При операции с несколькими случайными величинами, их системами или функциями учитывается не только их функциональная, но и вероятностная или стохастическая зависимость. Считается, что функциональная зависимость является проявлением наиболее тесной вероятностной зависимости [11]. Необходимое и достаточное условие

Для описания функций зависимых случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих необходимо знать одну из характеристик связи, корреляционный момент (кова-

При линейной зависимости ρxy = ±1. В более сложных случаях имеет

место нелинейная и множественная корреляции. Для независимых величин Kxy = 0. Важное свойствоАраспределения суммы независимых

случайных величин: дисперсия суммы равна сумме дисперсий. Теория надёжностибпозволяет достаточно точно учесть случай-

ный характер нагрузок, свойств материалов и геометрических характеристик конструкций.

При расчётеСконструкц й на надёжность приходится иметь дело с непрерывно меняющ м ся параметрами времени, повторения нагрузки и т.д. Тогда вместо случайных величин производятся операции со случайными функциями. Если аргументом случайной функции является время, то функции называют случайным процессом.

1.3. Особенности нормального закона распределения

Нормальный закон распределения (распределение Гаусса), графические особенности которого показаны на рис. 1.3, имеет особое значение в теории надёжности строительных конструкций. Большинство задач может быть решено достаточно просто, если исходные переменные имеют нормальное распределение.

12

где k ≥ 1 − коэффициент запаса прочности.

Для вычисления напряжений нагрузочного эффекта σmax применяли простые линейные функции теории упругости (например,

σmax = M/W), связывающие внешние усилия (например, изгибающий момент M) от эксплуатационных (нормативных) нагрузок и геометрические характеристики сечений (например, момент сопротивления сечения W). Тем самым коэффициент запаса k

определялся отношением среднего сопротивления к величине σmax. Сопротивления бетона и арматуры железобетонных конструкций значительно различаются, поэтому применяли два коэффициента

запаса прочности, которые в общем случае не были равны друг другу

принимали равными соответственноА1250 иИ1600 кгс/см2 . Результаты конструктивного расчёта, выполненного по

и должны были быть не меньше нормируемых величин. Так, по

нормам 1934 г., для бетона марок R = 110 кгс/см2 и R = 170 кгс/см2 допускаемые напряжения составлялиДсоответственно 50 и 70 кгс/см2.

Для арматуры сталей Ст.3 и Ст.5 допускаемые напряжения

нормируемых вел ч н k = 1,6… 2,2 в зависимости от вида нагрузок).

допускаемым напряжениям, часто значительно отличались от опытных значений (напримерб, для железобетонных конструкций фактический коэффициентизапаса составлял k = 2,2… 3 против

Одна из пр ч н расхождений заключалась в том, что

допускаемые напряжен я в конструкции принимали по средним или

близким к ним значениям прочности материала при условии его

работы в упругой стадии. Вероятность изменения нагрузок,

случайных величин и событий, характеризующих перечисленные факторы, были ещё мало изучены.

Заменим в условии (1.14) допускаемое напряжение [σ] на среднее значение (математическое ожидание) несущей способности R (как функции прочностных характеристик конструкции), а напряжение σmax − на среднее значение усилия от внешней (эксплуатационной) нагрузки Q, от действия которой возникает это напряжение. Запишем выражение для коэффициента запаса классического метода расчёта в виде, удобном для последующего анализа:

15

Детерминированную величину отношения математических ожиданий прочности и нагрузки называют статистическим [16] или общим коэффициентом запаса, не являющимся случайной величиной [55]. В сущности, оценить надёжность конструкции только по вели-

чине математического ожидания коэффициента запаса k без учёта вероятностной природы нагрузок и прочностных свойств материалов невозможно.

Метод расчёта по допускаемым напряжениям имеет в основном историческое значение, несмотря на то, что ещё применяется в ряде стран, так как представляет собой простое практическое средство,

чтобы гарантировать достаточно малую вероятность отказа. Недостатки классического метода устранялись постепенно, в течение длительного времени после обнаружения и исследования закономерностей в изменчивости не только физических свойств материалов, но и внешних воздействий.

ного эффекта, имеющие одинаковые размерности.

Основными вероятностными характеристиками этой функции являются математическое ожидание S = R −Q и дисперсия

sS2 = sR2 + sQ2 (при отсутствии корреляционной связи между нагрузкой

и несущей способностью). Величину β, обратную коэффициенту вариации функции (1.16) vS = sS S , А.Р. Ржаницын назвал характери-

стикой безопасности (рис. 1.4), которая при распределении исходных данных по нормальному закону определяется по формуле [55]

16

f(S)

Рис. 1.4. Плотность распределения случайной величины S~

Вероятность отказа (риск) или вероятность отрицательного зна-

стью случайнойСвеличины S~ . Метод оценки надежности посредством коэффициента β получил название метода двух моментов, поскольку

Индекс безопасности β является стандартизированной вероятно-

для его определения используются по две характеристики случайных величин R~ и Q~ .

В табл. 1.1 приведены некоторые значения β и соответствующие

им значения функции Ф*(β = u), которые можно использовать в расчётах на безопасность.

17

Из формулы (1.20) видно, что k зависит от вероятностных характеристик нагрузки и прочности, а также от численного значения

коэффициента β, характеризующего гауссовский уровень надёжности. Чем больше характеристика безопасности β, тем меньше вероятность

k = 2,76. Такому же значению коэффициента k соответствует

запаса может соответствовать разным уровням надёжности конструкций. Это означает, что статистический коэффициент запаса

Плотность распределения вероятностей случайной величины S (1.19) определяется как для функции двух независимых случайных

(S + Q).

Практически при лю ых законах распределения независимых

Имеется такжеизав с мость между характеристиками безопасности β и обеспеченности или дальности расчётных значений несу-

величин R~ и Q в качестве характеристики надёжности конструкции

щей способности и нагрузки βR и βQ. Для получения этой зависимости и ответа на вопрос, в какой мере выбор расчётных величин определяет надёжность, воспользуемся следующим приёмом [54].

расчётные значения которых будут единичными, т.е. r = q = 1, а к о- эффициенты вариации и дальности расчётных значений в силу своей

относительности − тождественными: vR = vr; vQ = vq; βR = βr; βQ = βq. Надёжность Pr (r > q) при нормальном распределении всех случайных

величин соответствует вероятности безотказной работы 1 − Pq , где Pq

19

Аналогичное выражение получено в работе [22] при описании случайных величин логнормальным законом. При этом случайные исходные величины рассматривались в виде ln ~r и ln q~ . Следует от-

метить, что при аппроксимации эмпирических распределений теоретическими, как правило, конкурентоспособными оказываются не-

териев, по которым можно бы было выбиратьИодин наиболее подходящий закон, нет. В математической статистике есть лишь критерии,

сколько законов распределения и из них выбирается тот, который

удобнее для решения задачи. Т.е. распределение одной и той же слу-

чайной величины в различных задачах может быть аппроксимировано

различными законами. Это совершенно естественно, поскольку кри-

что надёжность зависит не только от обеспеченности расчётных значений параметров, но и отношения характеристик изменчивости прочности и нагрузки.

Имеются предложения о нормировании характеристики безо-

пасности β, связь которой с расчётными значениями можно представить в следующем виде:

20