
|
QC j I A KC 1 R12 |
KR22 |
|
1, 2
Многокритериальная диагностика неисправностей. В общем случае не существует решения, которое минимизирует все индексы характеристик. Параметр, обеспечивающий минимизацию частного индекса, может привести к недопустимому росту других индексов характеристик, следовательно, проектирование должно проводиться с компромиссами. Подходом к решению многокритериальной задачи оптимизации при проектировании СУ является метод неравенств в комбинации с Gas, основная концепция которого в замене минимизации индексов ограничениями в форме неравенств на индексы характеристик. То есть многокритериальная оптимизация переформулируется как задача нахождения множества параметров Z,W,Q, удовлетворяющих следующим неравенствам: i Z,W,Q i, i 1,...,5, где действительные числа i представляют численные границы (требования разработчика) индексов характеристик i Z,W,Q .
173
Если минимальное значение i Z,W,Q , достигаемое минимиза-
цией, есть i*, то границы критериев должны удовлетворять неравен-
ству i i*, так как множество параметров минимизирующих частные индексы характеристик могут увеличивать другие индексы. Если
i* Zi*,Wi*,Qi* минимальное |
значение |
для i Z,W,Q при |
пара- |
метрах Zi*,Wi*,Qi* , то выполняются |
следующие неравенства: |
||
i Zi*,Wi*,Qi* i* Zi*,Wi*,Qi* , где i j для i, j 1, 2, 3, 4, 5 ; |
общее |
||
правило для формирования границ i : |
|
|
|
i* Zi*,Wi*,Qi* i |
max |
i Zi*,Wi*,Qi* . |
|
|
i, j 1,2,3,4,5 ;i j |
|
Задача многокритериальной оптимизации – найти множество параметров для размещения всех индексов характеристик в приемлемых областях. Регулируя границы i , можно акцентировать любую из це-
лей. Если индекс j важен для задачи, можно приблизить j к *j .
Пусть i множество параметров Z,W,Q , для которых выполняется i-й критерий: i Z,W,Q : i Z,W,Q i . Тогда допустимое
множество параметров, для которых |
выполняются все |
критерии: |
Z,W,Q : i Z,W,Q i; i 1,...,5 . |
Это допустимое |
множество |
может быть найдено методом неравенств в сочетании с GAs.
3.5. Нахождение равновесия Нэша динамических игр n лиц
Игра n лиц определена множеством Sk ; k 1,...,n допустимых стратегий каждого игрока k и платежными функциями fk . Предполагается, что игроки могут выбрать свои стратегии независимо друг от друга. Однако в некоторых приложениях общая сумма ресурсов, используемых всеми игроками, ограничена. Будем использовать стратегическое представление игры n лиц в виде
|
|
G n,S1,...,Sn,S S1 ... Sn,f1,..., fn . |
|
|
Введем |
обозначения: x x1,...,xn , |
x k x1,...,xk 1, xk 1,...,xn , |
x x k ,xk . |
Лучшее отображение реакции игрока k с окружением |
||
x k : |
gk xk arg max fk x k ,xk | x k ,xk S . |
||
|
|
xk |
|
174
|
Равновесие Нэша игры G такой вектор x* x1*,...,xn* S , |
что |
|||||||||||||||||
xk* gk xk* , k ; следовательно, |
fk x*k ,xk fk x*k ,xk* . |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Введем отображение x g x g1 x ... gn x , |
тогда x* рав- |
|||||||||||||||||
новесие Нэша, если и только если x* g x* . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Пример олигополии Карно. Предположим, что n фирм производят |
||||||||||||||||||
одно и то же |
изделие; |
xk |
выпуск продукции фирмы k; |
Ck xk |
|
||||||||||||||
функция стоимости фирмы k; |
p s |
функция цены; |
s x1 ,..., xn |
|
|||||||||||||||
полный выпуск продукции. Если Lk |
предел возможностей фирмы k, |
||||||||||||||||||
то |
Sk 0, Lk |
множество всех достижимых стратегий фирмы k; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
Ck xk – её платежная функция. Если отсут- |
|||||||||||
fk x1,...,xn xk p |
xi |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
Такую игру n лиц называют |
||||||||
ствуют ограничения, |
то S S1 ... Sn. |
||||||||||||||||||
олигополией |
Cournot. |
Предположим, |
что |
p' s Ck" xk 0; |
|||||||||||||||
' |
s xk p |
" |
s |
0; |
xk |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
p |
|
0, Lk ;s 0, |
Li . Введем обозначение |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
sk |
xi , |
тогда fk sk ,xk xk p sk xk Ck xk |
строго вогнутая в |
||||||||||||||||
|
i k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функцию от s, |
|
|
|
|
|||
xk . Удобно рассматривать xk как |
тогда |
1) |
если |
||||||||||||||||
p s Ck' 0 0, то |
лучший |
выбор |
фирмы k: |
xk s 0; |
2) |
если |
|||||||||||||
p s xk p' s Ck' |
Lk 0, |
xk s Lk ; 3) |
иначе лучший выбор может |
||||||||||||||||
быть получен как решение уравнения |
p s xk p' s Ck' xk 0 |
на |
|||||||||||||||||
интервале 0, Lk . |
|
Левая часть этого уравнения непрерывно диффе- |
|||||||||||||||||
ренцируема и строго уменьшающаяся в |
xk , её значение в xk 0 |
||||||||||||||||||
положительно |
и |
|
в |
|
xk Lk |
отрицательно; |
поэтому существует |
||||||||||||
единственное |
решение |
xk xk s . |
Дифференцируя |
уравнение |
|
p s xk p' s Ck' Lk 0,
получим p' s xk' s p' s xk s p" s Ck" xk s xk' s 0, считая, что
xk' s p' s xk s p" s p' s Ck" xk s 0. Равновесие Нэша –
единственное решение s* монотонного уравнения с одним неизвест-
n
ным: xk s s 0, где s* полный выпуск продукции в точке рав-
k 1
новесия и равновесный выпуск продукции фирмы k: xk* xk s* .
175
Вычисление равновесия Нэша. Существует несколько различных концепций вычисления равновесия Нэша. Рассмотрим три наиболее часто используемых метода: решение для фиксированных точек, редуцирование к вариационным неравенствам и преобразование задачи о равновесии к задаче оптимизации.
Пусть g лучшее отображение реакции x g x g1 x ... gn x ,
тогда x* равновесие Нэша, если и только если x* g x* . Если g x
функция одной переменной, то x* фиксированная точка, если и только если x* g x* ; в этом случае необходимо решить систему алгебраических уравнений. Если g x множество, то существует система неравенств, независимых от x, необходимо найти допустимое решение этих неравенств.
Введем |
функцию |
n |
агрегирования: Hr x,y rk fk x k,yk с |
||
r rk 0. |
|
k 1 |
Очевидно, |
что x* равновесие если и только если |
Hr x* ,x* Hr x* ,y ; x S, то max h x,r T x x* 0, где h: S RM:
|
x S |
|
|
h x,r r1 1 f1 x ... |
rn n fn x T ; |
M m1 ... mn; |
mk размер- |
ность xk ; r r1,...,rn |
неотрицательный вектор. Рассмотрим сле- |
дующий итеративный алгоритм: пусть задан произвольный x 1 S ;
решим задачу оптимизации max f x,x 1 ;x S . |
Пусть x 2 |
решение |
|||
этой задачи, определим 1 |
f x 2 ,x 1 . Если |
0, то x 1 |
равнове- |
||
|
|
1 |
|
|
|
сие, иначе 1 0. Общий k-й шаг следующий: |
для существующих |
||||
x 1 ,...,x k , 1,..., k 1 0 |
найдем |
x k 1 , k |
для |
задачи |
|
max ; f x,x i ;x S;i 1,...,k . |
Существует |
подпоследователь- |
ность итерационной последовательности x 1 ,x 2 ,..., которая сходится к единственному равновесию Нэша.
Распространение на динамические системы. Рассмотрим ди-
намическую игру олигополии одного продукта. Маржинальная при-
|
fk |
|
|
' |
|
' |
|
быль фирмы k: |
|
x p |
xi |
xk p |
xi |
Ck xk . Если маржи- |
|
xk |
|||||||
|
|
i |
|
i |
|
нальная прибыль положительна (отрицательна), то фирма увеличивает (уменьшает) выпуск своей продукции; если маржинальная прибыль
176
равна нулю, то (учитывая вогнутость fk в xk ) выпуск максимизирует прибыль. Корректирующая концепция может моделироваться следующим образом:
xk t Kk p i xi xk p' i xi Ck' xk ;Kk 0; k 1,...,n.
Динамическое равновесие этой системы имеет точку внутреннего равновесия. При исследовании динамических игр рассмотрим только асимптотическое поведение траектории t . Локальная асимптотическая устойчивость исследуется на основе локальных собственных значений якобиана. Якобиан имеет структуру J D a 1T , где
|
|
|
' |
|
1 |
|
|
' |
|
|
n |
|
|
T |
|
D diag K1 p xi |
Cn |
x1 ,...,Kn p xi |
Cn |
xn ; |
1 1,...,1 ; |
||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
" |
|
|
|
' |
|
|
" |
|
T |
|
a K1 p |
xi x1 p xi |
... Kn p |
xi |
xn p xi |
. |
||||||||||
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
Пусть di |
обозначает i-й диагональный элемент D и ai |
i-й эле- |
|||||||||||||
мент вектора a. Характеристический полином якобиана: |
|
|
|||||||||||||
|
det D a1Τ I det D I det I D I 1a1Τ |
||||||||||||||
|
n |
|
|
|
n |
ai |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
di |
1 |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 di |
|
|
|
|
|
|
|
Это уравнение эквивалентно полиномиальному уравнению степени n. Найдем n действительных отрицательных корней, следовательно, динамическое равновесие локально асимптотически устойчиво.
3.6. Исследование СУ с помощью дифференциальных игр
Рассмотрим задачу дифференциальных игр – в нашем случае обобщенную задачу оптимального управления с двумя игроками.
Один игрок выбирает управление u t u Rmu и минимизирует свой функционал качества, другой игрок выбирает управление v t v Rmυ и максимизирует свой функционал качества. Дифференциальная игра называется игрой с нулевой суммой, если два функционала качества идентичны. Дифференциальные игры интересны в связи H теорией робастного управления.
177
Применение теории оптимального управления к теории дифференциальных игр является прямым: в принципе максимума Понтрягина функция Гамильтона минимизируется по отношению к управлению u; в принцип минимакса Нэша-Понтрягина функция Гамильтона одновременно минимизируется по отношению к u и максимизируется по отношению к v.
Будем рассматривать системы, инвариантные во времени, с неограниченными управлениями u, v и свободным (незакрепленным) состоянием в финальное время tb .
Общая постановка задачи. Найти такие непрерывные управления u: ta,tb Rmu ; v: ta,tb Rmv , что система x t f x t ,u t ,v t переводится из начального состояния x ta xa в терминальное с временем
tb
tb с функционалом качества J u,v K x tb (x x t ,u t ,v t dt, ми-
ta
нимизируемым по отношению к u и максимизируемым по отношению к v.
Подзадача 1. Оба игрока используют разомкнутое управление: u t u t,xa,ta ;v t v t,xa,ta .
Подзадача 2. Оба игрока используют замкнутое управление: u t ku x t ,t ;v t kv x t ,t .
Специальная постановка задачи с разделением переменных.
Функции f и L могут быть разделены:
f x t ,u t ,v t =f1 x t ,u t +f2 x t ,v t ;L x t ,u t ,v t =L1 x t ,u t +L2 x t ,v t .
Принцип минимакса Нэша-Понтрягина. Функция Гамильтона
H :Rn Rmu Rmv Rn R.
H x t ,u t ,v t , t L x t ,u t ,v t T t f x t ,u t ,v t .
Если uo : ta,tb Rmu ; vo : ta,tb Rmv |
оптимальные управле- |
ния, то выполняются следующие условия:
a)xo t = H=f xo t ,uo t ,vo t ; |
xo ta =xa; |
|
||||
|
|
f |
T |
|
||
o t = xH= xL xo t ,uo t ,vo t |
|
|
xo t ,uo t ,vo t |
o t ; |
||
|
||||||
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
o tb = xK xo tb ;
178
б) гамильтониан H xo t ,u t ,v t , o t имеет седловую точку по отношению к u Rmu ; v Rmv ; t ta, tb .
H xo t ,uo t ,vo t , o t H xo t ,u t ,vo t , o t ; u Rmu ; H xo t ,uo t ,vo t , o t H xo t ,uo t ,v t , o t ; v Rmv ;
в) далее в случае подзадачи 2 при применении закона управления v t kv x t , t , uo минимизирующее управление задачи оптимального управления; при применении закона управления u t ku x t , t , vo максимизирующее управление задачи оптимального управления.
Теория Hamilton-Jacobi-Isaacs (HJI). В принципе минимакса Нэ-
ша-Понтрягина выражено необходимое условие для H для получения равновесия Нэша в седловой точке uo, vo формированием нера-
венств H xo,uo,v, o H xo,uo,vo, o H xo,u,vo, o .
Для распространения теории HJI на теорию дифференциальных игр сформулируем необходимое условие равновесия Нэша в виде minmaxH xo,u,v, o maxminH xo,u,v, o H xo,uo,vo, o .
u v |
v |
u |
|
|
|
Рассмотрим задачу дифференциальных игр, инвариантную во |
|||||
времени: |
найти |
два |
таких |
закона |
управления |
u x :Rn Rmu ; v x :Rn |
Rmv , |
что |
динамическая |
система |
x t f x t ,u t ,v t развивается от начального состояния x ta xa к конечному со временем tb и функционалом качества:
tb
J u,v K x tb L x t ,u t ,v t dt,
ta
минимизируемая управлением u и максимизируемая v.
Предположим, что функция Гамильтона H L x,u,v T f x,u,v
имеет единственное равновесие Нэша для x, Rn . Соответствую-
щие H-минимизиующие и H-максимизирующие управления: u~ x, ,
~v x, .
Если функция |
J x, t |
удовлетворяет |
граничным условиям |
||||
J x, tb K x и |
HJI |
PDE, |
J |
minmaxH x,u,v, xJ |
|||
|
~ |
|
t |
u v |
|
|
|
|
|
~ |
|
n |
ta,tb , |
||
maxminH x,u,v, xJ H x,u |
x, xJ ,v(x, xJ), xJ ; x, t R |
|
|||||
v u |
~ |
x, xJ ; |
~ |
|
|
||
|
|
|
|||||
то закон управления u x u |
v x v(x, xJ) оптимальный. |
179
|
LQ задача дифференциальной игры. Найдем такие непрерыв- |
|
ные |
неограниченные управления u: ta,tb Rmu ; |
v: ta,tb Rmv , |
что |
система x t Ax t B1 u t B2v t переводится |
из начального |
состояния x ta xa в состояние с финальным временем tb и функционал качества
|
tb |
|
|
J u,v 0,5xT tb Fx tb 0,5 xT t Qx t uT t u t 2vT t v t dt, |
|||
|
ta |
|
|
F ; Q 0 |
одновременно уменьшается выбором u и увеличивается |
||
выбором v. |
|
|
|
Решение LQ дифференциальной игры на основе принципа |
|||
минимакса |
Нэша-Понтрягина. |
Функция |
Гамильтона: |
H 0,5xTQx 0,5uTu 0,5 2vT v T Ax T B1u T B2v . |
Необходи- |
мые условия, следующие из принципа минимакса Нэша-Понтрягина: xo= H=Axo+B1uo+B2vo;
o= xH= Qxo AT o;
uH=0=uo+B1T o;
vH=0= 2vo+B2T o .
Таким образом, минимаксная функция Гамильтона определяет H-минимизирующие и H-максимизирующие законы управления: uo t B1T o t ;vo t 2B2T o t . Подстановка их в дифференциальное уравнение для x приведет к линейной двухточечной граничной задаче: xo t =Axo t B1 B1T o t + 2B2B2T o t ; o t = Qxo t AT o t ; xo ta =xa; o tb =Fxo tb .
Два дифференциальных уравнения однородны в xo, o и в ко-
нечное время tb вектор o tb линейная функция вектора xo tb ; поэтому примем o t K t xo t , где K t n n матрица.
Дифференцированием найдем
|
Kx Kx Kx KAx KB |
B1T Kx 2KB B2T Kx Qx AT Kx |
||
|
K AT K KA KB |
1 |
2 |
|
или |
B1T K |
2KB B2T K Q x 0; t |
ta, tb . |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
Результирующие |
законы |
оптимального |
управления: |
uo t B1T K t xo t ;vo t 2B2T K t xo t , где симметричная положи- тельно-определенная n n матрица K t решение дифференциального
180