где αQ = sQ sQ2 + sR2 ; αR = sR sQ2 + sR2 .

Следует отметить, что характеристика безопасности в виде

индекса безопасности β обладает рядом недостатков, наиболее существенный из которых − возможность достаточно точной оценки надёжности только для ограниченного круга прочностных задач при

линейной зависимости R~ и Q~ и зависимости от математической

формулировки предельного состояния. Данный подход применялся при исследовании надёжности в 60 − 70-х гг. прошлого века в связи с переработкой норм в некоторых странах.

Более широкий круг задач, в том числе с нелинейным уравнени-

значительно упрост ть расчёт,Ано иногда противоречит положениям

теории вероятностей. Следует отметить, что наличие функциональной связи R и Q ещё не означает, что эти величины имеют вероятност-

ную зависимость. Оценить вероятностную зависимость R~ и Q~ поэтому не всегда представляется возможным, но если удаётся установить

В общем случае степень тесноты вероятностной связи характеризуется коэффициентом корреляции −1 ≤ ρ ≤ 1 или корреляционным

21

моментом KRQ = ρsRsQ [16]. Подставив ρ = ±1 в выражение (1.26) и преобразуя, получим характеристику безопасности, которая в отличие от формулы (1.17) значительно изменяет вероятность отказа (разрушения):

Положительная корреляционная связь нагрузки с прочностью ρ = 1 может иметь место, когда при возрастании несущей способности R~ имеют тенденцию возрастать и предельные нагрузки Q . При этом из формулы (1.27) следует, что с ростом зависимости R~ и Q увеличивается характеристика безопасности β, т.е. пренебрежение

принимается большая нагрузка. При этом пренебрежение корреляцией ведёт к завышенной оценке надёжности.

Для оценки коэффициента корреляции используют выражение

Таким образом, корреляционный момент и коэффициент корреляции ρ зависит от степени вероятности отказа и величины характе-

ристики безопасности β. Поэтому при определении β в первом приближении целесообразно использовать выражение (1.17) и затем, при необходимости, уточнять его по формуле (1.27).

Учёт корреляционной зависимости необходим, в частности, в расчётных ситуациях, когда одна из случайных величин R~ или Q

22

рассматривается как ограничение, например, в виде минимальной прочности или максимальной нагрузки. Положительная корреляция проявляется также в конструктивных системах с параллельно соединёнными элементами в процессе известного явления перераспределения усилий. Предположим, что система состоит из n одинаковых эле-

ментов. Если случайная прочность каждого элемента R~n независима от действующей на него нагрузки Qn, то характеристика его безо-

пасности определяется из формулы (1.17), так как стандартные отклонения также уменьшаются в n раз. Ещё проще это доказывается неизменностью формулы (1.17), оперирующей относительными величинами. Однако в результате перераспределения нагрузки проявляется корреляционная связь её с прочностью элементов, имеющая поло-

жительный характер, так как обычно на более прочный (жёсткий)

элемент действует и повышенная нагрузка. Для оценки характеристи-

ки безопасности конструктивных элементов в процессе перераспределения можно воспользоваться выражением (1.27) при ρ = 1. Преобразуя это выражение, получим

в пределах конкретнойиконструктивной системы. При нормальном законе распределения прочности и малых значениях коэффициента

вариации vR С< 0,2 перераспределения нагрузки можно считать

неопасными, так как характеристика безопасности β > 5 и вероятность разрушения крайне мала.

взаимно коррелированными, то смешанная дисперсия (ковариация) случайных величин y и z определяется по формуле

23

Пример 1.5. Внецентренно сжатая стойка нагружена стохастически независимыми нагрузкамиN~1 иN~2 с эксцентриситетами a1 = 0,1 м и a1 = 0,2 м. Средние

значения и стандартные отклонения нормальных сил: N1 = 40 кН и N2 = 100 кН; sN1 = 5 кН и s N2 = 10 кН. Определить ковариацию нормальных сил и моментов в наиболее напряжённом сечении стойки.

Из уравнений равновесия найдём средние значения суммы нормальных сил N = N1 + N2 = 40 + 100 = 140 кН и изгибающих моментов M = M1 + M2 =

примера 1.5, применён стальной двутавр №20 с характеристиками сечения: пло-

β = 2,466, т.е. вероятность отказа PQ = 1 – 0,9931 = 0,0069 окажется значительно заниженной.

24