1931

Эквивалентность схем в виде треугольника и звезды получается приравниванием значений сопротивлений и проводимостей между одноимёнными узлами этих схем, отсоединённых от остальной части цепи.

Рис. 1.4

При преобразовании треугольника в звезду используют формулы

Возможно обратное преобразование звезды в эквивалентный треугольник. Сопротивления ветви треугольника при таком преобразовании вычисляются следующим образом:

R1 Rbd Rb Rd RbRd ; Rc

R2 Rсd Rс Rd RсRd ; Rb

R3 Rbc Rb Rc RbRc . Rd

1.1.3. Методы расчёта цепей постоянного тока

Применение законов Кирхгофа для расчета электрических цепей. Устанавливается число неизвестных токов p pВ pТ , где pВ

– общее количество ветвей цепи, pТ – количество ветвей с источниками тока. Устанавливается число узлов q, число независимых контуров n p q 1 . Для каждой ветви задаются

11

положительным направлением тока. Число уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, равно q 1 . Количество уравнений на единицу меньше числа узлов, потому что ток каждой ветви входит с разными знаками в уравнения для соединяемых ею узлов. Сумма слагаемых уравнений всех узлов тождественно равна нулю. Число уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, равно n. При их составлении следует выбирать независимые контуры, не содержащие источников тока. Общее количество уравнений, составленных по законам Кирхгофа, должно быть равно p.

С помощью законов Ома и Кирхгофа можно рассчитать режим работы любой электрической цепи. Однако порядок системы уравнений может быть большим. Для упрощения вычислений применяют различные расчётные методы: контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного источника и т.д. Все эти методы основаны на законах Ома и Кирхгофа.

Метод эквивалентных преобразований. Сущность метода заключается в том, чтобы сложную разветвлённую цепь с помощью эквивалентных преобразований привести к простейшей одноконтурной цепи, включающей ветвь с искомым током, значение которого определяется затем по закону Ома. К эквивалентным преобразованиям относятся:

­преобразование представления источников электрической энергии. Под этим преобразованием понимается переход от представления источника электрической энергии последовательным соединением источника ЭДС и внутреннего сопротивления к параллельному соединению источника тока и внутренней проводимости, а также обратное преобразование;

­замена последовательных и параллельных соединений однотипных элементов эквивалентными одиночными элементами;

­преобразование соединений звезда – треугольник и треугольник – звезда.

Метод эквивалентного генератора. Для нахождения тока в

произвольной ветви всю внешнюю по отношению к ней электрическую цепь представляют в виде некоторого эквивалентного генератора с ЭДС EЭ и сопротивлением RЭ . Тогда ток в этой ветви можно определить по закону Ома.

ЭДС эквивалентного генератора EЭ и его внутреннее сопротивление RЭ равны соответственно разности потенциалов и

12

сопротивлению между точками (узлами) электрической цепи, к которым подключена ветвь с искомым током в режиме холостого хода, т.е. в режиме, когда эта ветвь отключена.

Искомую ЭДС можно вычислить любым методом анализа электрических цепей. При определении внутреннего сопротивления RЭ источники электрической энергии должны быть заменены эквивалентными сопротивлениями: источники ЭДС – нулевыми сопротивлениями, т.е. коротким замыканием точек подключения, а источники тока – бесконечно большими сопротивлениями, т.е. разрывом цепи между точками подключения.

Метод контурных токов. Метод основывается на том свойстве, что ток в любой ветви цепи может быть представлен в виде алгебраической суммы независимых контурных токов, протекающих по этой ветви. При использовании данного метода вначале выбирают и обозначают независимые контурные токи (по любой ветви цепи должен протекать хотя бы один контурный ток). Общее число

через один источник тока (эти контурные токи можно считать совпадающими с соответствующими токами источников тока: J1,J2, ,JpT , и они обычно являются заданными условиями задачи),

а оставшиеся n p q 1 контурных токов выбирать проходящими по ветвям, не содержащим источников тока. Для определения последних составляют по второму закону Кирхгофа для этих контуров n уравнений в виде

l ветви совпадают, то значение Rkl положительно, в противном случае оно отрицательно; Ekk – алгебраическая сумма ЭДС источников, включенных в ветви, образующие контур k ; Rkk m –

13

цепях с небольшим количеством источников.

Рассмотрим применение метода наложения на примере расчёта схемы рис. 1.5. В цепи (см. рис. 1.5, а) действуют два источника ЭДС. Отключим второй источник, заменив его внутренним сопротивлением (r=0). Тогда схема цепи будет соответствовать рис. 1.5, б, и для неё токи можно легко рассчитать, пользуясь, например, эквивалентным преобразованием и законом Ома:

I31 I11 I21.

Ток I21 можно найти, используя правило распределения токов по двум параллельным ветвям: ток в каждой из ветвей пропорционален отношению сопротивления другой ветви к суммарному сопротивлению обеих ветвей.

Отключим теперь первый источник и аналогичным методом определим токи в цепи (см. рис. 1.5, в):

1.1.4. Баланс мощностей

Для любой электрической цепи суммарная мощность PИ , развиваемая источниками электрической энергии (источниками тока и ЭДС), равна суммарной мощности PП , расходуемой потребителями (резисторами):

PИk PПm .

то время как мощности источников электрической энергии, в зависимости от соотношения направления падений напряжения и тока

15

в них, могут иметь любой знак. Если направление протекания тока через источник противоположно падению напряжения на нём, то мощность источника положительна, т.е. он отдаёт энергию в электрическую цепь. В противном случае мощность источника отрицательна, и он является потребителем электрической энергии. Следует заметить, что направление падения напряжения всегда противоположно направлению ЭДС, поэтому для источника ЭДС условием положительной мощности является совпадение направлений ЭДС и тока.

1.2. Пример расчёта разветвлённой цепи постоянного тока

Рассмотрим решение задачи для цепи, представленной на рис. 1.6, описанными выше методами расчёта.

d

Рис. 1.6

Дано: R1 R2 R3 R4 R5 1 Ом, E1 E2 E3 10 В,

J 2 А.

Найти:

1)все неизвестные токи, используя законы Кирхгофа; показать, что баланс мощностей имеет место;

2)все неизвестные токи методом контурных токов;

3)все неизвестные токи методом узловых потенциалов;

4)ток I6, используя метод эквивалентных преобразований;

5)ток I6, используя метод эквивалентного генератора.

Решение.

1) Применение законов Кирхгофа. Баланс мощностей.

16

n p q 1 3.

Выберем положительные направления токов и обозначим их стрелками. Выберем и обозначим стрелками направления обхода трёх независимых контуров: I, II, III. Составим систему уравнений по законам Кирхгофа

для узла a для узла b для узла c для контура I для контура II для контура III

Полученные уравнения после подстановки в них числовых значений будут иметь следующий вид:

I1 I2 I6 0,

I2 I3 I4 0,

I4 I5 I6 2,

I1 I2 I3 20,

I4 5,5А; I5 3,5А; I6 7А.

Баланс мощностей для рассматриваемой цепи

E1I1 E2I3 E3I6 JR5I5 R1I12 R2I22 R3I32 R4I42 R5I52 R6I62,

10 9,5 10 8 10 7 2 1 3,5

1 9,52 1 2,52 1 82 1 5,52 1 3,52 1 72.

Получено тождество 252Вт = 252Вт.

Примечание: падение напряжения на источнике тока UJ определено по второму закону Кирхгофа для контура, содержащего J и R5, как UJ I5R5 0.

17

2) Метод контурных токов.

Выберем направления контурных токов (рис. 1.7), которые обозначим I11, I22, I33 и J (последний известен).

I33

d

Рис. 1.7

Составим систему уравнений для контуров

18

В ветви с R5 ток I5 получится от наложения контурных токов

I22 и J и будет равен I5 I22 J 1,5 2 3,5А.

В ветви с R6 и E3 ток I6 совпадает по направлению с контурным током I33 и будет равен I6 I33 7А.

I1 G1 d a E1 G1 a E1 ;

I2 G2 a b ;

I3 G3 b d E2 G3 b E2 ; I4 G4 c b ;

I5 G5 c d G5 c ; I6 G6 a c E3 .

Проводимости ветвей:

G1 1R1 1См; G2 1R2 1См; G3 1R3 1См; G4 1R4 1См; G5 1R5 1См; G6 1R6 1См.

Система уравнений по первому закону Кирхгофа имеет вид

G1 a E1 G2 a b G6 a c E3 0,G2 a b G3 b E2 G4 c b 0,

G4 c b G5 c G6 a c E3 J 0.

19

G1 G2 G6 a G2 b G6 c G1E1 G6E3,G2 a G2 G3 G4 b G4 c G3E2,

G6 a G4 b G4 G5 G6 c G6E3 J.

Подставив полученные значения потенциалов в уравнения закона Ома, получим:

I1 0,5 10 9,5А; I2 0,5 2 2,5А; I3 2 10 8А; I4 3,5 2 5,5А; I5 3,5А; I6 0,5 3,5 10 7А.

20