1984

Далее необходимо найти такое значение параметра , при котором определитель обратится в нуль. Параметр изменяется в пределах (0 2 ).

Задаем значения, близкие к среднему, 2 3. Определяем функции учета продольных сил согласно прил. 2. Данные приведены в табл. 1.

Построим график зависимости D от методом линейной интерполяции (рис. 8). Находим , близкое к фактическому. При2,42 определитель (3) превращается в ноль.

D

0,2497

0,42

2 3

0,2906

Рис. 8

Таким образом, критическая сила будет равна:

10

Пример №3. Рама с шарнирным закреплением ригеля

На рис. 9 показана рама с двумя сжатыми стойками. Найдем критические силы при заданных размерах и жесткостях элементов.

Рис. 9

Основная система изображена на рис. 10.

F2=1,5F

F1=F

Рис. 10

На рис. 11 и рис. 12 представлены единичные эпюры моментов

от поворотов жестких узлов рамы на Z1 1 и Z2 1.

11

3

Рис. 11

Рис. 12

Критические силы для каждой стойки будут различны, следовательно, критические параметры (с учетом коэффициента приведения) соответственно равны:

Уравнение устойчивости запишем в следующем виде:

0;

1 2 2 2,75

2 2 2 2 2,75 1 0;

12

Решение такого уравнения следует проводить путем подбора. Прежде следует задаться начальным параметром . Подставим значения функций в уравнение (4) и определим в каких пределах его можно изменять. Обе стойки рамы находятся в таких условиях, что их верхние концы не могут смещаться горизонтально, но упруго поворачиваются в узлах. Следовательно, критические силы стоек будут близки к критической силе прямолинейного стержня с задел-

кой обоих концов. Критический параметр в этом случае 2 . Первоначально примем значение критического параметра в

пределах 5 6. Согласно табл. 2 имеем два значения функций Таблица 2

Построим график зависимости D от и методом линейной интерполяции (рис. 13) находим . При 5,32 уравнение (4) обращается в ноль.

Рис. 13

Следовательно, критические силы равны:

13

Пример № 4. Трехстоечная рама с загружением в шарнирных

узлах

Рассмотрим пример определения критических сил для рамы, представленной на рис. 14. Основная система изображена на рис. 15.

Z2

Критические параметры для каждой стойки равны:

Эпюры единичных моментов изображены на рис. 16 и 17. Коэффициенты уравнения устойчивости:

r11 EJ 1,5 1 1,5 4EJ ;r12 r21 0,375EJ ;

r22 EJ 0,375 1 0,1875 0,1875 1 .

Рис. 17

Уравнение устойчивости запишем в следующем виде:

4 0,375

0.

0,375 0,5625 1 0,1875

Раскрытие его приводит к простому уравнению:

Пример № 5. Трехстоечная рама с загружением

центральной и крайней стоек

На рис. 18 изображена рама с двумя сжатыми стойками с заданными размерами и жесткостями элементов. Основная система дана на рис. 19.

15

Рис. 18

Рис. 19

Единичные эпюры моментов от поворота жесткого узла на

Z1 1 и линейного смещения узлов ригеля на Z2 1 показаны на рис. 20 и 21.

2

3

Рис. 20 16

3, считая их изменяющимися по линейной зависимости (см.

рис. 22).

Сближая постепенно границы между 2,3 2,4, получим искомую величину 2,35, при которой определитель D 0.

D

Рис. 22

Таким образом, критические силы равны:

18

Пример № 6. Рама с двумя крайними шарнирами

На рис. 23 изображена рама с двумя сжатыми крайними стойками, верхние концы которых шарнирные.

Возможен случай, когда стойки будут выпучиваться, а средняя стойка остается недеформированной. В этом случае критическая сила будет равна:

Возможен также другой вид деформированного состояния, показанный пунктиром на рис. 23. Основная система представлена на рис. 24.

Рис. 23

Рис. 24

По единичным эпюрам изгибающих моментов M1 (рис. 25) и M2 (рис. 26) находим:

19