1.9. Совершенствование метода предельных состояний

Представим граничное условие области предельных состояний конструкций в виде

Если принять, что вероятность выполнения неравенства (1.75) есть вероятность сохранности конструкции, то вероятность отказа (разрушения) определяется выражением

другую меру безопасности конструкций − гарантию неразрушимости

[62]:

Рис. 1.8. Показатели безопасности по методу Н.С. Стрелецкого

Гарантия неразрушимости завышает вероятность безотказной

работы конструкции, так как произведение ω1ω2 соответствует вероятности одновременного появления этих двух событий, а вероятность

40

отказа из-за реализации одного события исключается. Чтобы уточнить оценку, впоследствии для некоторых случаев был установлен

верхний предел вероятности отказа ω1ω2 < ω1 + ω2 − ω1ω2 [15]. В настоящее время эту модель иногда применяют для решения практических задач [39, 57].

С целью совершенствования метода расчёта конструкций по предельным состояниям представим условие надёжности в виде сис-

темы двух событий R~ ≥ U и Q ≤ U, где U –детерминированное значение предельного состояния, соответствующее равенству R~ = Q

[36].

Выполним логический анализ этой системы. В общем случае R~ и Q являются элементами не только бесконечного множества S, но и

ного эффекта, которые в о щем случае не равны и выражаются вероятностями Р(ВR) и Р(BQ), которые Б.И. Снарскис назвал «дальностями

применения противоположных событий, согласно которому при умножении вероятностей следует отдавать предпочтение операциям с событиями, распадающимися на меньшее число вариантов, т.е. с менее вероятными событиями – отказами. Поэтому для дальнейшего анализа рассмотрим совмещение неблагоприятных событий (отказов), учитывая, что теория вероятностей оперирует также понятием условной вероятности какого-либо события А, которая вычисляется в предположении наступления другого события В и обозначается как равен-

ство Р(А/В) = Р(В/А).

41

Совмещаемые события-отказы АR и АQ независимы по вероятности, так как, например, появление события АQ с вероятностью Р(АQ) > 0 (превышение предельного значения нагрузки) не изменяет вероятности (обеспеченности) события АR (занижение прочностных свойств конструкции). При этом Р(АR/АQ) = Р(АR) при условии Р(АQ) > 0. Предпосылка независимости событий распространяется, прежде всего, на практические случаи статического загружения конструкций. Возможны частные случаи проявления вероятностной зависимости внешних воздействий и свойств конструкции, требующие специальных исследований взаимодействия.

Вероятность совмещения (совместного появления) независимых, логически связанных событий AQ ∩ AR определяется по правилу

сочетаний теории вероятности

Надёжность конструкции или вероятностьИбезотказности системы определяется зависимостью, вытекающей из классических теорем

Полученное выражение характеризует отказ системы АS с веро-

ятностью Р(АS) = Р(R̃< Q̃).

чениях нагрузкиСилиипрочности вероятность отказа сооружения нулевая и получается Р(ВS) = 1 [55]. Однако этот случай противоречит условию, в котором оба параметра являются случайными, кроме этого, в теории вероятностей варианты Р(АR) = 0 или Р(АQ) = 0 исключаются, так как ведут к неопределённости. Чтобы выйти из этой неопределённости, достаточно перейти к операциям с противоположными событиями. Очевидно, это надо иметь в виду при применении и анализе выражения (1.80).

Графическая интерпретация выражения (1.80) представлена на рис. 1.9, на котором совмещена «числовая плоскость» на осях случай-

ных величин R~ и Q , распределённых по функциям f(R) и f(Q), и плоскость системы вероятностных координат Р(R) – Р(Q).

42

Рис. 1.9. Зависимость Р(АS) =И1 – Р(ВS)

Единичная площадь квадрата в осях вероятностей состоит из двух основных участков: заштрихованногоДучастка отказов с площа-

дью, эквивалентной вероятности отказа системы Р(А ) = Р(А )Р(А ) =

А S R Q

=1 – Р(ВS), и соответствующего участка безотказности с площадью Р(ВS), частями которого являются участки условной вероятности

Р(ВQ/АR) = Р(BQ) и Р(ВR/AQб) = Р(ВR).

Точкой пересечения числовых координатных осей является число U, соответствующееипредельным значениям исходных параметров. Вероятностные коорд наты Р(ВR) и Р(ВQ) точки U характеризуют обеспеченностьСрасчётных значений исходных параметров. Если принять, что надёжность характер зуется вероятностью отклонения расчётного параметра от среднего значения, то длина отрезка U – U (U – число, соответствующее средним или нормативным значениям исходных параметров) в вероятностных координатах является характеристикой надёжности системы. Отсюда нетрудно получить выраже-

ние для надёжности конструкций при расчёте по предельному со-

стоянию P(U) 2 = [P(R) – P( R )]2 + [P(Q) – P(Q )]2.

Систему (1.77) можно также представить в виде структурной схемы с параллельным соединением элементов – событий, вероятности отказов которых равны Р(АR) и Р(АQ) (рис. 1.10). Надёжность такой системы также определяется уравнением (1.80).

Выражение (1.80) позволяет не только оценить надёжность (безотказность) конструктивной системы, рассчитанной по методу предельных состояний, но и по заданному значению надёжности решать

43

две группы задач. Во-первых, по предварительно принятым значениям расчётных нагрузок UQ и их обеспеченности Р(BQ) можно определить требуемую обеспеченность Р(ВR) расчётных значений несущей способности конструкции и тем самым принять более эффективное конструктивное решение и, во-вторых, по предварительно принятым значениям расчётных UR и вероятностных характеристиках Р(ВR) несущей способности можно уточнить срок службы конструкции по показателям временных нагрузок и воздействий.

Рис. 1.10. Структурная схема вероятностногоИусловия прочности

Пример 1.8. Проектная надёжность сооружения Р(ВS) = 0,999; обеспеченность расчётного значения U несущей способности Р(ВR) = 0,99865; коэффици-

ент вариации постоянной нагрузкиА, распределённойДпо нормальному закону, vQ = 0,05. Уточнить коэффициентбнадёжности по нагрузке.

Вероятность отказа по несущей способности Р(АR) = 1 – 0,99865 = 0,00135. Из выражения (1.80) определяем вероятность отказа по нагрузке Р(АQ) = (1 – 0,999)/0,00135 = 0,74. О еспеченность расчётного значения U постоянной нагрузки Р(BQ) = 1 – 0,74 = 0,26. По таблицам функции центрированного (относительно среднего значен я нагрузки) нормального распределения нахо-

принятых исходныхСданных можно принять в 1,15/1,035 = 1,11 раза больше.

Основные положения метода предельных состояний направлены на обеспечение безотказной работы конструкций с учётом изменчивости свойств материалов, нагрузок, воздействий, геометрических характеристик конструкций, условий работы и степени ответственности проектируемых объектов. Безотказность работы − это способность сохранять заданные эксплуатационные качества конструкции в течение определённого срока службы при любых возможных нагрузках и воздействиях. Это основное свойство, определяющее надёжность не только строительных конструкций, но

44

и зданий, сооружений в целом. При этом степень ответственности определяется материальным и социальным ущербом в результате нарушения работоспособности конструкций. Т.е. расчёт по предельным состояниям имеет целью обеспечить надёжность здания или сооружения в течение всего срока службы и при производстве работ.

Положительным качеством метода предельных состояний является отражение вероятностной природы основных расчётных факторов и возможность учёта их изменчивости. Приоритет в развитии и применении этого метода принадлежит российским специалистам, метод принят на вооружение многими международными организациями и обязателен для применения в разных странах. Определённое усовершенствование он получил в международном стандарте (ИСО) «Общие принципы проверки надёжности конструкцийИ».

не позволяет проектировать их с заданным уровнем надёжности и

Однако в существующем виде детерминированный метод предельных состояний не даёт чёткого ответаДо надёжности конструкций,

оценить качество проектного решения по этому критерию. Схема на-

значения коэффициентов надёжности, принятая в нормах, не вполне

правильно отвечает статистической природе расчётных величин и за-

частую приводит к неэкономичным решениям, в частности, при нали-

течением времени. Однако формулы метода предельных состояний не учитывают срок службы конструкций.

В настоящее время существуют две точки зрения. Во-первых, поскольку метод предельных состояний основан на полувероятностном подходе, а теория надёжности значительно продвинулась вперёд, для решения задачи надёжности необходимо перейти к принципиально новой методике проектирования. С другой стороны, такой подход позволяет инженеру-конструктору гарантировать безопасность и эксплуатационную пригодность конструкции с высокой вероятностью и поэтому полувероятностная основа имеет положительный характер, а реальный путь совершенствования метода предельных состояний заключается в уточнении и дифференциации коэффициентов надёжности.

45