2175

Прямые уровня - это прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Одна проекция такой прямой всегда параллельна оси координат, а другая проецируется в натуральную величину (рис. 1.10 а, б, в). Углы наклона таких прямых к плоскостям проекций проецируются в натуральную величину: 1 – угол наклона к плоскости П1, 2

– угол наклона к плоскости П2.

Горизонталь обозначают буквой h, фронталь – f, профильную прямую – p.

Проецирующие прямые - это прямые, перпендикулярные одной плоскости проекций (рис. 1.11 а, б, в). Одна проекция этих прямых вырождается в точку, а другие – изображаются в натуральную величину.

10

1.6. Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона его к плоскостям проекций способом прямоугольного треугольника

Натуральная величина отрезка прямой определяется как гипотенуза прямоугольного треугольника, один катет которого равен проекции отрезка на заданную плоскость проекций, а другой равен разности расстояний от концов отрезка до этой же плоскости. Угол наклона прямой к плоскости проекций равен углу между натуральной величиной прямой и ее проекцией на эту плоскость (рис. 1.12).

Пример 2. Определить натуральную величину отрезка АВ и угол наклона его к горизонтальной плоскости проекций П1 (рис. 1.13). АВ

П1,П2; АВ ? 1 ?

Рис. 1.12 Рис. 1.13 Анимации\Рис. 1.12, 1.13.exe

1.7. Деление отрезка в пропорциональном отношении

Если точка, принадлежащая отрезку, делит этот отрезок в ка- ком-то отношении, то проекции этого отрезка делятся проекциями этой точки в том же отношении.

Пример 3. Разделить отрезок АВ в отношении АС:СВ 2:1 (рис. 1.14). Решение можно производить на любой проекции. Из любого конца отрезка АВ под произвольным углом к проекции прямой проводят луч произвольной длины, на нем откладывают 3 равных между собой произвольных отрезка. Конечную точку В0 соединяют с точкой В1, определяют точку С0, которая делит отрезок А1В0 в отношении 2:1. Проводят отрезок С0С1 параллельно В0В1. Точка С1 делит горизонтальную проекцию отрезка А1В1 в отношении 2:1. С2 определяют

по линиям связи.

11

1.8. Следы прямой

Следами прямой называются точки пересечения прямой с плоскостями проекций (рис. 1.15). Прямая общего положения имеет три следа, уровня – 2, проецирующая -1.

М- горизонтальный след; М1 - горизонтальная проекция горизонтального следа;

М2 - фронтальная проекция горизонтального следа; N – фронтальный след;

N1 - горизонтальная проекция фронтального следа;

N2 - фронтальная проекция фронтального следа. Одноименные проекции следов совпадают с самими

следами.

Рис. 1.14 Рис. 1.15 Анимации\Рис.1.15.exe

Для построения горизонтального следа прямой фронтальную проекцию прямой А2В2 продолжают до пересечения с осью Ох и получают фронтальную проекцию горизонтального следа М2. Так как точка М принадлежит прямой АВ, то ее горизонтальная проекция М1 находится на горизонтальной проекции прямой А1В1 и лежит на одной линии связи с проекцией М2. Для построения фронтального следа прямой его горизонтальную проекцию А1В1 продолжают до пересечения с осью Ох и получают горизонтальную проекцию фронтального следа N1. Фронтальную проекцию фронтального следа N2 прямой находят по линии связи на ее фронтальной проекции.

1.9. Взаимное расположение прямых

Прямые в пространстве могут быть параллельны, пересекать-

ся или скрещиваться.

12

Если прямые параллельны, то их одноименные проекции на чертеже параллельны (рис. 1.16). Если прямые пересекаются, то на чертеже проекции их точки пересечения лежат на одной линии связи

(рис. 1.17).

Если прямые не пересекаются и не параллельны, то они скрещиваются. У скрещивающихся прямых на одной из проекций совпадают проекции двух точек, поэтому одна из совпадающих точек становится закрытой. Такие точки еще называют конкурирующими (рис. 1.18).

1 и 2 (12=22)- фронтально–конкурирующие точки; 3 и 4 (31=41)- горизонтально–конкурирующие точки.

Рис. 1.18 Анимации\Рис. 1.18.exe

13

Из двух горизонтально-конкурирующих точек на чертеже видимой будет та, фронтальная проекция которой расположена выше; из двух фронтально-конкурирующих точек видимой будет та, горизонтальная проекция которой будет ниже.

Точки 2 и 3 – закрытые, 1 и 4 – открытые.

1.10. Проекции прямого плоского угла. Теорема о прямом угле

Если хотя бы одна сторона прямого плоского угла параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость угол будет проецироваться в натуральную величину (рис. 1.19). На рис. 1.19 а угол АВС прямой, так как его сторона ВС является фронталью, а на рис. 1.19 б угол СDЕ не равен 90 , так как обе стороны угла – прямые общего положения.

Рис. 1.19

Вопросы для самопроверки

1.Что понимают под проецированием?

2.В чем состоит сущность центрального проецирования?

3.В чем состоит сущность параллельного проецирования?

4.В чем заключается метод Монжа?

5.Что называют координатами точки?

6.Какие координаты на эпюре определяют горизонтальную, фронтальную и профильную проекции точки?

7.Какие прямые называют прямыми общего положения? уровня? проецирующими?

8.Как определить натуральную величину прямой общего положения способом прямоугольного треугольника?

9.Что называется следами прямой линии?

14

10.Как определить на чертеже прямые параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся?

11.Какие точки называются конкурирующими? Как определить их видимость на чертеже?

12.Сформулировать теорему о прямом угле.

2.ПЛОСКОСТЬ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ. ПРЯМАЯ И ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ

2.1. Способы задания плоскости на чертеже

Плоскость на чертеже можно задать:

-1)проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 2.20а); -2)проекциями прямой линии и точки, не лежащей на этой прямой

(рис. 2.20 б);

-3)проекциями двух параллельных прямых (рис. 2.20 в);

-4)проекциями двух пересекающихся прямых (рис. 2.20 г);

-5)проекциями плоской фигуры (рис. 2.20 д);

-6)следами (рис. 2.21, 2.22).

Каждое из названных заданий может быть преобразовано в другое из них (рис. анимац. 2.20)

Рис. 2.20

Анимации\Рис. 2.20.exe

Следами плоскости называются линии пересечения плоскости с плоскостями проекций (рис. 2.21). h0 - горизонтальный след плоскости, или ∩П1 – линия пересечения плоскости с плоскостью проекций П1. На чертеже принято обозначать П1. f0 - фронтальный след плоскости, или ∩П2 – линия пересечения плоскости с плоскостью проекций П2. На чертеже принято обозначать П2.

15

Следы плоскости всегда совпадают со своей одноименной проекцией на эту плоскость, а другие проекции этих следов лежат на осях координат. На чертеже обозначают только горизонтальные, фронтальные и профильные следы, а их проекции на осях координат не обозначают.

Рис. 2.21 Анимации\Рис. 2.21.exe

В треугольнике следов (см. рис. 2.21) все углы острые, угол между следами в пространстве не равен углу между следами на чертеже. На рис. 2.22 представлен эпюр плоскости, заданной следами.

2.2. Классификация плоскостей

Плоскости разделяют на плоскости общего положения и част-

ного.

Плоскость, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения (сравнить с прямой). Плоскости общего положения могут быть вос-

ходящими (рис. 2.23 а) и нисходящими (рис. 2.23 б).

16

К плоскостям частного положения относятся проецирующие и уровня.

Проецирующие плоскости перпендикулярны к одной из плоскостей проекций; один след таких плоскостей вырождается в прямую линию (проецирующий след), и все элементы, лежащие в этих плоскостях, сливаются с проецирующим следом. На чертеже угол между проецирующим следом плоскости и плоскостью проекций изображается в натуральную величину (рис. 2.24, 2.25, 2.26).

Рис. 2.24 Анимации\Рис. 2.24.exe

Рис. 2.25 Анимации\Рис. 2.25.exe

17

2.3. Условие принадлежности точки и прямой линии плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой этой плоскости. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки этой плоскости.

Пример 4. Построить горизонтальную проекцию точки К(К2), принадлежащей плоскости треугольника АВС. (рис. 2.28). К (АВС); К2

А212; К1 А111.

Рис. 2.28 Анимации\Рис. 2.28.exe

2.4.Линии особого положения в плоскости

Кним относятся горизонтали и фронтали (рис. 2.29).

Горизонталью плоскости называется прямая, принадлежащая

плоскости и параллельная плоскости проекций П1. Фронтальная проекция горизонтали h2 всегда параллельна оси Оx. Фронталью плоскости называется прямая, принадлежащая плоскости и параллельная плоскости проекций П2. Горизонтальная проекция фронтали f1 всегда параллельна оси Оx. На рис. 2.29 горизонталь и фронталь построены в треугольнике АВС.

19