4.2. Вероятностная оценка прочности железобетонных элементов по нормальным сечениям при изгибе

Закон распределения несущей способности M~ сечений изгибаемых конструкций, выполненных из однородного материала, обычно соответствуют закону распределения прочности данного материала f (R), так как их взаимосвязь описывается простыми линейными

зависимостями вида M~ = kR~ . Характеристики случайной величины R~

и соответственно функции M~ легко получить опытным путём, если пренебречь изменчивостью размеров сечений.

Несущая способность железобетонных конструкций характери-

зуется изменчивостью нескольких сложно взаимодействующих эле-

вероятностного расчёта. В таких случаяхИособую важность имеют теоретические методы расчёта надёжности, в частности, метод двух моментов (здесь момент − числовая характеристика случайной вели-

ментов. Из-за разнообразия взаимодействия затрудняется экспери-

ментальная оценка случайной величины несущей способности M~ же-

чины или функции). Практическая Дценность метода заключается в том, что первые два момента, т.е. математическое ожидание x и стан-

лезобетонных конструкций, а также точность оценки надёжности и

мени. Метод хорошо согласуетсябс принятым в отечественных нормах методом расчёта по предельным состояниям и особенно эффективен

клонных сечений. Для оценки прочности нормальных сечений по методу предельных состояний используют два основных уравнения, полученных из статических условий равновесия. Во-первых, значения изгибающих моментов всех внутренних сил относительно центров тяжести растянутой и сжатой зон сечения определяют из тождественных уравнений, которые представим в следующем виде

где Rb и Rs − расчётные сопротивления бетона сжатой зоны и растянутой арматуры; f1(ξ) и f2(ξ)− функции, характеризуемые размерами се-

189

чения, сжатой зоны бетона и степенью армирования; ξ − относительная высота сжатой зоны.

Для конструкций прямоугольного сечения шириной b, рабочей высотой h0 и с коэффициентом армирования µ (при одиночном армировании) функции f(ξ) имеют вид

а их характеристики (математическое ожиданиеИи дисперсия) легко получаются из нормативных данных. В практических расчётах веро-

ными. Обычно при построении вероятностных зависимостей этим условием пренебрегают, что приводит часто к неверным выводам. Как правило, выражения (4.15) рассматривают в виде функции случайных

аргументов R~b или R~s , распределения которых близки к нормальным,

(изменчивостью геометрических размеров зачастую можно пренебречь) случайных величин-аргументов. В этом случае о моменте Mb

судят по свойствам случайных величин R~b и ξ = µR~s R~b , а о величине M~ s − по характеристикам R~s и ξ. Такой подход эффективен, когда законы распределения случайных аргументов, в том числе и ξ , известны. Однако точное выражение дисперсии случайной величины ξ

для общего случая получить невозможно, поэтому расчёт сводится к численному интегрированию сложных функций, т.е. также практически становится приближённым [58]. Наиболее распространена приближённая модель с использованием линеаризации расчётных фор-

190

мул и разложения их в ряд Тэйлора. Такой приём использован во многих отечественных и зарубежных исследованиях [57, 64, 73].

Возможен другой подход, упрощающий расчёт и позволяющий избежать каких-либо противоречий. Рассмотрим выражения моментов (4.15) как случайные функции, для которых возможны реализации

двух видов в зависимости от случайного аргумента ξ: при ξ≤ ξR и ξ> ξR. Согласно теории случайных функций, каждая реализация M~b и M~ s есть обычная функция неслучайного аргумента ξ1, которая при фиксированном значении является случайной величиной с числовыми характеристиками, эквивалентными характеристикам R~b и R~s . Исхо-

дя из этого, подставим выражение (4.18) в уравнения (4.15) и, пренебрегая изменчивостью геометрических параметров и армирования сечения, получим простые линейные зависимости несущей способности

Тождественность M~b и M~ s обеспечивается также учётом корреляции или зависимости случайных величин R~b и R~s в рамках нор-

мального сечения. Обычно эти величины считают независимыми, однако в расчётном сечении в явном виде прослеживается их линейная взаимосвязь, которая описывается вторым статическим условием рав-

191

новесия (4.17) нормальных сил. В вероятностном виде это условие можно представить как ξR~b = µR~s или N~ = ξRb −µ~R~s = 0 .

Учитывая нормальное распределение исходных случайных переменных R~b и R~s , вероятностную оценку условия (4.17) можно по-

лучить при известных математических ожиданиях Rb, Rs и стандартных отклонениях sb, ss методом двух моментов через характеристику

безопасности β:

ент корреляции ρ = 1 и из выражения (4.23) получается простая зависимость для вероятностной оценки условия прочности

Аналогичное решение можно получить также для граничных значений ξR с целью обеспечения в прочностном расчёте условия

ξ1 ≤ ξR. Для этого можно воспользоваться эмпирической зависимостью, приведённой в работе [58]:

192

Учитывая, что изменчивость случайных величин в формуле (4.26) характеризуется стандартами ξRss и 9,6sb (в МПа), в качестве характеристики обеспеченности расчётного значения ξR также используем параметр β.

В то же время для определения ξR применяется следующая эмпирическая зависимость:

где εs,el = Rs/Es и εb,ult = 0,0035.

ных значений ξ в приграничной зоне. Например, при учёте условия

тонного элемента рекомендуется следующий алгоритм:

1)по средним значениям Rb и Rs из формулы (4.26) или по расчётным значениям Rb и Rs из формулы (4.27) определяется ξR ;

2)по средним значениям Rb и Rs из формулы (4.17) вычисляет-

ся ξ;

3)по формуле (4.21) определяется в первом приближении ξ = ξ1;

4)по формулам (4.25) и (4.24) определяются β, P и PR;

5)по формуле (4.28) уточняется значение ξ;

6)по формуле (4.22) определяется vM;

193

7) по средним значениям параметров из формул (4.15) и (4.16)

вычисляется М и, если необходимо, sМ.

Для сравнения выполнен расчёт характерного примера по данным работы [58] при различных значениях коэффициента армирова-

ния µ: b = 0,2 м; h0 = 0,385 м; Rb = 13,5 МПа; Rs = 375 МПа;Rb = 29,2 МПа; sb = 3,94 МПа; Rs = 446 МПа; ss = 28,81 МПа.

По формуле (4.22) определено граничное значение относительной высоты сжатой зоны бетона ξR = 0,596, которое принимаем по-

стоянным при любых значениях β.

При расчётных сопротивлениях Rb и Rs определены расчётные значения Мп метода предельных состояний. Характеристика безопасности для вероятностной оценки метода предельных состояний рас-

мул (4.24) и (4.25) (в знаменателе− по работе [58]), приведены в табл. 4.2.

М = 348 кН м и sМ = 30,9 кН м.

Можно отметить хорошее совпадение результатов расчёта ос-

новных вероятностных характеристик М и sМ (рис. 4.2). Несовпадение результатов расчёта расчётного усилия Мп при

больших значениях µ (в области ξ ≥ ξR) объясняется различным подходом к определению ξR. По сравнению с результатами работы [58]

(сплошная линия) графическая зависимость sМ – µ получилась более чёткой.

194

Сбор постоянных нагрузок на покрытие

Принимаем g = ∑gni = 3,75 кПа. Согласно разделу 2.2, определяем весо-

вые коэффициенты α1 = 2,5/3,75 = 0,66; α2 = 0,25/3,75 = 0,07; α3 = 0,4/3,75 = 0,11;

α4 = 0,6/3,75 = 0,16. В зависимости от коэффициента надёжности по нагрузке принимаем коэффициенты вариации по табл. 2.6. Для плит покрытия v1 = 0,033, для прочих нагрузок vi = 0,1. Из формулы (2.9) вычисляем коэффициент вариации для постоянной нагрузки vg = 0,03 и стандартное отклонение sg = 0,11 кПа.

Суммарная расчётная нагрузка составляет g0 = 1,8 + 4,375 = 6,175 кПа. По-

M < Rbbf′hf′(h0 − 0,5hf′) = 137 кН м, то граница сжатой зоны проходит в полке с

сжатию Pb = 0,9985 при β = (1 − Rb/ Rb)/vb = 2,971. По табл. 3.1 определяем ха-

sM = 5,28 кН м. Этим значениям несущей способности эквивалентна равномерно распределённая нагрузка qM = 8 M/bплl02 = 9,31 кПа и sqM = 0,84 кПа.

Если As = 2,77 см2, то M = RsAsh0(1 − 0,5 ξ) = 52,82 кН м и обеспеченность расчётного значения несущей способности PM = 0,9982 при

196

β = (1 − M/M)/vM = 2,918, что соответствует обеспеченности расчётных сопротивлений материалов.

Так как распределения случайных величин нагрузок и несущей способности плиты аппроксимированы нормальным законом, надёжность плиты опреде-

безотказной работы PR = 0,9999.

Выполненный расчёт является приближённым, так как снеговая нагрузка распределяется не по нормальному закону. Используя метод Б. Снарскиса [59], реализованный в отчёте [50], можно уточнить вероятность безотказной работы

плиты. Метод заключается в поиске минимального значения β путём последовательного приближения. В первом приближении задаются значением снеговой нагрузки S = 1,8 + 3,94 0,44 = 3,53 кПа и определяют дальность отказа величин,

вероятности безотказной работы несколько завышает надёжность плиты. Пример 4.2. Определ ть вероятность отказа сборной железобетонной

плиты по серии 1.465.1-7/84 в плоском совмещённом покрытии здания, запроектированного до 2003 г., при действии постоянной и снеговой нагрузок и следующих исходных данных: район строительства г. Омск; класс арматурной стали А 600; ширина плиты bпл = 1,5 м, толщина полки hп = 3 см, толщина рёбер b = 16 см; высота плиты h = 30 см; расстояние от центра тяжести арматуры As до крайнего растянутого волокна a = 3 см.

Структура покрытия: плита, пароизоляция из слоя рубероида, утеплитель толщиной 20 см из минераловатных плит плотностью 200 кг/м3, керамзитовая засыпка для разуклонки кровли средней толщиной 10 см из керамзита плотностью 600 кг/м3 и четырёхслойная рубероидная кровля.

Как и в предыдущем примере, рассматриваем снеговую нагрузку в районе г. Омска. Среднее значение ежегодных максимумов составляет S1 = 0,7 кПа, среднее максимальное значение 25-летних периодов S25 = 1,8 МПа и стандартное отклонение sS = 0,44 кПа. Эти параметры используются при аппроксимации распределения снеговой нагрузки нормальным законом.

197

Постоянную нагрузку считаем распределённой по нормальному закону с

sg − стандарт суммарной постоянной нагрузки.

Сбор постоянных нагрузок на покрытие

Принимаем g = ∑gni = 2,95 кПа. Согласно разделу 4, определяем весовые коэффициенты α1 = 1,7/2,95 = 0,58; α2 = 0,25/2,95 = 0,08; α3 = 0,4/2,95 = 0,14;

Rbbf′hf′ = 38,25 < RsAs = 115,26 кН, то граница сжатой зоны проходит в полке. Определяем коэффициенты ξ = RsAs/Rbbf′h0 = 0,033 и αm = 0,033. Расчётная несущая способность плиты по прочности нормальных сечений

MR = αmRbbf′h02 = 30,67 кН м > 29,21 кН м.

По табл. 3.5 при vb = 0,135 определяем характеристики прочности бетона: Rb = 14,08 МПа; sb = 1,9 МПа. По табл. 3.1 определяем характеристики прочности арматурной стали: Rs = 690 МПа, vs = 0,09 и ss = 62 МПа. Коэффициент ар-

198

ты MMR = RsAsh0(1 − 0,5 ξ) = 41,54 кН м и sMR = 3,74 кН м. Этим значениям несущей способности эквивалентна равномерно распределённая нагрузка

qR = 8 MR/bпл l02 = 6,36 кПа и sR = 0,57 кПа.

Надёжность плиты определяем по формулам (1.17) − (1.18). При снеговой нагрузке S = 0,7 кПа β = ( qR − S − g )/ sR2 +sS2 +sg2 = (6,36 − 0,7 − 2,95)/(0,572 +

+ 0,442 + 0,0952)1/2 = 3,73, что соответствует вероятности безотказной работы PR = 0,9999. Для несущих конструкций сооружений II уровня ответственности считается достаточной надёжность PR = 0,995. При расчётной снеговой

нагрузке S = 1,8 кПа дальность отказа β = (6,36 − 1,8 − 2,95)/0,726 = 2,218, что соответствует вероятности безотказной работы PR = 0,9867 < 0,995, т.е. надёжность запроектированных плит покрытия при увеличенной снеговой нагрузке недостаточна.

Используя для анализа надёжности опытные значения С = 1,67 и vC = 0,16

грузку уменьшается PR = 0,9996 (β = 3,333), а с увеличением снеговой нагрузки

становится недостаточной PR = 0,993 < 0,995 (β = 2,446).

Уточним вероятность безотказной работы плиты, полученную в послед-

= (7,85 – 2,76 − 2,95)/1,259 = 1,7. Вероятность реализации приближённого значения S = 2,76 кПа вычисляется при u = 0,5 + 0,34ln25 = 1,59 кПа из формулы

значение β = (βs2С+ βn2)1/2 = (1,862 + 1,72)1/2 = 2,52 или S = 2,52 кПа. Затем опять определяется дальность отказа величин, распределённых по нормальному зако-

ну, βn = (7,85 – 2,52 − 2,95)/1,259 = 1,89 и β = (1,862 + 1,892)1/2 = 2,65 > 2.52. Уточ-

няем еще раз βn = (7,85 – 2,65 − 2,95)/1,259 = 1,89 и β = (1,862 + 1,892)1/2 = 2,65.

Процесс итерации заканчивается, так как стало известным минимальное значение β = 2,52. Этому значению соответствует PR = 0,9949 < 0,995. Как видим, приближённое значение вероятности безотказной работы незначительно отличается от уточнённого значения.

199