УДК 53.08(075.8) ББК 22.3

Г69

Авторы:

В.В. Горлач, Н.А. Иванов, М.В. Пластинина, А.С. Рубан

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук, доц. Ю.Б. Никитин (ОмГМА); д-р техн. наук, проф. Ю.К. Машков (ОмГТУ)

Работа одобрена редакционно-издательским советом вуза в качестве учебного пособия для студентов технических специальностей.

Г69 Руководство к лабораторным работам: Колебания и волны: учебное пособие / В.В. Горлач, Н.А. Иванов, М.В. Пластинина, А.С. Рубан; под ред. В.В. Горлача. – Омск, СибАДИ, 2014. – 126 с.

ISBN 978-5-93204-667-8

В пособии изложена краткая теория изучаемых колебательных и волновых процессов, сформулированы экспериментальные задания для студентов, а также контрольные вопросы допуска к работам и защиты результатов измерений. Приведены необходимые справочные материалы. Методика эксперимента описана как в натурном, так и виртуальном вариантах. В приложении даны общие рекомендации по обработке результатов измерений. Тематика соответствует действующей программе и федеральным государственным образовательным стандартам для технических направлений и специальностей вузов.

Пособие адресовано студентам первых, вторых курсов.

Ил. 40. Табл 44. Библ. 18.ISBN 978-5-93204-667-8

© ФГБОУ ВПО «СибАДИ», 2014

2

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

В руководство включены лабораторные работы по следующим темам программы1 из раздела «Физика колебаний и волн»:

•Сложение гармонических колебаний.

•Затухающие колебания.

•Вынужденные колебания под действием синусоидальной силы.

•Звуковые волны. Стоячие волны.

•Взаимодействие электромагнитных волн с веществом.

•Поляризация света. Интерференция и дифракция волн.

Вотличие от пособия [6] в настоящем руководстве сокращены описания некоторых экспериментов. Перечень лабораторных работ, предлагаемых к выполнению, существенно расширен. Включены работы: «Измерение показателя преломления стекла», «Линзы», «Законы синтеза

цветов». Работы 24, 25, 28 описаны Н.А. Ивановым, 29, 32, 33 – М.В. Пластининой, 30, 33м – А.С. Рубан.

Теоретическое обоснование методики эксперимента изложено кратко, но в достаточном объёме для того, чтобы ответить на все контрольные вопросы, за исключением выводов некоторых формул. Последние предлагается изучить самостоятельно, обращаясь в случае затруднений к другим учебным пособиям. Вопросы, требующие основательной подготовки, отмечены звездочкой (*). Они не обязательны для всех и предназначены для желающих получить повышенную оценку. Полный список вопросов приводится в конце описания работы; их достаточное количество обеспечивает индивидуальность контроля.

Подготовка к работе начинается с изучения теории, со знакомства с методом измерений, а также с табличным и графическим представлениями результатов эксперимента, с осознания цели работы и заканчивается составлением заготовки письменного отчёта (прил. 1, табл. П1.1, пп. 1–7). Объём подготовки определён контрольными вопросами; источник информации – данное пособие плюс рекомендуемая литература.

В списках литературы, приводимых на первой странице описания лабораторной работы, указан номер источника, под которым он находится в общем библиографическом списке, номера и заголовки параграфов, где изложены необходимые теоретические сведения. В общем списке (в конце книги, с. 121), кроме литературы, рекомендованной для подготовки к работе и защиты результатов, указаны наиболее значимые источники, использованные при написании настоящего пособия.

1 Проект программы по физике для студентов технических вузов (к стандартам III поколения). М.: Министерство образования Российской Федерации. НМС по физике, 2008.

4

Лабораторные работы выполняются в следующем порядке:

1.Допуск – выяснение цели работы и основных понятий по теме под руководством преподавателя; уточнение методики эксперимента на конкретных установках, имеющихся в лаборатории; знакомство с приборами и с правилами техники безопасности; ответы на контрольные вопросы допуска.

2.Выполнение работы – измерения и расчёты в последовательности, рекомендованной настоящим руководством; анализ экспериментальных данных с учётом погрешностей; интерпретация результатов в соответствии с целью работы. (Форма таблиц дана в руководстве

к каждой работе. Общие указания по расчёту погрешностей и оформлению отчёта вынесены в приложение. Более подробно вопросы обработки результатов измерений изложены в пособии [5]).

3. Защита результатов эксперимента – ответы на контрольные вопросы; представление письменного отчёта по проделанной работе;

собеседование с преподавателем.

Вся подгруппа выполняет одновременно одну и ту же работу бригадами по 2 – 3 чел. на отдельных установках. Однако учебные задания могут различаться:

–исходными данными;

–диапазоном изменения измеряемых величин;

–образцами материалов для исследования;

–классом точности и пределами измерений используемых приборов;

–набором дополнительных заданий;

–выборками данных эксперимента для статистического анализа;

–способами вычисления погрешностей.

Количество выполняемых заданий там, где в руководстве описаны как натурные, так и виртуальные эксперименты, а также дополнительные задания, помеченные звёздочкой (*), определяет преподаватель. Варианты подбираются исходя из уровня подготовки студенческой группы и времени, отведённого на лабораторный практикум.

5

Глава 1. КОЛЕБАНИЯ

Если вы можете измерить то, о чём рассказываете,

– вы кое-что знаете об этом предмете, но когда вы не можете это измерить, ваши знания скудны и недостаточны, вы едва ли продвинулись до стадии науки. Уильям Томсон (лорд Кельвин)2

Лабораторная работа 17

ИЗМЕРЕНИЕ АМПЛИТУДЫ И ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОСЦИЛЛОГРАФА

Рекомендуемая литература

[9].§ 3.1.1. С. 242. Кинематика и динамика колебательных процессов.

§3.1.2. С. 247. Сложение колебаний.

[15].§ 145. С. 262. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Устройство, принцип действия и назначение осциллографа

Электронный осциллограф3 применяется для исследования быстропротекающих повторяющихся процессов. Он позволяет измерять амплитуду, частоту электрического сигнала, малые промежутки времени, а также определять соотношение амплитуд, частот, фаз двух электрических колебаний. Колебания любой физической природы могут быть преобразованы в электрические и изучены с помощью осциллографа.

Графическое отображение процесса наблюдается на люминесцирующем экране электронно-лучевой трубки (ЭЛТ). Осциллографы на основе ЭЛТ с электростатической системой отклонения электронного пучка обладают большим входным сопротивлением, высокой чувствительностью по напряжению и быстродействием. Последнее обусловлено практической безынерционностью электронного пучка и даёт возможность исследования процессов длительностью от 10 нс.

Электронно-лучевая трубка состоит из стеклянной колбы, в которой создан высокий вакуум; электронного прожектора (система электродов 1–5), создающего сфокусированный и управляемый по интенсивности пучок электронов; системы отклонения пучка по вертикали и по горизонтали 6 и 7; люминесцирующего экрана 8 (рис. 17.1).

2 Томсон (Thomson W.) Уильям (1824 – 1907) – английский физик, один из основоположников термодинамики, известен также работами в области электромагнетизма.

3 Другое название осциллографа, осциллоскоп, точнее отражает его назначение как прибора для наблюдения колебаний (лат. oscillum – колебание; греч. skopeõ – смотрю).

6

На ускоряющий анод 5 подается положительный потенциал в несколько тысяч вольт относительно катода.

Подача напряжения на горизонтально расположенные пластины 6 (пластины Y) вызывает смещение электронного пучка по вертикали, тогда как напряжение, приложенное к вертикально расположенным пластинам (пластинам Х), вызывает горизонтальное смещение пучка.

Смещение светящегося пятна на экране ЭЛТ пропорционально приложенному напряжению, что позволяет использовать осциллограф в качестве электроизмерительного прибора.

Если подать на пластины Y синусоидальное напряжение, например, из сети переменного тока частотой 50 Гц, то электронный луч будет перемещаться по экрану снизу вверх и обратно, совершая гармонические колебания с той же частотой. На экране при этом виден отрезок вертикальной прямой линии.4 Измеряя длину этого отрезка и зная цену деления шкалы экрана осциллографа, можно определить размах колебаний напряжения 2 Uy m и затем амплитуду напряжения Uy m.

Чтобы визуально наблюдать, как изменяется напряжение uy во времени, т. е. графическое отображение функции uy(t), нужно сделать так, чтобы электронный луч одновременно с колебаниями вдоль оси Y смещался равномерно вдоль оси Х. Последнее достигается подачей на пластины X напряжения uх пилообразной формы (рис. 17.2).

В течение некоторого промежутка времени напряжение на пластинах Х растёт прямо пропорционально времени uх = k∙t, а в

4 Наблюдается сплошная линия, а не отдельная движущаяся точка на экране, так как люминеcцирующее вещество обладает свойством послесвечения.

7

момент t = Tp практически мгновенно падает до нуля. При этом луч с

небольшой постоянной скоростью перемещается слева направо по

неподвижной, когда периоды исследуемого напряжения и напряжения развёртки кратны друг другу: Тр = n∙T, где Тр – период развертки; Т – период исследуемого сигнала; n – число полных колебаний, наблюдаемых на экране.

Пилообразное напряжение вырабатывается специальным генератором, встроенным в осциллограф. Период развертки можно изменять, добиваясь устойчивой картины на экране. В большинстве осциллографов имеется система синхронизации, которая автоматически подстраивает частоту генератора развёртки, выдавая пилообразный импульс в такт с исследуемым сигналом. Блок-схема осциллографа изображена на рис. 17.3.

Осциллограф используется для исследования формы электрических сигналов путем визуального наблюдения их отображения на экране и для измерения их временных и амплитудных характеристик. Он обеспечивает:5

наблюдение формы импульсов обеих полярностей с длительностью от 0,1 мкс до 0,2 с и размахом от 5 мВ до 300 В в диапазоне от 5 Гц до 10 МГц;

измерение длительности периодических сигналов в диапазоне частот от 5 Гц до 10 МГц;

измерение амплитуд исследуемых сигналов от 28 мВ до 140 В, а с выносным делителем 1 : 10 – от 280 мВ до 300 В;

измерение временных интервалов от 0,4 мкс до 0,2 с.

5 Приводятся технические характеристики распространённой модели С1-67. Для достижения тех же целей обучения могут быть использованы другие осциллографы, имеющие вход Х (С1-65, С1-70 и т. п.), на которых можно наблюдать сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Подробнее с возможностями осциллографа можно ознакомиться по паспорту прибора.

8

Блок

синхронизации

Рис 17.3. Блок-схема осциллографа

Исследуемый сигнал можно подавать на электронно-лучевую трубку двумя способами: 1) непосредственно на вертикально отклоняющие пластины (вход ПЛАСТИНЫ Y на боковой стенке прибора) с чувствительностью 0,7 мВ/дел; 2) через усилитель (вход 1МΩ 40рF). Чувствительность в последнем случае определяется положением переключателя ВОЛЬТ/ДЕЛ на передней панели прибора (рис. 17.4).

Погрешности измерений амплитуды сигнала и временных интервалов не превышают +12 % .

Осциллограф С1-67 имеет внутренний источник калиброванного напряжения, который генерирует П-образные импульсы с частотой 2 кГц и амплитудой 0,6 В; погрешности частоты и амплитуды калиброванного напряжения составляют +3 %.

Рабочая часть экрана занимает по вертикали 42 мм (7 делений) и по горизонтали 60 мм (10 делений). Каждое 6-миллиметровое деление разделено на 5 равных частей.

Прибор работает от сети напряжением 220 В и частотой 50 Гц. Он также может питаться напряжением 115 В и частотой 400 Гц и от аккумуляторной батареи напряжением 24 В.

9

Подготовка осциллографа к работе

До начала измерений поставить органы управления прибором в следующие положения:

тумблер выбора напряжения питания (на задней стенке осциллографа) – в положение 220 V; тумблер СЕТЬ – выключено; ЯРКОСТЬ – в крайнее левое; ФОКУС – в крайнее правое;

ВОЛЬТ/ДЕЛ (большая ручка) – в положение ▼6 ДЕЛ;

УСИЛЕНИЕ (малая ручка), СТАБ и ДЛИТЕЛЬНОСТЬ (малая ручка сдвоенного переключателя) – в крайнее правое;

ВРЕМЯ/ДЕЛ (большая ручка сдвоенного переключателя) – в положение 0,5 ms. (Поворачивать только с одновременным нажатием вдоль оси переключателя!);

переключатель входа (~ , , ~) - в положение ~; переключатель вида синхронизации (ВНЕШ, ВНУТР, Х) – в положение ВНУТР;

переключатель вида полярности синхронизации (~, ~, +, –) –

вположение ~ , + ; тумблер (– , _∏_2 kHz ) – в положение _∏_2 kHz;

тумблер (×1 , ×0,2)6 – в положение ×1 ; ручки смещения луча по вертикали ↕ и по горизонтали ↔ – в среднее положение.

Включить прибор тумблером СЕТЬ и через 3 мин отрегулировать яркость и фокусировку линии развёртки. Если луча не будет видно при максимальной яркости, то ручками ↕ и ↔ переместить линию развёртки в пределы рабочей части экрана.

Проверить чувствительность канала вертикального усиления. Изображение амплитуды калибровочного сигнала должно быть равно шести делениям шкалы ЭЛТ. В случае необходимости – отрегулировать чувствительность при помощи шлица ЧУВСТВ, расположенного с левой стороны прибора.

Проверить калибровку длительности развертки. Изображение десяти периодов калибровочного напряжения должно укладываться в десять делений шкалы ЭЛТ. При необходимости – отрегулировать при помощи шлица КАЛИБРОВКА ДЛИТЕЛЬНОСТИ ×1, расположенного на боковой стенке прибора. Перевести тумблер множителя в положение ×0,2. Изображение двух периодов калибровочного напряжения должно укладываться в 10-ти делениях шкалы ЭЛТ.

6 В некоторых осциллографах подобного типа переключатель ×1; ×0,2 отсутствует.

11

При подготовке к измерениям выбор положений органов управления определяется формой и амплитудой исследуемого сигнала, а также другими особенностями источника сигнала. Так, например, если постоянная составляющая исследуемого сигнала намного больше переменной, то целесообразно поставить переключатель входа в положение ~ , тогда конденсатор входной цепи не пропускает постоянную составляющую. Во всех других случаях используется связь осциллографа с источником по постоянному току (~). В

положении вход усилителя вертикального отклонения отключается и заземляется.

Задание 1. Измерение амплитуды колебаний напряжения

Цель: ознакомиться с назначением и принципом работы осциллографа, научиться измерять амплитуду электрических колебаний.

Приборы: осциллограф, источник переменного напряжения, вольтметр.

1.1.Подать исследуемый сигнал от звукового генератора или от сети 220 В (через понижающий трансформатор) на вход 1МΩ 40рF. Ручка УСИЛЕНИЕ должна быть зафиксирована в крайнем правом положении, при этом цифровые отметки переключателя ВОЛЬТ/ДЕЛ соответствуют градуировке вертикальной шкалы экрана.

1.2.Установить большой ручкой ВОЛЬТ/ДЕЛ размер изображения не менее 2,8 делений по вертикали в пределах рабочей части экрана. Совместить при помощи ручек ↕ и ↔ изображение сигнала в удобное для отсчёта место шкалы.

1.3.Отсчитать размах изображения по вертикали Nyi в делениях шкалы. Уменьшая и увеличивая яркость изображения, повторить отсчёты. Результаты занести в табл. 17.1 и найти среднее значение, Ny.

Таблица 17.1

Результаты измерения амплитуды переменного напряжения

12

1.4.По полученным данным рассчитать амплитудное значение напряжения Um (в вольтах) как произведение половины размаха в делениях шкалы на цифровую отметку переключателя ВОЛЬТ/ДЕЛ (цену деления вертикальной шкалы) и его действующее значение Uосц

1.5. Подать исследуемый сигнал на вольтметр, измерить действующее значение напряжения UV и сравнить его, учитывая погрешности измерений, со значением Uосц, полученным с помощью осциллографа.

Задание 2. Измерение периода и частоты

электрических колебаний

Цель: ознакомиться с назначением и принципом работы осциллографа, научиться измерять период электрических колебаний.

Приборы: осциллограф, два источника переменного напряжения перестраиваемой частоты (звуковой генератор).

2.1. Установить переключатель вида синхронизации в положение ВНУТР, а ручку УРОВЕНЬ – в одно из крайних положений. При отсутствии изображения повернуть ручку СТАБ так, чтобы на экране появилась горизонтальная линия развертки.

2.2.Подать исследуемый сигнал на вход 1МΩ 40рF. Установить переключатель ВОЛЬТ/ДЕЛ в положение, при котором размер сигнала по вертикали наиболее удобен для наблюдения. Вращением ручки УРОВЕНЬ получить устойчивое изображение. Если этого сделать не удалось, то следует повернуть немного ручку СТАБ.

2.3.Установить ручку ДЛИТЕЛЬНОСТЬ в крайнее правое положение до щелчка. (При этом длительность развертки соответствует градуировке переключателя ВРЕМЯ/ДЕЛ).

2.4.С помощью переключателя ВРЕМЯ/ДЕЛ и тумблера растяжения развёртки ×1; ×0,2 установить7 такой горизонтальный размер осциллограммы, чтобы часть, выбранная для измерений, составляла не менее четырех делений (NХ ≥ 4).

2.5.Разместив изображение по центру экрана, отсчитать число делений NХ и определить время t, за которое совершается n колебаний:

t = Nx ∙ Cx ∙ Mp ,

7 Ручку ВРЕМЯ/ДЕЛ поворачивать только с одновременным нажатием вдоль оси переключателя! Переключением из х1 в х0,2 осциллограмма 5-кратно растягивается по горизонтали, и таким образом цена деления уменьшается в пять раз.

13

где t – измеряемый интервал времени; Nx – длина измеряемого интервала в делениях шкалы; Cx – цена деления сетки экрана по горизонтали (указана на переключателе ВРЕМЯ/ДЕЛ); Мр – множитель (1 или 0,2), устанавливаемый тумблером растяжения развёртки.

2.6.Вычислить период колебаний Т = t/n, где n – число колебаний

винтервале времени t, выбранном для изучения; частоту колебаний

исследуемого сигнала νосц = 1/Т и сравнить её со значением, отсчитанным непосредственно по шкале звукового генератора, νЗГ.

Пример. Пусть 8 полных колебаний занимают на экране Nx = 4,0 деления по горизонтали; цена деления Cx = 2 мкс/дел; тумблер множителя развёртки установлен в положении х1 (Mp = 1).

Тогда длительность 8-ми периодов равна

t= 2 мкс/дел ∙ 4 дел ∙ 1 = 8 мкс,

апериод исследуемых колебаний

Т= t / N ; T = 8 мкс/8 = 1 мкс; T = 1∙10-6 Гц.

Задание 3 (дополнительное)

*Измерение частоты по фигурам Лиссажу8

Цель: научиться измерять частоту электрических колебаний методом сложения взаимно перпендикулярных колебаний с помощью осциллографа и источника синусоидального напряжения c известной частотой; выяснить, как видоизменяются фигуры Лиссажу в зависимости от разности фаз и соотношения частот слагаемых колебаний.

Приборы: осциллограф, два источника переменного напряжения (звуковых генератора) перестраиваемой частоты.

8 Лиссажу (Lissagous) Жюль Антуан (1822–1880) – французский физик-экспериментатор.

14

Теория сложения взаимно перпендикулярных колебаний

Пусть материальная точка участвует в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях одинаковой частоты:

где А и В – амплитуды, ω – угловая частота, φx и φy – начальные фазы соответствующих колебаний. Траектория результирующего движения точки представляет собой в общем случае эллипс (рис. 17.5, б), описываемый уравнением

где δ = (φx – φy ) – разность фаз составляющих колебаний.

Вид траектории и её ориентация относительно осей Х и Y зависят от разности фаз. В частности, траектория принимает вид прямой, проходящей через начало координат (рис. 17.5, а и д), при разности фаз δ = mπ, где m – целое число: 0, ±1,±2, ±3, и т. д.

Если m – чётное число, т. е. δ = 0, ±2π, ±4π и т. д., то прямая располагается в первом и третьем квадрантах (рис. 17.5, а) согласно уравнению прямой линии, проходящей через начало координат,

Если m – нечётное число, т. е. δ = ±1π, ±3π, ±5π и т. д., то прямая находится во втором и четвёртом квадрантах (рис. 17.5, д), согласно уравнению

располагаются по осям Х и Y и равны А и В соответственно. Когда

15

амплитуды одинаковы (А = В), эллипс превращается в окружность радиуса R = A с центром в начале координат.

Траектории результирующего движения при сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний называются фигурами Лиссажу.

Рис. 17.5. Результаты сложения взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты при различной разности фаз δ

Рассмотрим сложение гармонических взаимно перпендикулярных колебаний, когда их частоты различны. В этом случае на экране осциллографа наблюдаются более сложные фигуры Лиссажу. Вид фигур зависит от соотношения частот и разности фаз составляющих колебаний. Изменение амплитуды одного из колебаний влияет лишь на размер фигуры вдоль соответствующей оси.

Пусть частоты составляющих колебаний не равны, но близки друг к другу: x = A·sinωt; y = B·sin(ω + Δω)t, где Δω – постоянная малая величина. Тогда результирующее колебание можно рассматривать как результат сложения двух колебаний одинаковой частоты, но с медленно изменяющейся разностью фаз:

x = A·sinωt; y = B·sin[ωt + (Δω·t)] .

Выражение в круглых скобках (Δω·t) представляет собой разность фаз, медленно растущую со временем по линейному закону, поскольку Δω << ω и Δω = const. Траектория результирующего движения в этом случае непрерывно видоизменяется. Она отвечает всем формам фигур Лиссажу при сложении колебаний одинаковой частоты (ωy = ωx) в случаях, когда разность фаз последовательно проходит все значения от – π до +π рад: от прямой во втором и четвёртом квадрантах к эллипсу, от эллипса к прямой в первом и третьем квадрантах и от неё к эллипсу и т. д.

Фигуры Лиссажу имеют простой неизменный вид, легко поддающийся интерпретации, если частоты составляющих гармонических колебаний по оси Х и по оси Y относятся как целые числа,

16

например, νY : νX = 1:2, 2:1, 3:1, 2:3 и т. д., и разность фаз постоянна. Например, сложение двух гармонических колебаний вида x = Acosωt и y = Acos2ωt, где отношение частот νy:νX = 2:1, а разность фаз равна нулю, вызывает движение по параболе9 (рис. 17.6, а)

Отношение периодов складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигуры Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. (Если ось координат проходит через точку пересечения ветвей фигуры Лиссажу, то при подсчёте числа пересечений К вдоль соответствующей оси эту точку учитывают дважды.)

Так как период и частота колебаний связаны обратно пропорциональной зависимостью Т = 1/ν, то отношение частот колебаний

Из соотношения (17.8), следует νу : νх = Kх : Ky. Таким образом формула для расчёта неизвестной частоты νy при известной νx получается в виде

9 Уравнение параболы (4) рекомендуем вывести самостоятельно. Для этого нужно возвести в квадрат уравнение x(t) и произвести замену cos2ωt = cos2ωt – sin2ωt.

17

Выполнение измерений

1. Установить переключатель вида синхронизации в положение Х. Подать на вход вертикального отклонения (вход Y) исследуемый синусоидальный сигнал, частоту которого нужно определить. (Эта частота не изменяется в ходе выполнения задания). На вход горизонтального отклонения (вход Х) подать напряжение от другого звукового генератора известной частоты, которую можно изменять.

2. Изменяя частоту генератора, получить три устойчивые фигуры Лиссажу, соответствующие отношениям частот νу : νх взаимно перпендикулярных колебаний: 1:1; 1:2; 2:1. Зарисовать в табл. 17.3 наблюдаемые фигуры.

у

Резервировать не менее 3-х строк таблицы

х

3. Определить значения искомых частот νу по формуле (17.9), используя каждую из трёх полученных фигур Лиссажу.

νу = νx K x ,

K y

где νу – частота исследуемого сигнала (частота по вертикали); νx – частота образцового генератора (частота по горизонтали); Kx – число точек пересечения фигуры с осью Х (или с параллельной ей прямой); Ky – число точек пересечения фигуры с осью Y (или с параллельной ей прямой).

4. Сравнить значение νу, полученное с помощью осциллографа по виду фигуры Лиссажу, с результатом непосредственного отсчёта частоты по шкале звукового генератора νуЗГ.

Контрольные вопросы к ЛР 17

Допуск

1. На какие пластины: горизонтально или вертикально отклоняющие, подается: а) исследуемое напряжение; б) напряжение развёртки?

18

2.Наименования основных электродов ЭЛТ; их роль в формировании электронного луча и управления им.

3.Назначение генератора развёртки.

4.Нарисовать вид осциллограммы, когда к ЭЛТ приложено:

а) только исследуемое переменное напряжение (развёртка отключена); б) только развёртывающее напряжение.

5. Как подготовить осциллограф к измерениям амплитуды электрических колебаний?

Защита

6.Описать осциллографический метод измерения амплитуды колебаний.

7.Как определяется период исследуемых колебаний по осциллограмме, если известен период развёртки?

8.Зарисовать осциллограмму, наблюдаемую в случае, когда на вход Х

ина вход Y поданы синусоидальные напряжения одинаковой частоты и

амплитуды при разности фаз, равной: а) ½π рад; б) π рад; в) 0.

9.Как изменится вид осциллограммы периодического сигнала, если период развёртки: а) увеличить в два раза; б) уменьшить в два раза?

10.Как изменится осциллограмма периодического сигнала, если положительный потенциал ускоряющего анода ЭЛТ относительно катода: а) увеличить; б) уменьшить?

11.Как определить частоту колебаний по фигуре Лиссажу?

12.Какое значение для работы осциллографа имеет свойство послесвечения люминесцирующего вещества, которым покрыт экран?

13.*Каковы приблизительно пределы измерения используемого в работе электронного осциллографа: а) по частоте; б) по амплитуде напряжения?

14.*Доказать, что траектория у(x) луча в плоскости экрана ЭЛТ имеет вид синусоиды, если на вход Y подано синусоидальное напряжение, Uy = Uoy∙sint, а на вход Х – напряжение, прямо пропорциональное времени,

Ux = k∙t. Также известно, что y = Cy∙Uy и x = Cх∙Uх , где Cy и Сx – постоянные.)

15. *Указать несколько способов преобразования механических колебаний в электрические.

19

Лабораторная работа 20

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПО ВИБРОГРАММЕ

Рекомендуемая литература

[3]. § 5.9.1. С.183. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний, его решение. § 5.9.2. С. 184. Характеристики, вводимые для описания затухающих колебаний.

[9].§ 3.1.1. С. 242. Кинематика и динамика колебательных процессов.

§3.1. С. 252. Затухающие колебания.

Теоретическое обоснование методики измерений

Графическое изображение колебательных процессов различной природы может быть получено на экране осциллографа, компьютера или на бумажной ленте. Простейший виброграф10 состоит из часового механизма, который с постоянной скоростью протягивает бумажную ленту. К ленте прижато перо, связанное посредством рычагов с объектом исследования (деталью машины или элементом строительной конструкции).

10 Виброграф – прибор для записи колебательного движения (лат. vibrare – дрожать, колебаться + греч. graphõ – пишу).

20

Решение этого уравнения найдено в виде функции x = A0 e−βt cos(ωt +φ0).

Из-за наличия в любой реальной системе сил трения, неупругих деформаций и т. п. амплитуда свободных колебаний уменьшается. Изменение амплитуды со временем подчиняется по экспоненциальному закону

где A0 – амплитуда в начальный момент времени, когда t = 0

(начальная амплитуда); е – основание натуральных логарифмов (е = 2,718...).

Если ввести понятие времени релаксации11 τ как промежутка времени, за который амплитуда убывает в е раз, то из (20.1) следует простой физический смысл коэффициента затухания: коэффициент затухания – величина, обратная времени релаксации

Свободное колебание называют условно периодическим движением, поскольку амплитуда свободных колебаний уменьшается со временем и состояние колебаний в точности не повторяется. Тем не менее колеблющаяся величина обращается в нуль, достигает максимума и минимума через равные промежутки времени, что позволяет при описании свободных колебаний употреблять термины: период, Т – промежуток времени за которое совершается одно колебание; частота, ν – число колебаний за одну секунду.

Угловая частота, ω = 2πν, свободных колебаний меньше собственной угловой частоты12 ω0: ω = √ω20−β2 . Величина ω при-

ближается к ω0 при уменьшении коэффициента затухания и может быть ей приравнена (ω ≈ ω0) при β → 0.

Отношение двух амплитуд, измеренных через определённый промежуток времени t, не зависит от времени. Если t = Т, то отношение At/At+T называется декрементом13 колебания. На практике чаще используется логарифмический декремент – величина, равная

11 Встречаются и другие названия промежутка времени, за который амплитуда колебаний становится меньше начальной в е раз: постоянная времени переходного процесса и также среднее время жизни колебательного состояния.

12 Собственная частота – частота колебаний при отсутствии сил трения.

13 Декремент (от лат. decrementum – убавление) – величина, характеризующая быстроту затухания.

21

натуральному логарифму отношения амплитуд, измеренных через период,

ский смысл величины Λ: логарифмический декремент – величина, обратная числу колебаний за время релаксации,

Измерив амплитуды A0 и At соответственно в начале и в конце выбранного промежутка времени t, можно вычислить коэффициент затухания. Согласно закону (20.1) расчётная формула получается в виде

Учитывая выражение коэффициента затухания (20.5), получим формулу для расчёта логарифмического декремента по результатам непосредственных измерений

Цель работы: ознакомиться с принципом работы вибрографа, научиться определять по виброграмме характеристики свободных колебаний: время релаксации, τ; коэффициент затухания β; период колебаний, Т; логарифмический декремент, Λ; убедиться в том, что характеристики свободных колебаний Т, β, Λ не зависят от времени, и в справедливости закона изменения амплитуды со временем (20.1).

22

2. Выполнение работы Задание 1. Определение коэффициента затухания

илогарифмического декремента

1.Измерить расстояние lmas между метками времени на виброграмме, определить масштаб времени tmas/ℓmas (в с/мм).

2.Выбрать на виброграмме не менее трёх участков различных местах виброграммы длительностью 2 – 4 колебания и определить период колебаний для каждого из участков по формуле Т = t/N. Участки должны располагаться по всей длине виброграммы. Допускается перекрытие участков, когда общее число колебаний на виброграмме невелико.

3.Вычислить время, за которое совершается N колебаний, для

каждого из трёх выбранных участков виброграммы по формуле

t = l t mas , где tmas – временнóй интервал, соответствующий

l mas

расстоянию lmas между метками времени на виброграммме14; l – длина выбранного участка виброграммы, содержащего N колебаний.

4.Для каждого из трёх выбранных участков виброграммы найти период колебаний T = t/ N . Выяснить, зависит ли период от времени, и, если с учётом погрешностей зависимости не наблюдается, найти среднее значение <T>.

5.Провести верхнюю и нижнюю огибающую амплитуд (штриховые линии на рис. 20.1).

6.Измерить амплитуду А0 в месте, близком к началу виброграммы, где амплитуда достаточно велика, и амплитуду Аt в месте, где заканчиваются N колебаний первого выбранного участка. Так как положение равновесия не отмечено на виброграмме, поэтому для удобства и повышения точности измерений рекомендуется непосредственно измерять не амплитуду, а размах колебаний – расстояние от верхней огибающей до нижней, измеренное по перпендикуляру к линии с метками времени. Такая замена не влияет на результаты последующих вычислений величин β и Λ, так как в

расчётные формулы входит отношение начальной и конечной амплитуд.

Выполнить измерения величин А0 и Аt для второго и третьего участков виброграммы. Результаты измерений и вычислений занести в табл. 20.1.

14 Масштаб времени указан в паспорте вибрографа. Однако при выполнении учебной лабораторной работы каждому студенту выдаётся индивидуальный масштаб.

23

7. Для каждого из трёх участков виброграммы (см. п. 5) определить коэффициенты затухания по формуле (20.5) и логарифмические декременты (20.7). Выяснить характер зависимости этих величин от времени. В случае, если по данным опытов с учётом доверительных интервалов изменения величин β, Λ со временем не обнаруживается, найти средние значения <β> и <Λ>.

Задание 2. Определение времени релаксации

1. Вычислить амплитуду в конце времени релаксации Aτ =A0/2,718, где A0 – начальная амплитуда на первом участке по результатам предыдущих измерений.

2.Сдвигая измерительную линейку вдоль виброграммы, найти

положение, где амплитуда становится равной Aτ, отметить точку с координатой lτ относительно начала и измерить расстояние lτ (см. рис. 20.1) от точки в начале виброграммы, где амплитуда А0, до точки, где амплитуда равна Аτ, т. е. в 2,718 раз меньше.

3.Зная масштаб времени, определить время релаксации по

4. Вычислить коэффициент затухания βф по формуле (20.2) и логарифмического декремента Λф по формуле (20.4), исходя из их физического смысла.

5. Сравнить значения <β> и βф; <Λ> и Λф; сделать вывод о справедливости закона A = A0 ∙e−β t .

24

Контрольные вопросы к ЛР 20

Допуск

1.Какое колебание называется свободным?

2.Что такое время релаксации?

3.По какому закону зависит от времени амплитуда свободных колебаний?

4.Физический смысл и единица коэффициента затухания.

5.Определение и физический смысл логарифмического декремента колебания.

Защита

6.Может ли свободное колебание быть гармоническим? Является ли свободное колебание периодическим движением? Как в данной работе найти период?

7.Как вы находили по виброграмме время релаксации?

8.Какие две формулы вы использовали, чтобы двумя способами найти коэффициент затухания по данным ваших измерений?

9.Какие две формулы вы использовали, чтобы по данным ваших измерений двумя способами найти логарифмический декремент затухания?

10.Какими параметрами колебательной системы определяется коэффициент затухания?

11.При каком условии колебательная система, выведенная из состояния равновесия, не совершает колебаний?

12.Вывести формулы, применяемые в данной работе для расчёта

13.Вывести формулу, раскрывающую физический смысл

14.*Логарифмический декремент некоторой колебательной системы составляет 0,010. Период колебаний Т = 1 с. Чему равно время релаксации?

15.*Вывести формулу взаимосвязи логарифмического декремента и коэффициента затухания: Λ = βТ.

16.*Коэффициент затухания равен 0,40 с-1 при частоте колебаний 100 Гц. Можно ли приближённо считать, что частота затухающих колебаний равна собственной частоте?

17.*Исходя из второго закона Ньютона, вывести диффференциальное уравнение свободных колебаний груза на пружине в вязкой среде.

18.*Физический смысл коэффициента сопротивления.

25

Лабораторная работа 21

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Рекомендуемая литература

[7].§ 27.2. С. 358. Механические гармонические колебания.

§28.2. С. 373. Вынужденные механические колебания.

Основы теории

Вынужденными называют колебания, происходящие в системе под внешним воздействием механической силы или электродвижущей силы, изменяющейся по гармоническому закону.

Рассмотрим колебания груза массы m на пружине жёсткости k (рис. 21.1) в вязкой среде, характеризуемой коэффициентом сопротивления r, под действием синусоидальной силы F = F0∙sinΩt, где F0 – амплитуда; Ω – угловая частота.

Второй закон Ньютона в применении к движению данного тела записывается в виде

ω0 = √mk – собственная угловая частота данной системы (частота

при отсутствии сопротивления и внешнего воздействия). Частное решение уравнения (21.2) найдено в виде функции

x = A sin (Ωt +φ0),

где φ0 – отставание по фазе колебаний груза от вынуждающей силы.

Груз колеблется с частотой вынуждающей силы Ω (навязанной извне). Амплитуда колебаний A зависит от амплитуды вынуждающей силы F0, но более того от соотношения частот вынуждающей силы и собственных колебаний Ω и ω0.

26

экстремума) найдём, приравняв производную подкоренного выражения в (21.2) нулю: Ωр= √ω02−2β2 .

Цель работы: исследовать зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы и убедиться в том, что результаты опытов не противоречат закону (21.2); определить резонансную частоту для данной колебательной системы.

пружине. Частота вынужденных колебаний груза равна частоте вращения эксцентрика. Вал эксцентрика соединён со

счётчиком оборотов. Скорость вращения электродвигателя регулируется с помощью реостата.

Выполнение работы

1. Включить электродвигатель и, медленно повышая частоту, довести амплитуду колебаний до максимальной,15 т. е. добиться

15 Для того, чтобы колебательная система получила достаточную энергию и установилась определённая амплитуда, должно пройти несколько колебаний на установившейся частоте.

27

резонанса. Измерить размах колебаний, 2А. Включить секундомер и одновременно отметить начальное положение счётчика N1. По прошествии N оборотов эксцентрика по счётчику (N > 15) и времени t (t > 15 с) выключить секундомер и отметить конечное показание счётчика, N2.

2.Уменьшая частоту, а затем её увеличивая, повторить измерения по п. 1 для получения не менее трёх значений амплитуды и частоты при резонансе. Результаты занести в табл. 21.1.

3.Выполнить измерения амплитуды, числа оборотов и соответ-

Резервировать не менее 5-ти строк таблицы

Арез = ______ мм; νрез = _____ Гц.

5.Вычислить относительные и абсолютные погрешности частоты и амплитуды при резонансе.

6.Построить диаграмму в координатах «Размах колебаний – частота вынуждающей силы». Показать на графике 2А(ν). доверительные интервалы амплитуды и частоты при резонансе.

7.Сравнить результаты с предсказаниями теории и сделать

выводы.

Контрольные вопросы к ЛР 21

Допуск

1.Перечислить величины, которые: а) предстоит измерить непосредственно; б) следует вычислить.

2.При выполнении данной работы какие параметры установки:

а) вы будете изменять; б) остаются неизменными?

28

3.Как регулируется частота вынуждающей силы?

4.Как измерить: а) размах колебаний; б) число колебаний, совершённых за выбранное время, – в данной работе ?

5.По каким признакам обнаруживается резонанс?

Защита

6.Записать уравнение на основе второго закона Ньютона, описывающее вынужденные колебания груза на пружине в вязкой среде.

7.Что такое резонансная частота?

8.По какому закону зависит амплитуда колебаний от частоты вынуждающей силы? Анализируя формулу A(ν) показать, что при некоторых условиях амплитуда вынужденных колебаний: а) растёт; б) уменьшается, – при монотонном увеличении частоты.

9.Как изменится вид резонансной кривой: а) при увеличении; б) при уменьшении сопротивления в колебательной системе?

10.* Вывести дифференциальное уравнение вынужденных колебаний груза на пружине из второго закона Ньютона.

11.Параметры установки, определяющие амплитуду при резонансе.

12.*Полагая, что масса груза m = 0,10 кг, собственная частота отличается на 10 % от резонансной, оценить по результатам Ваших измерений: а) коэффициент затухания; б) коэффициент сопротивления; б) жёсткость пружины; в) амплитуду при резонансе.

13.*Показать на основе формулы A(ν), что резонансная кривая начинается не от начала координат.

14.* В чем отличие вынужденных колебаний от автоколебаний?

29

Лабораторная работа 22к

КОЛЕБАНИЯ ГРУЗА НА ПРУЖИНЕ

Рекомендуемая литература

[3]. § 5.9.1. С. 183. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний, его решение. § 5.9.2. С. 184. Характеристики, вводимые для описания затухающих колебаний.

[7].§ 27.2. С. 358. Механические гармонические колебания.

§27.4. С. 364. Сложение гармонических колебаний.

§28.1. С. 370. Затухающие колебания. § 28.2. С. 373. Вынужденные механические колебания.

Введение

Предлагаемая компьютерная программа позволяет наблюдать различные виды колебаний груза на пружине:

1)гармонические (в отсутствие затухания);

2)свободные (затухающие);

3)вынужденные под действием синусоидальной силы;

4)колебания на двух пружинах во взаимно перпендикулярных направлениях (двумерные колебания).

При изучении одномерных колебаний (задания 1 – 3) программа выдаёт график зависимости x(t) при заданных параметрах системы. Амплитуда А, число колебаний N и время отсчитываются непосредственно по диаграмме в рабочем окне (рис. 22к.1). При выполнении задания 4 «Двумерные колебания» программа демонстрирует траекторию y(x) при различных соотношениях частот и разностей фаз с указанием амплитуд по осям Х и Y (рис. 22к.2).

Массу груза, m, жёсткость пружины k, коэффициент сопротивления r, амплитуду вынуждающей силы F, частоту вынуждающей силы ν можно изменять в широких пределах с определённым шагом (табл. 22к.1).

30

Начальные условия можно задавать в следующих пределах: координата х0 – от – 2,00 до 2,00 см с шагом 0,01 см; скорость υ0 – от нуля до 2,00 см/с с шагом 0,01 см/с. Сочетание х0 = 0 и υ0 = 0 означает отсутствие колебаний.

Рис. 22к.1. Рабочее окно программыh «Одномерные колебания»

Задание 1. Гармонические колебания

Основы теории

Если сопротивление в колебательной системе мало, то в отсутствие внешних воздействий реальная система совершает свободные колебания, близкие к гармоническим. Гармоническими называют колебания, которые совершаются по закону синуса или косинуса, например,

где х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия; xm = А – максимальное смещение, или амплитуда; ω – угловая частота

31

колебаний (ω = 2πν, или ω = 2π/T; ν =1/Т – частота; Т – период колебаний); t – время; ωt – фаза колебания16.

Скорость найдём как производную смещения точки по времени υx = – Аω∙sinωt,

а ускорение – как вторую производную смещения, или первую производную скорости,

Из (22к.1) и (22к.2) видно, что ускорение точки при гармонических колебаниях пропорционально смещению и векторы

Рассмотрим колебания груза на пружине в отсутствие сил трения. В выражении второго закона Ньютона, F = m a, равнодействующая сила представлена только силой упругости Fупр x = – k∙x. В проекции на ось Х (рис. 22к.1) получим

– k∙x = max, или ax=−mk x.

Отсюда следует, что колебания происходят по гармоническому

Выполнение задания 1

1. Задать значения массы и жёсткости, а также начальные условия: смещение х0 и скорость υ0 с помощью соответствующих прогрессбаров в рабочем окне программы (см. рис. 22к.2) и записать исходные данные в табл. 22к.2. Установить программу изучения одномерных колебаний, изменив состояние кнопки «2 эксперимент» на «1 эксперимент». (При повторном нажатии возвращается прежняя программа).

2. Запустить программу кнопкой «Начать эксперимент». (Чтобы закончить очередной эксперимент достаточно изменить состояние любого прогрессбара левой кнопкой мыши) .

3. Подсчитать по осциллограмме, выданной в рабочем окне, число колебаний N за промежуток времени t. Определить эксперимен-

тальное значение периода колебаний по формуле Т эксп = Nt .

16 В общем случае фаза φ (состояние колебания) записывается как φ = ωt + φ0, где φ0 – начальная фаза. Необходимость указания в уравнении колебания начальной фазы возникает, когда сравниваются два колебания со сдвигом фаз.

32

4. Изменить массу груза и повторить действия по пп. 2, 3. Сделать вывод о характере зависимости Тэксп от массы m (увеличивается, уменьшается или не изменяется с возрастанием массы).

5. Выполнить действия п.п. 2, 3, задавая разные жёсткости k колебательной системы (2 опыта). Выяснить характер зависимости Тэксп (k). Результаты экспериментов записать в табл. 22к.2.

Таблица 22к.2

Результаты изучения гармонических колебаний

Начальное смещение x0 = ___ см; Начальная скорость υ0 = ___ см/с;

Задание 2. Свободные колебания при наличии сопротивления (затухающие колебания)17

Цель работы: выяснить зависимость характеристик свободных колебаний: времени релаксации, τ; коэффициента затухания β; периода колебаний, Т; логарифмического декремента, Λ, от коэффициента сопротивления; убедиться в справедливости закона

изменения амплитуды со временем A = A0∙e-βt и в том, что величины Т, β, Λ не зависят от времени.

Выполнение задания 2

1.Ввести коэффициент сопротивления, массу и жёсткость колебательной системы. Запустить программу и выполнить измерения

ивычисления характеристик затухающих колебаний: N, t, T, A0, A, β, Λ на начальном участке осциллограммы (в качестве N выбрать первые 3 – 5 колебаний). Результаты записать в первую строку табл. 22к.3.

2.Повторить измерения и вычисления для следующих 3 – 5 колебаний той же осциллограммы. Результаты записать во вторую строку.

3.Изменить (увеличить или уменьшить в несколько раз) коэф-

фициент сопротивления, не меняя массы и жёсткости. Запустив

17 Теоретическое обоснование метода измерений см. в ЛР 20.

33

программу, произвести измерения и вычисления для первой, затем для второй половины новой осциллограммы по пп. 1, 2. Записать результаты в третью и четвёртую строку табл. 22к.3.

4. Проанализировать результаты наблюдений и вычислений: сравнить экспериментальные βэксп и теоретические βтеор= r /(2 m) значения коэффициента затухания; сравнить периоды свободных колебаний Тэксп и собственных колебаний То = 2 π √m/k . Сделать выводы.

Таблица 22к.3

5. Для одного из четырёх проведённых опытов определить время релаксации τ, число колебаний за время релаксации Nτ, коэффициент затухания βф = 1/τ и логарифмический декремент колебаний Λф = 1/Nτ. Результаты записать в нижнюю строку табл. 22к.3. Сопоставляя значения β и βф, а также Λ и Λф, сформулировать вывод.

Задание 3. Вынужденные колебания18

1.Ввести параметры установки: m, k, r; амплитуду вынуждаю-

щей силы, F0 и начальное значение её частоты, ν1 = 0; задать начальные условия: x0, υ0 . Записать исходные данные в табл. 22к.4.

2.Запустить программу: записать значение амплитуды А.

3.Разбить весь диапазон частот на пять – семь интервалов и, изменяя частоту через выбранный интервал вплоть до наибольшей, допустимой программой, получить 5 – 7 значений амплитуды. Результаты записать в табл. 22к.4.

4.Построить диаграмму в координатах «Амплитуда вынужденных колебаний – частота». Определить резонансную частоту νp.

18 Теорию вынужденных колебаний см. в описании ЛР 21.

34

5. Вычислить резонансную частоту и амплитуду при резонансе по

угловая частота данной системы; ω0 = 2πν0; Ωр = 2πνр. Сравнить с экспериментальными данными и сделать выводы.

Таблица 22к.4

Начальное смещение x0 =____ см; начальная скорость, υ0 = ____ см/с; Амплитуда вынуждающей силы F0 = ____ Н.

ν, Гц А, см

Задание 4. Двумерные колебания

1. Установить в рабочем окне (рис. 22к.2) собственные частоты колебаний νX вдоль оси Х и νY вдоль оси Y и разность начальных фаз (по указанию преподавателя). Рекомендуемые комбинации отношений частот νY/νX и разностей фаз в восьми вариантах (A – К) представлены в табл. 22к.5.

Таблица 22к.5

Рекомендуемые разности фаз и отношения частот в опытах по изучению взаимно перпендикулярных колебаний

2. Выполнить эксперимент в четырёх вариантах с различными отношениями частот νY/νX и значениями разности фаз δ по заданию преподавателя. Результаты занести в табл. 22к.6. Зарисовать

35

3. Анализируя зарисованные фигуры Лиссажу, вычислить отно-

36

Контрольные вопросы к ЛР 22к19

Допуск

1.Значения каких величин требуется задавать для работы компьютерных программ: а) «Затухающие колебания»; б) «Вынужденные колебания»?

2.Какие величины требуется вычислить собственноручно по окончанию работы компьютерной программы в заданиях: а) «Гармонические колебания»; б) «Двумерные колебания»?

3.Какова теоретическая зависимость периода гармонических колебаний груза на пружине от жёсткости и от массы?

4.От каких параметров зависит период свободных колебаний груза на пружине в вязкой среде?

Защита

5. Определения и единицы величин: а) периода колебаний; б) частоты; в) логарифмического декремента; г) коэффициента затухания.

6.Физический смысл логарифмического декремента колебаний.

7.Взяв за основу закон изменения амплитуды свободных колебаний от времени А(t), вывести формулу, раскрывающую физический смысл коэффициента затухания, βф = 1/τ , где τ – время релаксации.

8.Нарисовать две резонансные кривые, соответствующие различным сопротивлениям в системе «груз на пружине». По каким трём признакам различаются эти кривые?

9.Как определить соотношения частот и амплитуд двумерных колебаний по виду осциллограммы?

10.При каком соотношении частот и амплитуд тело, участвующее в двумерных колебаниях, описывает: а) окружность; б) эллипс?

11.*Какова разность фаз взаимно перпендикулярных колебаний, когда результирующее движение при сложении этих колебаний происходит по

траектория двумерных колебаний может иметь вид «восьмёрки», расположенной вдоль оси Y?

14. *Каким образом, имея диаграмму с резонансной кривой, можно определить добротность колебательной системы? Записать расчётную формулу и расшифровать обозначения.

19 См. также вопросы к ЛР 20, 21.

37

Глава 2. ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ

Бегущие волны с точки зрения физики и математики представляют собой выдающееся по значению и красоте явление. …Волны описываются посредством физических величин, отклонения которых от положения равновесия изменяются в зависимости от координат и времени.20

Волна представляет собой некое возмущение, распространяющееся в той или иной среде, причём

среда при этом практически не перемещается.21

Лабораторная работа 24

ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ ВОЛНЫ И СКОРОСТИ ЗВУКА

Рекомендуемая литература

[2].Кн.1. § 13.6. С. 304. Волны в упругих средах. § 13.10. С. 313.

Звуковые волны в газах.

[3].§ 5.7.4. С. 176. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу. § 6.1.1, 6.1.2. С. 204. Характеристики волновых процессов. Уравнение плоской гармонической волны.

[5].Гл. 2. § 3. С. 68. Анализ результатов эксперимента и формулирование выводов.

Основы теории

Распространение колебаний частиц сплошной среды называется упругой волной. Волна называется продольной, если направление колебаний частиц среды совпадает с направлением распространения волны, а если частицы колеблются в плоскости, перпендикулярной этому направлению, то – поперечной. Упругие волны с частотой от 16 Гц до 20 кГц воспринимаются человеком как звук. Звуковые волны в воздухе являются продольными.

Распространение волны в упругой среде сопровождается переносом энергии и импульса. Однако переноса массы (вещества) при этом не происходит. Частицы среды не перемещаются вместе с волной, а лишь колеблются около своих положений равновесия.

Геометрическое место частиц среды, колеблющихся в одинаковой фазе, образует волновую поверхность. В зависимости от её формы различают плоские, сферические и цилиндрические волны.

20 Крауфорд Ф. Волны. БКФ. Т. III – М.: Наука, 1976. – 527 с. С. 11, 353.

21 Купер Л. Физика для всех. Т. 1. Классическая физика. – М.: Мир, 1974.– 479 с. С. 229.

38

Звуковые волны, исследуемые в данной работе, можно считать плоскими, поскольку они излучаются протяжённым источником.

Пусть источник плоской волны находится в начале координат и возбуждает колебания частиц упругой среды по гармоническому закону ξ = Acosωt. Частица среды, которая находится в состоянии равновесия на расстоянии x от источника, придёт в движение по

такому же закону через промежуток времени υx , где υ – скорость

распространения волны. Тогда уравнение колебания этой частицы приобретает вид

где ξ – смещение точек среды с координатой х в момент времени t, A – амплитуда колебаний; ω = 2πν = 2π/T – угловая частота; ν – частота; Т – период колебаний.

Уравнение плоской гармонической волны (24.1) позволяет в любой момент времени t и в любом месте с координатой x определить смещение ξ(х, t) любой точки, участвующей в волновом процессе.

Если в формуле (24.1) зафиксируем величину t, сделав как бы моментальный снимок волны, то получим уравнение синусоиды (рис. 24.1). Точки среды А и B колеблются синфазно, точнее – с разностью фаз ∆φ = 2π, поскольку периодичность функции cosφ составляет 2π рад. То же относится к точкам C и D. Периодичность колебательного процесса в пространстве характеризуется длиной волны λ. Длина ξ А • λ →|

волны – это расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз 2π рад.

ростью υ за время, равное периоду T колебаний частиц среды: λ = υ∙Т,

39

Из уравнения (24.3) следует, что состояние колебаний (фаза) в бегущей волне повторяется и во времени (через промежуток t = m∙T),

(24.1) равна скорости распространения волновой поверхности с

заданной фазой и потому называется фазовой скоростью.

Скорость распространения упругих волн зависит от вида деформации, от плотности и упругих свойств среды, от температуры. Скорость звуковых волн в газах, близких к идеальному,

где M – молярная масса; T – температура газа, R – молярная газовая постоянная, γ – коэффициент Пуассона (для воздуха γ = 1, 40).

Зная характеристики газа γ и M и температуру воздуха, можно рассчитать теоретическое значение скорости звука.

Формулу для вычисления длины волны по результатам измерений в данной работе получим из уравнения (24.3). Легко видеть, что две точки с координатами x1 и x2 колеблются со сдвигом фаз

где s = (x2 – x1) – расстояние между точками среды, колеблющимися с разностью фаз π рад; λ – длина волны.

Скорость звука можно вычислить на основании (24.2) и (24.6):

точек бегущей волны, для которых разность фаз φn+1 – φn = π, можно определить длину волны, а затем и скорость звука, зная частоту. Разность фаз определяется в данной работе с помощью осциллографа.

40

Цель работы: ознакомиться с методом измерения длины звуковой волны; определить длину волны и скорость звука в воздухе на разных частотах; выяснить характер зависимостей: а) длины волны от частоты; б) скорости звука от частоты; в) длины волны от координаты приёмника звуковых волн относительно их источника.

Приборы: динамик и микрофон, установленные на скамье с линейной шкалой; звуковой генератор; усилитель; осциллограф.

Описание установки

От звукового генератора 3Г (рис. 24.2) на динамик Д и одновременно на вход X осциллографа ЭО подаётся напряжение, изменяющееся по гармоническому закону. Микрофон М улавливает звуковые волны, излучаемые динамиком Д. Механические колебания преобразуются в электрические колебания и подаются на вход усилителя низкой частоты УНЧ. Усиленный сигнал поступает на вход Y осциллографа.