1831

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

МОДЕЛЬ

ВИБРОЗАЩИТНОГО

УСТРОЙСТВА

С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ

КОМПЕНСАТОРОМ ЖЕСТКОСТИ

В.С. Щербаков,

Н.Л. Левченко

Аннотация. В статье представлена математическая модель виброзащитного

устройства транспортного

средства,

содержащего

два яруса подвешивания на базе

резинокордных оболочек и электромагнитный компенсатор жесткости.

Ключевые

слова:

математическая

модель,

виброзащитное

устройство,

резино-

кордная

оболочка,

электромагнитный

компенсатор жесткости.

Составление

математических

моделей

действующие на

электромеханическую

систе¬

виброзащитных устройств, в конструкцию ко¬

му; q S

= iS - ток в S-ом контуре при S = 1, 2,

торых

наряду с механической

частью входит

., m; t - время протекания процесса.

электромагнитный

элемент, имеет

ряд

осо¬

Лагранжиан

электромеханической

систе¬

бенностей.

мы равен

Механические

и электромагнитные

про¬

цессы, протекающие в данных системах, су¬

L = T + Wm - (П + Wi),

(2)

щественным образом

связаны друг с другом.

где

Т

- кинетическая энергии механической

Для

составления

математических моделей

части

системы;

П -

потенциальная

энергии

электромеханических

систем

используют

механической части

системы;

Wm

-

энергия

уравнения

Лагранжа -

Максвелла,

являющие­

магнитного поля системы;

Wl

- энергия элек¬

ся

следствием уравнения Лагранжа 2-го

рода

трического поля системы.

для механических систем с кинетическим по¬

Исследуемое

виброзащитное

устройство

тенциалом [1]

состоит из двух ярусов подвешивания и элек¬

d_ SL _dL_ +dF_ = q , (-l = 1, 2, n), (1)

тромагнитного устройства во втором (верх¬

dt 5cjl

Sql

5cjl

l

нем) ярусе подвешивания. Каждый ярус под¬

вешивания механической части системы со¬

где

L - кинетический

потенциал электромеха¬

держит

резинокордные

упругие

элементы,

нической системы (Лагранжиан); F - диссипа-

которым присущи как упругие, так и диссипа-

тивная функция электромеханической системы;

тивные

свойства. Электромагнитная

часть

Q i

- сторонние э.д.с. при l

= 1, 2,

m и обоб­

виброзащитной системы

содержит два конту¬

щенные механические силы при l = m+1,

n,

ра, в каждом из которых находятся две катуш¬

ки индуктивности, соединенных встречно друг

Вестник СибАДИ, выпуск 1 (19), 2011

51

52

Вестник СибАДИ, выпуск 1 (19), 2011

L — T - П + Wm.

(11)

Уравнения Лагранжа - Максвелла для

Магнитная

проводимость

рабочего

(воз¬

обобщенных координат хь х2, i запишутся в

душного) зазора, характерная для втяжных

виде

электромагнитов с

конусными

поверхностями

якоря и стопа определяется формулой [4]

/ _ d _ 5 L _ 5 L

+ _5F

Q1

pd2

+ 0,75d- 0,157d

(12)

d 5L

5L

5F _

g = m 45 sin2

a

sin2a

+ — = Q2

(18)

где ц0 - удельная магнитная проводимость

dt 5х2

5х2

5х2

d

+ 5 ^ = E.

среды, гн/н; d - диаметр сердечника и стопа, м;

dt 5 i

i

5 - зазор между якорем и стопом, когда систе­

ма находится в равновесии, м,

2а - плоский

Здесь Q1 - обобщенные механические си¬

угол при вершине конуса якоря.

лы, действующие на входе в систему, Q2 -

Магнитная

энергия одного

электромагнита

обобщенные механические силы, действую¬

тушке и рабочего зазора между стопом и по¬ системы, Е - сторонние э.д.с., действующие

верхностью сердечника.

на электромагнитную систему.

Для нижней катушки

Полагая, что Q1 — Q2 — 0, запишем систе¬

P d \ 2

+ 0,75d - 0 1 5 7 1 1 ( 1

3 )

му

дифференциальных

уравнений,

описы¬

4(5-A2)sin

a

sin a

I

вающих процессы, происходящие в рассмат¬

здесь w — количество витков в катушке

риваемой электромеханической системе

индуктивности.

- 1 ( х

- y)2(2Сl(x - y) + 3 c 0 ) -

Для верхней катушки

6

^

+

0,75d-

^

] .

( 1

4

)

4(5 + A2)sin2 a

sin2

a J

1 2

( х2

-

х 1 ) 2 ( 3 Ь

2

( х

2

-

х 1 ) 2

+

(19)

Тогда магнитная энергия одного замкнуто¬

+

4 Ь 1

(

х 2

- +

6 b 0 )

+

го контура, содержащего два электромагнита,

расположенных встречно,

соосно

и

имеющих

+ 2w2m0

-

х 1 )

i2-

общий сердечник, будет равна

°sm

2 a ( 5 2 - (х2 - х1)2)2

W K — W h + W B —

-

к 1

(

^

1

- y ) 2 + к 2

( х 2 - х = 0 ,

(

pd 5

71

iA (15)

1

= w2 m0d

+ 1 , 5

-

2

М

2 Х 2

+Т(Х1

-

У)

( 2 С 1 ( Х 1

-

У )

+

3 С

0 )

+

2sin

2 a(52 - A22)

sin2

a

6

Магнитная энергия системы, состоящей из

+ — (x2

- x1

)2(3b2(x2 - x1)2 + 4b1(x2 - x1) + 6b0 +

двух замкнутых контуров,

равна

12 '

pd2S(x2 - x1)

Wm — 2 WK =

i2 = 0,

+ к2(x2 - x

1 )

2 - 2 w 2 ^ 0 . 2

, g

2

;

pd 5

p

sin2 a(S

- (x2

- x1)2)2

2sin2 a (52

•A222 >)

+1,5

- sin2

2w2|m0dr

2sin2

pd 5

,+ 1,, 5 +

p

a

dt

a

a(52 - (х2 - х1)2)

sin2

(16)

pd(x2 - х1)

Лагранжиан равен

- 2w2m

г.Ахг

- ^ ) + Ri = E.

0 sin2 a(52 - (х2

- х1)2)

Выражение

2wV,

P d ( x 2

- х

1

)

i ( X

2 -

х 1

)

1 sin2 a ( 5 2

- (х2

х 1 ) 2 ) 2

Вестник СибАДИ, выпуск 1 (19), 2011

53

представляет собой э.д.с. индукции, созда­

Библиографический список

ваемой

движением якоря в

магнитном

поле

1.

Лурье А. И.,

Ходжаев К.Ш. Уравнения Ла-

электромагнитов.

гранжа-Максвелла в курсе теоретической механи­

Выражение

ки. - В кн.: Сборник научно-методических статей по

p d 2 5 ( x 2 - X j )

•i2

теоретической механике. Вып.6. - М.: Высшая шко­

± 2 w

V

о

ла, 1976. - С.72-81.

sin2 a ( 5 2 - (x2

2.

Ходжаев К.Ш. Вибрация в технике. Т2. Ко­

- пондеромоторную силу

-

силу притяже­ лебания нелинейных электромеханических систем.

ния, действующую на якорь под

действием - М.: Высшая школа, 1979.

электромагнитов.

3. Победря Б.Е. Диссипация энергии в теории

Выражение

вязкоупругости. Вестник МГУ. Сер. Математика и

механика. 2003. № 4. С. 35-46

(

pd

5

•+1,5 + • p

4.

Буль О. Б. Методы расчета магнитных сис­

w2 m 0d

a

тем электрических аппаратов/ О. Б. Буль. М.: Ака­

2sin2 a ( 5 2

- (x2 - x1)2)

sin2

демия, 2005.

представляет

собой

индуктивность

двух

пар

5.

Левченко Н.Л. Применение низкочастотных

соленоидов,

которая

является

функцией

от

амортизаторов на базе резинокордных оболочек в

перемещения

якоря

относительно

обмоток

системе виброзащиты рабочего места машиниста:

Тезисы

докладов

на

межвузовскую

научно-

электромагнитов (х1-х2).

практическую конференцию. - Омск: Филиал ГОУ

При

составлении

математической модели

ВО в г. Омске, 2007.

приняты следующие допущения:

6.

Левченко

Н.Л.

Математическая

модель

54

Вестник СибАДИ, выпуск 1 (19), 2011

Таблица 1 - Классификация грунтов

I

E(i - m)

~

(6)

и, =

Категория

Число

Примечание

грунта

ударов

С

где Е - модуль

нормальной упругости

грунта;

I

1...4

m - коэффициент поперечной упругости

грун¬

Немерзлые

II

5...8

та; р - плотность

грунта.

грунты

III

9...16

Для

определения основных

параметров

IV

17...35

рабочего органа ударного действия (требуе¬

V

36...70

мой для разрушения

грунта

энергии удара AP

Мерзлые

глубины внедрения инструмента

5вн ,

време¬

VI

71...140

грунты

ни соударения

инструмента

с грунтом

-

вре¬

VII

141...280

мени удара

tyd

,

силы сопротивления

грунта

VIII

281...560

разрушению

Nc

)

применяются

следующие

При

определении

энергии,

необходимой

формулы [2]:

для разрушения грунта, принимаются сле­

энергия удара

Л

=-вН

1—S-C2 ;

(7)

дующие допущения:

Р

2V,kaE

- вся кинетическая энергия бойка гидро­

молота передается инструменту;

глубина внедрения

d

— р

1

a 2

;

(8)

- энергия, отраженная от грунта в инстру¬

SU1kSC2

мент,

не учитывается;

=

2Лт ka E

- тепловые потери в грунте не учитываются;

время удара

tуд

(9)

- потенциальная энергия упругого дефор¬

SU1kSC

2

мирования

переходит

в

энергию

трещинооб-

где S - площадь контакта инструмента с грун¬

разования

скалываемого тела.

том;

Ui

- скорость

распространения продоль¬

При

таких

допущениях

энергия, затрачи¬

ной

волны;

E - динамический мо дуль упруго­

ваемая

на

разрушение грунта,

определяется

сти

грунта;

ka

-

безразмерный коэффициент,

по формуле [1]:

учитывающий

угол

заострения

инструмента,

Лр

=

Vp

j

s (e )de

ka >

1,0;

V1

-

скорость удара

инструмента

(5)

(бойка)

о грунт;

kS

- коэффициент,

kS = k02kC2km

о

, здесь k0 - безразмерный коэффициент, k0 =

где

AP

- энергия

разрушения

грунта; VP -

1,36...1,60; kc

-

коэффициент, предложенный

объем

разрушенной

зоны,

VP

=

SL,

L=(U1-

проф. И.А.Недорезовым, kc = 106/30; km - без­

Vi)tyd,

здесь S - площадь контакта инструмен¬

размерный коэффициент, km = 1-2/j/(1-m),

та с разрушаемым грунтом; L - длина сжатой

здесь m - коэффициент поперечной упругости

зоны; U1 - скорость распространения про­

грунта (Пуассона); C - число ударов плотно¬

дольной

волны;

V1

- скорость

удара

инстру­

мера ДорНИИ.

мента о грунт;

tyd

- время удара; а(е)

- напря­

Алгоритм

расчета

активного

рабочего

жение на поверхности грунта; г - деформация

органа

для

разрушения

грунта

представлен

грунта.

на рис. 1.

Скорость

распространения

продольных

Вестник СибАДИ, выпуск 1 (19), 2011

57

По

формуле

(7)

находится требуемая

2T_

(11)

энергия единичного удара гидромолота Т, не¬

m =

обходимая для внедрения инструмента на

Программное

обеспечение

расчета

актив¬

глубину

h при заданной скорости удара

V1 ,

т. е.

ного рабочего органа для разрушения грунта

hSU,ks

C2

разработано на языке программирования VBA

T

(10)

для персональных компьютеров.

2V,kaE

.

Фрагменты

результатов

расчетов

пара¬

Определив энергию

единичного удара Т

метров активного рабочего органа показаны

по формуле (10),

находят

массу бойка

m из

на рис. 2, 3.

'li UUMIU

П LfLUJ-при rp-гь TJ.

Чн

ил у ? ц к * И

?нО-ди-:рлтй.Л1 Е Л1П*

O i № ! T i n t .

TLlLLHL'-.L. JJ|ih IJ

EUj .• ф-ф Н ЩICUI

ни

j

I U.2

Пу-ысэн-а e ^ h i a

J

lyfJ

58

Вестник СибАДИ, выпуск 1 (19), 2011

Аннотация.

В статье рассматривается автоматизированный способ определе­

ния взаимного

расположения

объектов на чертеже металлорежущего инструмента.

При этом чертеж создан на основе параметрической 3-D модели. Для анализа гео­

метрических объектов применяется теория множеств.

Ключевые

слова: чертеж металлорежущего

инструмента, теория множеств,

автоматизированный способ

оценки графических

объектов.

Вестник СибАДИ, выпуск 1 (19), 2011

59