2175
.pdf
М. И. Воронцова
НА Ч Е Р Т А Т Е Л Ь Н А Я
ГЕ О М Е Т Р И Я
Электронный
курс лекций с видеоанимациями
Омск 2010
Министерство образования и науки РФ
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)
М. И. Воронцова
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Электронный курс лекций
с анимациями
Свидетельство о регистрации электронного ресурса ИНИМ РАО № 16583от 28.12.2010 г.
Омск 2010
1
ВВЕДЕНИЕ
Начертательная геометрия является одной из общепрофессиональных дисциплин, составляющих основу инженерного образования и имеющих первостепенное значение в формировании будущего специалиста. Начертательная геометрия включает в себя методы отображения трехмерных геометрических объектов на плоскости (т.е. преобразование реального пространства в проекционную модель – прямая задача) и способы решения позиционных и метрических задач, связанных с этими объектами, по их отображениям на плоскости (обратная задача).
Деление задач на позиционные и метрические является условным. Позиционные задачи определяют взаимное положение геометрических элементов, а метрические – связаны с измерениями: определение расстояний, углов, натуральной величины плоских фигур и др. Но при решении метрических задач часто сначала определяют взаимное положение элементов.
Данное учебное пособие является курсом лекций по начертательной геометрии, читаемым в аудитории, и содержит только самые необходимые разделы курса, предусмотренные государственным образовательным стандартом. Темы лекций выстроены в определенной логической последовательности.
Лекции по начертательной геометрии содержат больше материала, чем можно изложить в аудитории в течение лекционного времени. Это необходимо для того, чтобы студенты при самостоятельной проработке лекций могли хорошо изучить весь теоретический материал, необходимый для решения задач по темам практических занятий. В конце каждой лекции приведены ссылки на учебник, где с изложенной темой можно ознакомиться подробнее.
Конечной целью изучения курса начертательной гео-метрии является овладение правилами построения и оформления чертежей. В связи с обратимостью принципа построения чертежей необходимо научиться пространственные предметы изображать на плоском листе и, наоборот, по плоскому изображению (проекционной модели) представлять предмет в объеме, в реальном пространстве, то есть решать прямую и обратную задачи.
Принятые обозначения
1.Точки в пространстве - прописными буквами латинского алфави-
та: A, B, C,..., М, а также цифрами: 1, 2, 3...
2.Линии – строчными буквами латинского алфавита: a, b, c,..., l, m,...
3.Плоскости - строчными буквами греческого алфавита: , , , ,..., плоскости проекций – П1, П2, П3.
4.Проекции точек, линий и плоскостей обозначают теми же буквами, что и оригиналы, только с индексами. Например,
проекции на плоскость П1: A1, B1, a1, b1, 1, на плоскость П2: A2, B2, a2, b2, 2.
Символы, обозначающие отношения между геометрическими фигурами:
= - совпадение, равенство, результат действия;- параллельность;- перпендикулярность;
- скрещивающиеся прямые;
- принадлежность элемента множеству;
- принадлежность множества множеству;
- объединение, А a= - точка A и прямая a задают плоскость ;
- пересечение, a=A - пересечение плоскости с прямой а
определяют точку А.
- следствие, (а b, b c) (а с).
3
1. ОБРАЗОВАНИЕ ПРОЕКЦИЙ. МЕТОД МОНЖА.
ПРОЕКЦИИ ПРЯМОЙ ЛИНИИ
Под проецированием понимают получение проекций (изображений) предмета на какую-нибудь плоскость, называемую плоскостью проекций (рис. 1.1).
1.1.Проекции центральные
Рис. 1.1
П0 - плоскость проекций; S - центр проекций;
А, В, D – точки в пространстве;
SA, SB - проецирующие лучи;
А0,В0 -центральные проекции точек А и В на плоскость П0. Имея одну проекцию точки, нельзя определить ее положение в
пространстве. Точки А, А1, А2 имеют одну и ту же проекцию в виде точки А0 на плоскость П0.
Точки, лежащие на одном уровне с центром проекций (точки С и D), не имеют проекций на эту плоскость.
Чтобы получить проекцию кривой линии на плоскость, надо спроецировать ряд ее точек на эту плоскость (рис. 1.2), при этом проецирующие лучи образуют коническую поверхность. Поэтому центральные проекции еще называют коническими.
При центральном проецировании происходит искажение формы, размеров и некоторых других свойств предмета. Проекция предмета, построенная методом центрального проецирования, называет-
ся перспективой.
4
Рис. 1.2 Анимации\Рис. 1.2.exe
1.2. Проекции параллельные
При параллельном проецировании все проецирующие лучи параллельны между собой. Для их проведения указывают направление проецирования – S (рис. 1.3). Параллельные проекции можно считать частным случаем центральных проекций, если центр проецирования находится в бесконечности. S - центр проекций несобственная точка. Чтобы спроецировать линию, нужно спроецировать ряд ее точек. Тогда проецирующие лучи образуют цилиндрическую поверхность, поэтому параллельное проецирование называют еще цилиндрическим.
Рис. 1.3 Анимации\Рис.1.3.exe
5
Параллельные проекции разделяют на косоугольные, в которых проецирующие лучи располагаются к плоскости проекций под углом, меньше 90 , и прямоугольные – ортогональные, от греческого слова «орто» - прямой, в которых проецирующие лучи располагаются под углом 90 к плоскости проекций. В данном курсе рассматриваются только прямоугольные проекции.
1.3. Проецирование точки на две плоскости проекций. Метод Монжа
Метод параллельного прямоугольного проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций является основным методом составления технических чертежей и называется методом Монжа.
Две взаимно перпендикулярные плоскости в пространстве условно принимаются за плоскости проекций (рис. 1.4 а):
П1- горизонтальная плоскость проекций; П2- фронтальная плоскость проекций; П1 П2;
Ох - линия пересечения плоскостей проекций - ось координат (х или П2/П1).
Две плоскости разделили пространство на 4 четверти. А1 - горизонтальная проекция точки А; А2 - фронтальная проекция точки А.
Проецирующие прямые АА2 П2, АА1 П1, АА2 и АА1 образуют плоскость, перпендикулярную к П1 и П2. Эта плоскость пересекает плоскости П1 и П2 по линиям АХА1 и АХА2, которые перпендикулярны оси проекций Ох и пересекает ее в одной точке Ах.
Можно получить простой и удобный чертеж, повернув плоскость П1 вокруг оси Ох, совместив ее по часовой стрелке с плоскостью П2. При этом получается чертеж, называемый эпюром Монжа или просто эпюром (рис. 1.4 б).
Линия А1А2 оси Ох и называется линией связи.
При переходе к эпюру утрачивается пространственная картина расположения плоскостей проекций и точки. Но эпюр обеспечивает точность и удобоизмеримость изображений при значительной простоте изображений.
Чтобы определить положение точки в пространстве, задают ее координаты. Координатами точки называются расстояния от точки до плоскостей проекций: x - ширина (абсцисса); y - глубина (ордината); z- высота (аппликата). Задание точки выглядит так: А (x, y, z) или А (20,15,45).
6
а |
б |
Рис. 1.4 Анимации\Рис. 1.4.exe
В первой четверти все координаты положительны. Для удобства определения положения точек в четвертях пространства знаки координат сведены в таблицу.
Четверти про- |
x |
y |
Z |
странства |
|
|
|
I |
+ |
+ |
+ |
II |
+ |
- |
+ |
III |
+ |
- |
- |
IV |
+ |
+ |
- |
Если точка лежит в плоскости проекций, то одна ее проекция лежит на оси координат (одна координата точки равна 0).
Пример 1. Определить, в каких четвертях находятся точки, и записать их координаты (рис. 1.5).
Рис. 1.5
7
1.4. Проецирование точки на три плоскости проекций
Не всегда для определения предмета достаточно двух плоскостей проекций, часто необходимо ввести еще одну плоскость проекций П3, называемую профильной (рис. 1.6), П3 П4 и П2. Профильная плоскость делит пространство на 8 частей – октантов (окто – восемь). Эпюр первого октанта показан на рис. 1.6 б с указанием плоскостей проекций и на рис. 1.6 в – без указания плоскостей проекций. Наглядное изображение на рис. 1.6 а и чертеж по рис. 1.6 б и 1.6 в содержат горизонтальную, фронтальную и профильную проекции точки А.
На эпюре видно, что горизонтальная и фронтальная проекции точки лежат на одном перпендикуляре (линии связи) к оси Ох, а фронтальная и профильная проекции точки лежат на одном перпендикуляре (линии связи) к оси Oz. Построение профильной проекции точки показано на рис. 1.6 б. Расстояние от точки А до плоскости П1 на чертеже измеряется отрезком А2Ах или А3Ау, расстояние до плоскости П2 – отрезком А1Ах или А3Аz, расстояние до плоскости П3 – отрезком А1Ау или А2Аz. Поэтому проекции А3 можно построить, откладывая на линиях связи проекций А2 и А3 от оси Z вправо отрезок, равный А1Ах (см. рис. 1.6 в). Такое построение является предпочтительным.
Линии связи на чертеже надо проводить обязательно. Горизонтальную проекцию точки определяют координаты x и y,
фронтальную - x и z, профильную - y и z.
В ортогональных проекциях проекцией точки является точка.
а) |
б) |
Рис. 1.6 Анимации\Рис. 1.6а.exe Анимации\Рис. 1.6б.exe
8
1.5. Проекции прямой линии. Классификация прямых
Прямая на плоскость всегда проецируется в прямую. Прямую на чертеже задают проекциями отрезков или проекциями точки и направлением проекций прямой (рис. 1.7).
Если расстояние от предмета до плоскости проекций не имеет значения, то оси координат на чертеже (эпюре) не изображают.
По отношению к плоскостям проекций прямые линии могут занимать различные положения.
Прямая общего положения - это прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций. На чертеже ни одна из ее проекций не параллельна оси координат (рис. 1.7, 1.8, 1.9).
Если точка принадлежит прямой, то ее проекции лежат на одноименных проекциях этой прямой. На рис. 1.8 точка С АВ.
Рис. 1.7 |
Рис. 1.8 |
Рис. 1.9 Анимации\Рис.1.9.exe
9