2488

fi x и fj x независимы в остальных случаях.

Соотношения , имеют свойства симметрии, ассоциативности, рефлексивности, транзитивности.

Если целевые функции дифференцируемы, то

Представим функцию hi t 0, 1 , измеряющую степень выполнения требований ЛПР к i-й цели, значением t. Hi x hi f x может рассматриваться как степень принадлежности x в нечетком множестве «хорошие решения» i-й цели. Тогда «хорошее компромиссное решение» многокритериальной задачи оптимизации может быть определено как x, являющийся «настолько хорошим, насколько возможно» для полного набора целей. Естественно искать такой вид решения в виде

maxT H1 x ,...,Hk x , где T t-норма, представляющая нечеткую

x X

конъюнкцию.

Существует несколько способов представить функции hi t ; обычно рассматриваются увеличивающиеся функциипринадлежности:

где mi независимый минимум и Mi независимый максимум i-го критерия.

161

Определим Hi x как линейные функции:

Решаем вспомогательную задачу maxT H1 x, f1 x ,...,Hk x, fk x .

x X

Предположим, что существует решение задачи с многими целевыми функциями. Объяснение введения типа функций формы Hi x, fi x следующее: если увеличить значение i-й цели, имеющей большое положительное значение fi , это приведет к увеличению большинства критериев (поддерживающих большую часть целей), что приведет к приближению к оптимальному значению скалярной функции.

Пусть x* оптимальное решение для maxT H1 x ,...,Hk x , где

x X

T t-норма; Hi x hi fi x , i 1,...,k.

Если hi строго увеличивается на mi...Mi , тогда x* эффектив-

ное для задачи max f1 x ,...,fk x .

x X

162

Используем в качестве t-нормы функцию минимума, тогда задача

3.2. Многокритериальное управление

Большинство методов расчёта систем управления рассматривают

только оптимальные решения (например, по норме H передаточной функции замкнутой системы), функции чувствительности собственных значений и т.д. Однако практические системы управления должны удовлетворять одновременно различным (часто противоречивым) целям. Многие традиционные подходы используют скалярное суммирование всех целей с весами в одну функцию стоимости; однако неясно, как регулятор влияет на каждую цель. Во время последних двух десятилетий многоцелевое управление рассматривали как технологию проектирования. Цели системы управления описаны рядом индексов характеристик. Например, множественные цели можно рассмотреть как различные типы норм по функциям преобразования типа

(H ,H2,L1).

Конфликты и компромиссы в СУ. Проектирование СУ основа-

но на балансе между противоречивыми стоимостью, дизайном и характеристиками. Существует компромисс между настройкой возмущений и фильтрацией погрешности измерения, компромисс между характеристиками системы и робастностью по отношению к мультипликативным возмущениям.

Многокритериальное робастное управление. Невозможно по-

лучить точную модель объекта СУ. В течение функционирования СУ объект изменяет динамические характеристики, поэтому при проектировании СУ необходимо поддержать устойчивость и другие характеристики при наличии неопределенностей. Традиционно используются методы проектирования, основанные на аналитической или параметрической оптимизации СУ. Аналитические методы оптимизации робастно устойчивы, обеспечивают глобальный оптимум; но они имеют одну цель и не гибкие. Параметрическая оптимизация основана на методах, которые являются многоцелевыми и гибкими; однако они не являются робастно устойчивыми, могут иметь дело только с малыми задачами. Комбинация аналитической и параметрической оптимизации – многокритериальное робастное устойчивое управление

163

со смешанной оптимизацией, используется для преодоления недостатков только одного подхода. Многокритериальное робастное устойчивое управление со смешанной оптимизацией было применено к процедуре формирования замкнутого контура (LSDP – loop-shaping design procedure), которая основана на комбинации робастной стабилизации H и формировании замкнутого контура.

Многокритериальное PID управление. PID-регулятор – наибо-

лее популярный подход управления производственным процессом. В частотной области существуют две характеристики для измерения запаса устойчивости системы: запас по амплитуде и запас по фазе. Наряду с устойчивостью система должна соответствовать требуемой ширине полосы частот. Многокритериальное PID управление предполагает четыре требования в частотной области: запас по амплитуде, запас по фазе, частота пересечения (A=1) и статическая ошибка.

Многокритериальная оптимизация реализаций контроллера.

Проектирование цифровых СУ проводится по одному из двух путей: проектирование выполнено в непрерывной временной области и впоследствии СУ дискретизирована; объект дискретизирован и проектирование выполнено в дискретной временной области. Оба метода формируют пространство состояний или передаточные функции СУ. Однако недостаточно рассмотреть дифференциальное (разностное) уравнение СУ без рассмотрения соответствующей арифметики (длина слова и реализация СУ). Существуют проблемы, которые необходимо рассмотреть при выборе цифровой реализации СУ. Ошибки округления приводят к искажениям системы, конечное представление точности параметров регулятора вызывает понижение устойчивости и других характеристик системы.

Эти задачи становятся более заметными, если необходимо увеличение интенсивности замеров, увеличение степени интеграции СУ. Возникает вопрос: как упорядочить структуру СУ, чтобы редуцировать эффекты конечной точности. Цифровое управление – основная платформа для реализации СУ почти во всех прикладных областях, поэтому важна проблема конечной точности в реализации. Точность вычислительного устройства может быть увеличена увеличением длины слова или применением архитектуры с плавающей запятой, однако при этом увеличивается стоимость использования более слож-

164

ной архитектуры (увеличенный расход на финансирование, стоимость структуры кристалла, стоимость программы, понижение надежности).

Многокритериальная нелинейная идентификация. Для нели-

нейных систем идентификации важны два ключевых вопроса: как определить точность нелинейной аппроксимируемой функции и как выбрать нелинейные функциональные единицы, чтобы гарантировать точность. Многие из подходов нелинейной системной идентификации фиксируют число нелинейных функциональных единиц и используют единственную функцию характеристик, например L2-норму разности между нелинейной системой и ее моделью. Однако в нелинейной системе идентификации рассматривают много целей, находящихся в противоречии. Следовательно, должен быть компромисс между целями. Должны быть процедуры, которые позволяют отобрать лучший вариант среди небольшого количества моделей.

Многоцелевое обнаружение неисправностей. Выявление неис-

правностей стало важной темой при современной автоматизации процессов, так как обеспечивает предпосылки отказоустойчивости, надежности или безопасности, которые составляют фундаментальные характеристики системы. Общая процедура выявления неисправностей в динамических системах при помощи аналитической избыточности состоит из разностей и решения относительно местонахождения неисправности и изоляции дефектного элемента. Чтобы сделать разность нечувствительной к моделированию неопределенности и чувствительный к неисправностям чувствительного элемента, определяются индексы рабочих характеристик для достижения требуемых характеристик выявления неисправностей.

Чтобы диагностировать возникающие неисправности, проектируют оптимальные разности (оцениваемые наблюдателем), основанные на многокритериальной оптимизации. Индексы рабочих характеристик выражены в частотной области, чтобы принять во внимание распределения частот неисправностей, искажения и моделирующей неопределенности. Все цели переформулируются в форме ограничений неравенств на индексы рабочих характеристик. Многоцелевой алгоритм выявления неисправностей используется для отыскания оптимального решения, удовлетворяющего всем целям, выраженным в форме неравенств.

165

3.3. Многокритериальная нелинейная идентификация

Нелинейная идентификация систем может быть представлена как нелинейная функциональная теориия приближений. Известно, что полиномиальные приближения могут аппроксимировать непрерывную функцию произвольно хорошо. Многие подходы идентификации используют ANN, основываясь на универсальной теореме приближения.

Для нелинейной идентификации систем, основанной на теории приближения, важны два ключевых вопроса: как оценить точность нелинейной аппроксимирующей функции и как выбрать нелинейные функции. Многие методы идентификации аппроксимируют фиксированным количеством нелинейных функций и используют одну функцию характеристик, например, L2 -норму разности между нелинейной системой и её моделью. При нелинейной идентификации существуют различные критерии, которые часто находятся в противоречии. Следовательно, необходимо принятие компромиссных решений. Модельные методы сравнения рассматривают два критерия: L2 -(L ) – норму разности между реальной системой и моделью и сложность модели; они приводят к изучению многокритериальной нелинейной идентификации.

Впоследнее время возрос интерес к ANN (artificial ANN) в связи

снеобходимостью моделирования биологических интеллектуальных систем и необходимостью проектирования машин, которые копируют человеческое поведение. ANN моделируется ассоциативной памятью, которая отыскивает образец выхода для заданного входа. Ассоциативная память выполняет отображение между входом и выходом и обучается на заданных примерах.

ANN состоит из сети простых процессорных устройств (нейронов), которые соединяются весовыми связями. MLP (multilayer perceptron) – сеть нейронов или персептронов. Персептрон отображает входные сигналы на выходные сигналы. Нелинейность персептрона позволяет ANN решать нелинейные задачи.

В модели нейрона имеется три основных элемента: весовые связи, сумматор входных сигналов и функция активации (squashing function), ограничивающие амплитуду выходного сигнала. Математически нейрон

166

входной сигнал; wk – вес связи; – функция активации, y – выходной сигнал. Многослойная ANN содержит входной слой, несколько скрытых и выходной слой. Каждый слой содержит нейроны, связанные своими выходами с нейронами следующего слоя (или выходными сигналами), а своими входами – с нейронами предыдущего слоя (или входными сигналами). Нейронная сеть отображает множество входных сигналов на множество выходных: u y.

Нелинейное моделирование с ANN. Моделирование нелиней-

ных систем может быть представлено как задача выбора аппроксимирующих нелинейных функций между входами и выходами систем. Для SISO систем это может быть выражено следующей моделью:

y t f y t 1 ,...,y t ny , u t 1 ,...,u t nu e t ,

где y – выходной, а u – выходной сигналы; e – белый шум. Нелинейная функция f может быть аппроксимирована однослойной ANN:

векторов dk . Аппроксимация нелинейной функции GRBF сеть выражается в виде

f * x, p N wk exp x dk T Ck x dk ,

k 1

где Ck – матрица весов k-й GRBF; p – вектор параметров.

Многокритериальная идентификация. Определим следующие функции рабочих характеристик СУ:

ментов в двоичном коде c.

Рассмотрим минимизацию функций стоимости i p ,пусть мини-

мальное значение i p – i* p . Для этих оптимальных значений суще-

ствуют соответствующие значения функций j i* ;i 1,2,3; j 1,2,3; j i

и выполняются следующие соотношения: min 1 2* , 1 3* 1* ;

167

min 2 1* , 2 3* 2* ; min 3 1* , 3 2* 3* . Если одна из функ-

ций i p индивидуально минимизируется (однокритериальный подход), то другие могут принять неприемлемо большие значения.

Переформулируем задачу оптимизации в многокритериальную:i p i , где положительные действительные числа i представляют численные границы функций i p и определяются разработчиком.

i – множество параметрических векторов p, для которого выполня-

min max 1 p , 2 p , 3 p .

p

Согласно методу движущихся границ, оптимизация выполняется

по итерационной схеме. Пусть pq – значение вектора p на q шаге итерации; определим iq p: i p q; i 1,2,3; q max i pq и

q 1q 2q 3q; q – множество параметрических векторов на q

шаге итерации, на котором все функции характеристик удовлетворя-

ют неравенствам: i p q ; i 1,2,3.

Множество q содержит и pq и . Если найти такой новый па-

раметрический вектор pq , что q q , то pq принимается как сле-

дующее значение параметрического вектора. Примем pq 1 pq , тогдаi pq 1 i pq и q 1 q , то есть граница множества пара-

метров в направлении допустимого множества. Процесс нахождения решения задачи оптимизации завершен, когда q не может быть да-

лее редуцирована. Но процесс нахождения допустимого параметриче-

ского вектора останавливается, когда q 1, т.е. когда границы q

сошлись к границам .

168

3.4. Многокритериальная диагностика неисправностей

Диагностика неисправностей – важный предмет при разработке СУ, поскольку обеспечивает фундаментальные характеристики системы: отказоустойчивость, надежность и безопасность. Процедура выявления неисправностей в динамических системах при помощи аналитического резервирования состоит из шагов: a) формирование остатков – функций, несущих информацию о неисправностях; в) решение о локализации неисправности. Чтобы сделать остаток нечувствительным к возмущениям и чувствительным к неисправностям диагностируемого элемента, формируются индексы рабочих характеристик. Здесь рассматривается разработка остатков (формируемых наблюдателем) для диагностирования неисправностей, основанная на многокритериальной оптимизации. Для редуцирования ложных выявлений неисправностей индексы характеристик вводятся при разработке наблюдателя. Критерии формулируются в виде ограничений (неравенств) на индексы характеристик. Многокритериальный алгоритм используется для отыскания оптимального решения, удовлетворяющего все цели.

Робастная диагностика неисправностей. Для достоверной ра-

боты СУ необходима система диагностики неисправностей, вклю-

чающая систему FDI (fault detection and isolation). FDI, основанные на модели, продемонстрировали способность к быстрому и надежному обнаружению неисправностей. Однако обнаружение медленно развивающихся неисправностей требует рассмотрения надежности алгоритмов FDI. В критических системах такие неисправности должны быть обнаружены прежде, чем они фактически произойдут. Важной проблемой работы надежной системы является обнаружение зарождающихся неисправностей как можно раньше, что дает ЛПР время для предотвращения серьезных последствий.

Благодаря неотделимости действия смеси неисправностей и возмущений обнаружение зарождающейся неисправности представляет вызов методам проектирования FDI. Все методы проектирования FDI используют модель системы для формирования остатков FDI. Аппаратные неисправности обычно имеют большее влияние на диагностические остатки, чем влияние возмущений; такие неисправности могут быть обнаружены формированием порога на диагностический остаток. Зарождающиеся неисправности имеют меньшее влияние; иногда меньшее, чем влияние возмущений; поэтому пороговые значения не

169

могут использоваться для надежного обнаружения зарождающихся неисправностей. Принцип робастности FDI: FDI алгоритмы должны быть чувствительны к неисправностям и нечувствительны к возмущениям. Существует компромисс между чувствительностью и робастностью.

Для проектирования робастных систем FDI используется концепция декомпозиции влияния внешних возмущений, однако модель возмущений не всегда известна. Известны работы, в которых модели возмущений представляются приближенной матрицей возмущений. Вообще полное устранение влияния возмущений невозможно, но это влияние может быть редуцировано.

Построение наблюдателей для диагностики неисправностей.

Рассмотрим следующую непрерывную систему с аддитивным возмущением входного сигнала:

вектор возмущений, который может представлять ошибки модели d t Ax t Bu t ; f t Rq представляет вектор неисправностей; A,B,C,D,E – известные матрицы соответствующих размерностей; матрицы R1,R2 – матрицы распределения неисправностей, задаваемые разработчиками; считается, что матрица E имеет полный ранг столбцов. Для случая учета неисправностей чувствительного элемента и исполнительного органа матрицы R1,R2 можно представитьв виде

0:отказы чувствительного элемента;

R1

B:отказы исполнительного органа;

Im :отказы чувствительного элемента;

R2

D:отказы исполнительного органа.

Основная идея – оценить выход системы по измерениям, используя уравнение наблюдателя; тогда взвешенная ошибка оценки выходного сигнала рассматривается как остаток. Гибкость в выборе усиления наблюдателя и весовой матрицы обеспечивает свободу для достижения характеристик диагностики. Формирование остатков:

170