1.2. Применение теории вероятностей для учета изменчивости

Случайные параметры характеризуются вероятностными свойствами и не могут быть определены одним значением. Если они не изменяются во времени, то считаются случайными величинами или функциями одного или нескольких параметров, при изменении во времени – случайными процессами.

Случайные величины x при испытании обычно принимают дискретные значения xi и представляются как множества, однако в теоретических расчётах иногда удобнее рассматривать их в виде н е- прерывных функций F(x). С другой стороны, случайные непрерывные

величины могут принимать любые конкретные значения из некоторого конечного или бесконечного интервала, например, продолжительность работы конструкции под нагрузкой. Все возможные значения случайной величины составляют генеральную совокупность.

чайной величины является функция или законИраспределения, устанавливающий связь между возможными значениями величины и со-

Универсальной и иногда исчерпывающей характеристикой слу-

пример, опытных значен й прочности материала удобно задавать в виде таблицы − ряда распределения, в которой перечислены возможные значения xi и соответствующие им вероятности pi = P( x = xi). Зная ряд распределения, можно построить дискретную функцию распреде-

ления F(x) случайной величины x или случайного события x < x. Непрерывную функцию удобнее всего рассматривать в виде

−∞

Функцию F(x) называют интегральной функцией (законом) распределения вероятностей и поэтому часто обозначают как P(x). Геометрически она характеризуется площадью кривой f(x) или p(x), назы-

8

ваемой плотностью распределения вероятностей и являющейся производной от F(x).

Для всякого интегрального распределения можно построить функцию F-1(x), обратную зависимости F(x). В этой функции каждая реализация x случайной величины является квантилем (аргументом) вероятности P(x).

Важным условием плотности распределения является равенство площади под кривой f(x) единице. При интегрировании в бесконечных пределах это условие выражается в виде

Так как прямое вычисление интеграла (1.3) зачастую невозможно, вместо функции распределения используют числовые характеристики (параметры) случайной величины, с помощью которых даётся приближённое описание случайной величины или замена одного распределения другим. Для генеральной совокупности они называются генеральными статистиками.

Основными числовыми характеристиками являются параметры положения центра распределения: среднее арифметическое значение (математическое ожидание) x , мода (значение случайной величины, которой соответствует наибольшая плотность вероятности распределения) и медиана (абсцисса точки, которая делит площадь кривой распределения пополам). Для симметричных распределений среднее

9

значение, мода и медиана совпадают. Не меньшее значение имеют характеристики, называемые начальными и центральными моментами: математическое ожидание центрированной случайной величины

x − x ; характеристики рассеивания (разброса) − дисперсия sx2 , среднеквадратическое отклонение от центра (стандарт) sx и коэффициент

вариации vx ; характеристика асимметрии (скошенность) в виде коэф-

фициента асимметрии и характеристика крутости (островершинность) − эксцесс.

Кроме генеральных статистик существуют выборочные (эмпирические) статистики, которыми пользуются инженеры, выполняя практические расчёты конструкций на надёжность. Множество значе-

ний случайной величины, полученное в последовательности n экспериментов, называют случайной выборкой илиИпросто выборкой. О па-

стью. Желательно также, чтобы статистики выборки были несмещён-

раметрах генеральной совокупности зачастую судят по выборкам, если их статистики (статистические оценкиД) обладают состоятельно-

ными и эффективными. Статистику называют состоятельной, если

нице, она приближается к параметруАгенеральной совокупности. Статистика является несмещённойи , если её математическое ожидание

она подчиняется закону больших чисел, когда при достаточно большом числе независимых наблюденийб с вероятностью, близкой к еди-

равняется оцениваемому параметру распределения. Этим гарантируется отсутствиеСс стемат ческ х ошибок при оценке параметров ге-

неральной совокупности. Несмещённая статистика является эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных статистик, вычисленных по выборкам одного и того же объёма. Выборочные статистики случайной величины вычисляются методами моментов, максимального правдоподобия или наименьших квадратов.

В практических расчётах для каждой случайной величины зачастую достаточно знать численные значения двух характеристик (метод

10

дисперсии

∞

sx2 = ∫(x − x)2 f (x)dx , (1.6)

−∞

стандарта sx или коэффициента вариации vx = sx / x .

Пример 1.1. Имеется выборка n = 6 опытных значений несущей способности свай: Fd = {300, 320, 280, 350, 360, 310} кН. Найти среднее значение Fd, стандартное отклонение sF и коэффициент вариации vF .

Среднее арифметическое значение Fd = ∑Fd/n = 320 кН; отклонения от среднего значения ∆ = {-20, 0, -40, 30, 40, 10}; квадраты отклонений ∆2 = {400, 0,

Существует относительно небольшое число законов распределений, имеющих свои особенности и применимых в различных ситуациях. Важнейшими дискретными распределениями являются биноминальное и пуассоновское. К наиболее распространённым непрерывным распределениям относят нормальное (гауссовское), логариф-

Рис. 1.2. Кривые плотности распределений: 1 – нормального; 2 – логнормального; 3 – показательного; 4 – по законам Вейбулла; 5 – Гумбеля

11