1.7. Метод расчёта по разрушающим нагрузкам и условный коэффициент запаса

Единый коэффициент запаса использовали и в методе расчёта по разрушающим (предельным) нагрузкам. Структура условия прочности по этому методу практически не изменилась:

n k

где Qn − усилие от эксплуатационных (нормативных) нагрузок; Qразр − разрушающее усилие, которое является функцией несущей способности конструкции с учётом нелинейных свойств материалов и резервов системы за счёт перераспределения внутренних усилий.

вменьшей степени на оценку нагрузочногоИэффекта Q. В новом методе расчёта в определённой степениДпроизошла переориентация в оценке значимости исходных данных и особенно их изменчивости. Расчётные значения пределовАпрочности материалов принимались равными среднестатистическим значениям, а расчётные нагрузки устанавливались путём умножениябэксплуатационных нагрузок на нормируемые коэффициенты запаса, дифференцированные от 1,6 до 2,2,

взависимости от соотношенийи несущей способности и воздействий. Например, нормируемый коэффициент запаса прочности нормальных сечений железобетонныхС конструкций имел два значения: 1,8 и 2.

По мнению В.Д. Райзера [51], коэффициент запаса k в условии (1.35) является, в сущности, функцией нормативных значений нагрузки и несущей способности: n

Qn

Детерминированную величину kn В.В. Болотин назвал условным коэффициентом запаса, не являющимся случайной величиной, а выражение (1.36) − «классическим условием прочности» [8].

n kn

Математические ожидания нагрузки и несущей способности в выражении (1.15) и нормативные значения в формуле (1.36) являются детерминированными величинами. Но нормативные значения параметров, в том числе и коэффициента запаса kn, в отличие от матем а-

25

тических ожиданий должны быть установлены с учётом случайных изменений. Выразим нормативные значения нагрузки и несущей способности через математические ожидания в виде

где µQ и µR – число стандартов, характеризующих обеспеченность

нормативных значений Qn и Rn.

Подставляя выражения (1.38) в (1.36) и учитывая формулу (1.15), получим зависимость коэффициентов запаса kn и k в следую-

конструкций, которая получила отражение в идее случайной величи-

где х − конечное число случайных независимых параметров, характеризующих прочность матер ала R~(x) и внешнюю нагрузку Q(x) .

Формулы (1.40) и (1.41) представляют собой основу простейшей вероятностной модели расчёта конструкций. Применительно к зада-

чам прочности А.Р. Ржаницын назвал величину PQ(k < 1) вероятностью разрушения, удобную для вероятностных расчётов, когда нагрузка и прочность подчиняются несимметричным законам распределения, отличающимся от нормального закона. Имеются решения по её определению для различных случаев распределений нагрузки и прочности.

26

В практических расчётах полезными могут быть соотношения между вероятностью безотказности (надёжностью) PR = 1 − PQ, средним значением коэффициента запаса k и коэффициентом вариации vk:

Формула (1.43) даёт точную оценку нижнего предела значения k, при котором гарантируется, что вероятность нахождения

В работе [24] получена также формула для приближённой оцен-

В табл. 1.2 приведены результаты анализа приближённых оценок коэффициента вариации vk, полученных разными способами.

Наибольшая погрешность получается при больших значениях k и ап-

27

проксимации 1-го порядка и соответствует точности оценки, определённой по приближённым формулам.

Погрешность оценки по формуле (1.45) почти на 5% меньше, чем по формуле (1.44).

допускает значительные погрешности. Разложение функции вокруг точки x = x в ряд Тэйлора до первых трёх членов имеет вид

значение N = 10 кН и стандартное отклонение и sN = 1 кН. Среднее значение

площади поперечного сечения стержня А = 5 см2 и стандартное отклонение случайной величины А составляет sА = 0,4 см2. Найти среднее значение и стандарт-

ное отклонение растягивающего напряжения σt, которое задаётся выражением

~σt = f (N, A)= N~A.

Среднее значение σt ≈ N/ А = 10/5 = 2 кН/см2 = 20 МПа. Дифференцируя функцию f (N, A), получаем ∂f/∂N = 1/A и ∂f/∂А = -N/A2. Следовательно, диспер-

сия sσ2 ≈ (∂f/∂N)2sN2+ (∂f/∂А)2sА2 = (1/5)212 + (-10/52)20,42 = 0,0656 кН2/см4 и sσ = =2,56 МПа. Без учёта изменчивости площади сечения sσ = 1/5 = 2 МПа.

28