2488

3. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

3.1. Краткий обзор методов многокритериальной оптимизации

Многокритериальные задачи оптимизации были изучены в работах по системам управления: удовлетворение ограничений и многокритериальная оптимизация – два аспекта одной задачи. Ограничения можно часто рассматривать как жесткие цели, которые должны быть удовлетворены прежде, чем оптимизация оставшихся целей будет иметь место. С другой стороны, задача со многими целями может быть переформулирована как задача с ограничениями.

Оптимизация с ограничениями. В практических задачах часто существуют многие ограничения, наложенные на переменные. Существует два типа ограничений: ограничения области, которые выражают область определения целевой функции; ограничения предпочтений, которые налагают ограничения на решение задачи согласно знанию верхнего уровня значений.

Задача оптимизации с ограничениями есть задача уменьшения скалярной функции 0 p некоторого p вектора в области U, подчиненного n условиям. Тогда задача оптимизации с ограничениями мо-

жет быть выражена как min 0 p при i p i;i 1,...,n.

p U

Часто бывает трудно удовлетворить все ограничения, тогда необходимо рассматривать ослабления ограничения предпочтений. Задача удовлетворения многих нарушенных ограничений является многоцелевой задачей минимизации присоединенных функций, пока заданные цели не достигнуты.

Условная многокритериальная оптимизация. Многие задачи характеризуются несколькими несоизмеримыми и часто конкурирующими критериями рабочих характеристик или целей. Задача многокритериальной оптимизации является задачей одновременного уменьшения n целей k p ,k 1,...,n переменного вектора p в области

U, то есть min 1 p ,..., n p . Задача не имеет оптимального реше-

p U

ния, оптимизирующего все цели одновременно. Но существует множество одинаково эффективных альтернативных решений, известных как оптимальные по Парето. Для нахождения компромиссного решения необходима технология решения; существует три класса методов

132

многокритериальной оптимизации: априорная артикуляция предпочтений; апостериорная артикуляция предпочтений; последовательная артикуляция предпочтений.

При априорной артикуляции предпочтений блок принятия решений выражает предпочтения в терминах агрегирующей функции, которая комбинирует индивидуальные целевые значения в единственное значение и формирует единственную цель до оптимизации. При апостериорной артикуляции предпочтений блок принятия решений представляет множество одинаково эффективных кандидатов на решение, прежде чем выразить предпочтения. Компромиссное решение выбирается из этого набора. При последовательной артикуляции предпочтений принятие решения и оптимизация происходят при интерактивных шагах; на каждом шаге блок принятия решений обеспечивает частичную информацию предпочтения, которая в свою очередь формирует лучшие варианты.

Артикуляция предпочтениями определяет функцию полезности, которая различается между вариантами решения. Применяются подходы, основанные на весовых коэффициентах, приоритетах и целевых значениях. Весовые коэффициенты – реальные значения, которые выражают относительное значение целей и балансируют их участие в общем критерии. Приоритеты – целочисленные значения, которые определяют порядок оптимизируемых целей. Лексикографический метод требует задания различных приоритетов всем целям.

Целевые значения дают индикацию относительно желаемых уровней характеристик в каждом целевом аспекте. Цели могут быть интерпретированы различными способами. Они могут представлять минимальные уровни достижимых характеристик, недостижимые уровни характеристик или идеальные уровни характеристик.

Метод взвешенной суммы. Метод взвешенной суммы преобразует многокритериальную задачу уменьшения целей в скалярную

Метод ε ограничений. Метод ограничений – процедура, которая преодолевает некоторые проблемы выпуклости метода взвешенной суммы. Метод минимизирует главную цель и выражает другие цели в форме

ограничений неравенств min i p : k p k ;k 1,...,n; k i. Пробле-

p U

133

ма этого метода – подбор k . Другой недостаток то, что использование жестких ограничений неадекватно выражению целям проекта.

Метод достижения цели. Формулирование метода позволяет целям быть подили сверхдостигнутыми так, чтобы начальные цели проекта были множеством, относительно неопределенным конструктором. Относительная степень подили сверхдостижения целей управляется вектором весов. Задача оптимизации с использованием этого метода

Многокритериальное проектирование является интерактивным; процесс проектирования разбивается на две части: технологию проектирования с компьютером, предоставляющим информацию конструктору о противоречивых требованиях дизайна, и технологию принятия решений конструктора о компромиссах между требованиями проекта, основанными на этой информации, а также на авторском опыте и интуиции о специфике задачи.

Метод неравенств. Проблема многокритериальной оптимизации в том, что существует большой набор решений, оптимальных по Парето, и непросто выбрать решение, которое является лучшим. Для преодоления этой трудности задача проекта переформулируется как метод неравенств: задача выражается как множество алгебраических неравенств, которые должны быть удовлетворены. Задача выражается

множества P и i – функции от p. Значения i выбираются конструктором и представляют наибольшие возможные значения целевых функций i . Цель состоит в нахождении p, который одновременно удовлетворяет множеству неравенств.

MOGA. Генетические алгоритмы (GAs) являются процедурами поиска, основанными на эволюционных процессах. Идея в том, что GAs оперирует с множеством индивидуумов, представляющих потенциальное решение задачи, и применяет правило выживания пригодных индивидуумов так, чтобы индивидуумы развились к лучшему решению задачи. Индивидуумам дают представление в форме хромосом, которое соответствует генотипу индивидуума в природе. Могут быть выполнены три операции: selection, crossover and mutation. По-

134

средством этих операций множество эволюционирует к требуемому решению. Фонцеза и Флеминг использовали подход, названный многоцелевым генетическим алгоритмом (MOGA), который является продолжением идеи Гольдберга. Принцип MOGA отличается от MoI тем, что отыскивается множество одновременных решений и конструктор выбирает лучшее решение. Идея MOGA состоит в том, чтобы разработать множество оптимальных по Парето или околооптимальных по Парето решений. Задача состоит в том, чтобы найти множество недоминирующих решений, удовлетворяющих множеству нера-

венств. Индивидуум j с множеством целевых функций j 1j,..., nj не доминирует, если для множества индивидуумов N нет никаких других индивидуумов k 1,...,N, k j, таких, что a) i: ik ij;

б) ik ij; i 1,...,n. Индивидуумы ранжированы на основе количества других индивидуумов, над которыми они доминируют. Каждый индивидуум тогда назначается согласно его рангу. Задачи, которые решаются MOGA, могут быть сформулированы так: найти множество

objective optimization problem) может быть представлена как програм-

ма векторной математической оптимизации

x 1 x ,..., k x ; x ;

x gi x 0, i 1, ...,m1; hj x 0, j 1, ...,m2; x x1...xn T ,

где x – вектор решений; fl x – нелинейные целевые функции; gi x ,hj x – нелинейные функции ограничения неравенства и равенства соответственно.

Эти цели часто несоизмеримы и конфликтуют друг с другом, то есть MOOP может не иметь единственного решения, оптимизирующего все цели одновременно. Многокритериальная оптимизация должна искать не оптимальное решение, но эффективное (недономинирующее или Парето оптимальное) решение, которое может быть достигнуто наилучшим образом множественных целей, расположенных по приоритетам.

135

3.1.1. Определения

Общая многокритериальная задача оптимизации может быть представлена в виде min x 1 x ... k x Τ ; gj x 0 j 1... m; hi x 0 i 1... , где k – номер целевой функции; m – номер ограни-

x | x X .

Многокритериальная оптимизация возникла из трех областей знаний: теории экономического равновесия и благосостояния, теорий игр и математики.

Предпочтения. Предпочтения относятся к мнениям ЛПР относительно точек в критериальном пространстве. В методах, в которых применяют аностериорную артикуляцию предпочтений, ЛПР налагает предпочтения прямо на множество потенциальных точек решений, и окончательное решение учитывает предпочтения ЛПР. При априорной артикуляции предпочтений ЛПР определяет свои предпочтения перед рассмотрением точек в критериальном пространстве, здесь предпочтения используются относительно значений целевых функций.

Функция полезности. Функция полезности представляет степень человека или группы удовлетворенности человека (ЛПР). При многокритериальной оптимизации индивидуальная функция полезности определена для каждой цели. Функция полезности U – математическое выражение, которое является обобщением индивидуальных функций полезности с учетом предпочтений ЛПР.

Теория игр. Согласно традиционной интерпретации теории игр, игра – любое состояние конфликта или кооперации по крайней мере между двумя игроками с множественными возможными cтратегиями. Теория игр представляет многокритериальную оптимизацию с многими ЛПР, каждый из которых управляет определенными переменными.

Методы скаляризации и векторные методы оптимизации.

Для заданного вектора целевых функций наиболее просто объединить

136

компоненты вектора – сформировать единственную скалярную целевую функцию. Векторная оптимизация подразумевает независимую обработку каждой целевой функции.

Парето оптимальность. Обычно отсутствует единственное глобальное решение и необходимо определить множество точек, удовлетворяющих заранее установленному определению оптимума. Концепция доминирования в определении оптимальной точки присутствует определению Парето оптимальности. Точка x* X является Парето оптимальной, если не существует другой такой точки x X , что

x x* . Точка слабо Парето-оптимальна, если нет никакой другой точки, которая улучшает все целевые функции одновременно. Точка Парето-оптимальна, если нет никакой другой точки, которая улучшает по крайней мере одну целевую функцию без ущерба для другой.

Если два решения x1, x2 полностью сравнимы, то:

– доминирование: x1 x2 , если и только если f x1 f x2 ;

– индифферентность:или x1 x2 , если и только если f x1 f x2 .

В случае MOOP не все решения полностью сравнимы:

доминирование: x1 x2 , если и только если F x1 F x2 и по крайней мере для одной цели F x1 F x2 ;

доминирование: x1 x2 , если и только если F x1 F x2 и по крайней мере для одной цели F x1 F x2 ;

слабое доминирование: x1 x2 ,еслиитолько если F x1 F x2 ;

слабое доминирование: x1 x2 ,еслиитолько если F x1 F x2 ;

индифферентность: x1 x2 , если и только если F x1 F x2 ;

недоминирование: x1 x2 , если и только если F x1 F x2 .

xt называют эффективным (недоминирующим, Парето-опти-

мальным) решением MOOP, если не существует x (x xt ):

137

F x F xt ;F x F xt . xt называют слабо эффективным решением

MOOP, если не существует x (x xt ): F x F xt .

Гольдберг предложил метод ранжирования популяции, использующий доминирование Парето. Если подпопуляция недоминирующее множество, то подпопуляции задается ранг 1 и подпопуляция временно удаляется из популяции; далее находится подпопуляция недоминирующее множество оставшейся популяции, которой дается ранг 2, и временно удаляется. Процесс продолжается, пока вся популяция не будет ранжирована. Таким образом, популяция сортируется в «частичный порядок» групп подмножеств, которые взаимно неразличимы по Парето.

Фонцеза и Флеминг предложили метод MOGA, в котором каждой точке назначается ранг – количество точек, над которыми она доминирует, плюс один. Недоминирующим точкам назначается ранг 1.

Зицлер, Тиле предложили схему ранжирования, в которой опре-

Прореживание. Теоретически возможно для MOEA, что найдется бесконечное число индивидуумов, которые можно считать оптимальными. В практике при приближении популяции к POF определенная ее часть становится недоминирующей. При этом точки не различаются по рангу достаточно хорошо, чтобы можно было управлять размером популяции. Возникает две задачи: 1) большой размер попу-

ляции; SPEA (Strength Pareto Evolutionary Algorithm) использует уста-

новленный размер элиты и удаляет некоторые недоминирующие индивидуумы; 2) в популяции около POF отсутствует доминирование (и селекция) между индивидуумами в популяции; новые точки не будут доминировать ни над одной из существующих точек и алгоритм будет застаиваться вблизи области POF.

Для поддержания размера популяции применяется кластерный метод. Алгоритм кластерного метода следующий: 1) помещают каждый элемент элитной популяции в его собственный кластер; 2) если

138

количество кластеров меньше чем или равно максимальному размеру элитного популяции, то переход в 5); 3) вычисляют дистанции между каждой парой кластеров; дистанция между кластерами c1,c2:

дуумами i, j в пространстве целей; 4) два кластера с минимальной дистанцией между ними объединяются и переход в 2); 5) для каждого кластера определяются индивидуумы, ближайшие к центру кластера, и другие индивидуумы этого кластера удаляются из популяции.

Классификация методов. Лучшее компромиссное решение должно быть решением, которое может лучше всего удовлетворить требованиям ЛПР. Если требования ЛПР могут моделироваться функцией полезности, агрегирующей все целевые функции в один критерий u F x u f1 x ...fk x , то лучшее компромиссное решение может быть определено как решение, максимизирующее функцию полезности u F x ; x . Если функция полезности может быть создана, то MOOP редуцируется до одноцелевой задачи. Однако во многих ситуациях затруднительно создать такую функцию полезности; при этом должны использоваться другие методы, которые используют локальную информацию предпочтения.

Методы, основанные на способах извлечения информации предпочтения ЛПР, могут быть разделены на три класса: 1) эффективные методы формирования решений с предпочтениями, обеспеченными после оптимизации (a posteriori method); при этом формируется множество желаемых эффективных решений; значения этих решений и целевых функций представляются ЛПР, который выберет лучшие компромиссные решения на основе его предпочтений; 2) методы формирования лучших компромиссных решений, основанные на априорных предпочтениях; ЛПР должен предоставить глобальную привилегированную информацию a priori; 3) интерактивные методы с предпочтениями, извлеченными последовательно в процессе анализа решения.

Метод взвешенной суммы. Если функциональное пространство f задачи MOOP – выпуклое, то в методе взвешенной суммы зада-

k

ча переформулируется в форме min F x l fl x ; x . Если про-

l 1

странство целей первоначальной задачи невыпукло, то метод взве-

139

шенной суммы, возможно, не способен к формированию эффективных решений.

Методы p-нормы. В этой секции рассматривается семейство многообъектных методов оптимизации, которые основаны на p-норме для нахождения лучших компромиссных решений. Большинство этих методов требует глобальную привилегированную информацию. Некоторые из них могут использовать интерактивно. Рассмотрено четыре метода: метод минимакса, метод целевого достижения, метод целевого программирования, метод точки предпочтения.

Метод минимакса (идеальной точки). В MOOP можно оптими-

зировать каждую из целей: min fl(x), l 1, ...,k ;x .

Предположим, что оптимальное решение вышеупомянутой задачи xl . Тогда, оптимальное значение целевой функции fl* fl xl . Определите идеальную точку в пространстве целевых функций как F* [ f1*...fk*]. В общем случае идеальная точка не достижима, иначе цели не были бы в конфликте друг с другом.

Решающее правило метода идеальной точки: выбрать такое множество весов для целевых функций, что комбинированная девиация между достижимым решением и идеальным минимальна. Это означает, что лучшее компромиссное решение то, которое является самым близким к идеальной точке в пространстве целевых функций.

На основе решающего правила метода идеальной точки можно сформировать следующую весовую задачу:

d dp d1,1 p .

Для p 1 задача становится негладкой задачей оптимизации:

k

min dp j fj x fj* ; x .

j 1

140