1763

УДК531.01

ББК22.21

Рецензент - канд. техн. наук, доц., зав. кафедрой «Дорожные машины» В.Г. Водобоев

Работа одобрена методической комиссией факультета ДМ в качестве методических указаний для студентов всех специальностей

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. СТАТИКА. Часть I: Методические указания для решения задач и контрольные задания / Сост. А.Н. ПОДСВИРОВ. -

Омск: Изд-во СибАДИ, 2002. - 31 с.

Методические указания для решения задач и контрольные задания по теоретической механике (раздел «Статика») состоят из условий задач и указаний к их решению типовыми методами теоретической механики. В методических указаниях приведены краткий теоретический обзор и примеры решения задач. Задачи служат для контроля знаний, приобретенных при выполнении домашних заданий, защите курсовых работ студентами строительных, машинно-транспортных, приборостроительных и дорожно-строи- тельных специальностей высших учебных заведений.

Ил. 41.

Предисловие

Методические указания для решения задач по теоретической механике (раздел «Статика») состоят из условий задач и указаний к их решению типовыми методами теоретической механики. В методических указаниях приведены краткий теоретический обзор и примеры решения задач.

При решении задач необходимо выполнить следующиеэтапы:

а) изобразить инженерную расчетную схему (освободить систему от связей и заменить их реакциями);

б) записать уравнения равновесия, соответствующие действующей системесил;

в) решить полностью задачу с получением цифрового ответа. Задачи служат для контроля знаний, приобретенных при выполнении

домашних заданий, защите курсовых работ.

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ И РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ

В механике все тела делятся на свободные и несвободные. Тело, которое не скреплено с другими телами и может совершать любые перемещения в пространстве, называется свободным. Положение несвободных тел рассматривается в плоской системе координат OXY и пространственной системе координат OXYZ. Свободные тела имеют шесть степеней свободы: движение вдоль осей координат - вперед и обратно - это три степени свободы; вращение вокруг осей координат по часовой стрелке и обратно - это еще три степени свободы. В большинстве инженерных задач встречаются несвободные твердые тела, имеющие закрепления или соприкосновения. Соприкосновение одного тела с другим или закрепление одного тела к другому, одной системы тел с другой лишает их степеней свободы. Материальное тело, накладывающее ограничения на перемещения данного тела в пространстве, по отношению к этому телу называется связью. Силу, с которой связь действует на тело, называют реакцией связи. В зависимости от характера закрепления тела различают следующиевиды связей.

В плоскости OXY - неподвижное шарнирное соединение (связь) Ra. Реакция Ra неизвестна по модулю и направлению. Любой вектор Ra мы можем разложить на две составляющие по осям координат Ха, Ya. Направление реакций Ха, Ya выбирается и может быть изображено, как это

показано на рис. 1,2.

Гибкая нерастяжимая связь (нить) (рис.11 и 12) воспринимает нагрузки толькона растяжение.

СТЕРЖНЕВАЯСВЯЗЬ(ЖЕСТКИЙ СТЕРЖЕНЬСШАРНИРАМИНАКОНЦАХ)

Балка АВ (рис. 13) удерживается тремя жесткими невесомыми стержнями и воспринимает нагрузки только вдоль прямой, соединяющей ее шарниры. ПоэтомуреакцииRa, RB,RCнаправлены поэтой прямой.

Один конец балки заделан (защемлён), другой конец балки свободен. Такая балка называется консольной (рис.14). Связь не допускает никаких перемещений вдоль координатных осей, а также препятствует повороту балки в плоскости X,Y. Реакции направляются вдоль координатных осей, а реактивный момент Ма, удерживающий балку от поворота в плоскости X,Y, может быть направлен по часовой или против часовой стрелки

(рис. 14, 15, 16).

ГЛАДКАЯСВЯЗЬ

Гладкая связь - это тело, трение которого о рассматриваемое тело не учитывается.

Вовсех случаях (рис. 17-24) имеется точка контакта с гладкой поверхностью, плоскостью, линией. Реакция связи будет направлена из точки соприкосновения перпендикулярно к поверхности, плоскости, линии - по нормали.

На рис. 31 приведен подпятник (сочетание цилиндрического шарнира с опорной поверхностью). Реакция подпятника может иметь любое направление в пространстве. В общем случае реакцию показывают тремя составляющими Хо, Yo, Zo и двумя реактивными моментами относительно осей

XnY.

ПРОЕКЦИЯ СИЛЫ НА ОСИ КООРДИНАТ

Проекции силы Р (рис. 32) на оси координат OX, OYопределяются по формулам

Зная проекции силы Р на координатные оси, можно определить модуль этой силы и ее направление но направляющим косинусам.

МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ

Моментом силы относительно точки (рис. 33) называется произведение модуля силы на плечо силы относительно этой точки. Плечом силы относительно точки называется длина перпендикуляра, проведенного из точки на линию действия силы. Точка выбирается нами произвольно с учетом условий: из удобства вычисления длины плеча, из наименьшего количества неизвестных, содержащихся в уравнении. Если вектор силы Р и плечо (вместе взятые) вращаются относительно выбранной точки против часовой стрелки, то момент берется со знаком плюс, если в противоположном направлении - со знаком минус.

МОМЕНТ ПАРЫ СИЛ

Парой сил называют систему двух равных по модулю параллельных сил, направленных в противоположные стороны (не по одной прямой).

Алгебраическим моментом пары сип называется взятое с определенным знаком произведение модуля одной из сил пары на кратчайшее расстояние между линиями действия пары сил. Алгебраический момент пары сил считают положительным, если пара сил вращает тело против движения часовой стрелки, отрицательным — при противоположном условии.

Условные обозначения моментов пар сил, приведенные на рис. 34, 35, равноценны. Кратчайшее расстояние между линиями действия сил d\, di

называют плечом пары сил.

Пару сил, действующую на тело, можно:

1)перемещать в плоскости её действия;

2)переносить в любую плоскость данного тела, параллельную плос кости действия этой пары сил;

3)изменять модуль силы, плечо пары сил, но так, чтобы ее момент и направление вращения оставались неизменными;

4)вычитать или складывать, если пары сил эквивалентны, т.е. они по модулю и знаку одинаковы;

5)вычитать или складывать множество пар сил, лежащих в одной плоскости или параллельных плоскостях, если оно эквивалентно одной

равнодействующейпаре сил, момент которойравеналгебраической сумме моментов слагаемыхпарсил данноготела:

6)алгебраически сложить моменты всех эквивалентных пар. Если

РАЗЛОЖЕНИЕ СИЛЫНА ДВЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ

1. Любую силуможно разложить на две составляющие по координат

ным осям вточкахА, С,D(рис. 36).

2.СилуРможноразложить на двесоставляющиепозаданным направ лениям АВ,CD(рис.37).

3.Силу Р можно разложить на две составляющие по заданному модулю одной из составляющих и направлению АВ с последующим определением составляющейPi иугла (3(рис.38).

4.Силу Р можно разложить на две составляющие по заданным модулям Р\, Ргспоследующим определением углов а и[3 (рис. 39).

Задачу о разложении равнодействующей на составляющие во всех случаях можно решатьграфически, выполняяпостроенияв масштабе.

УРАВНЕНИЯРАВНОВЕСИЯПЛОСКОЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙСИСТЕМЫСИЛ

Для того чтобы тело находилось в состоянии покоя, равновесия или равномерного прямолинейного движения, необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на координатные оси и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любойточки, лежащейвплоскостидействиясил, равнялисьнулю.

Каждое уравнение равновесия накладывает одну связь, т.е. лишает тело одной степени свободы, три уравнения лишают тело трех степеней свободы, делают телонеподвижным в плоскости.

Свободное телов плоскостиимеет тристепенисвободы:

1.Поступательное движение вдоль осиХ- вперёди обратно.

2.Поступательное движение вдоль осиY- вперёди обратно.

3.Вращение телав плоскости.

РЕШЕНИЕЗАДАЧ НАПЛОСКУЮ ПРОИЗВОЛЬНУЮСИСТЕМУСИЛ

На балку АВ(рис. 40, а) действует сила Рв точке приложенияС. Определитьреакции связей.

Для решения задачи необходимо создать расчетную схему. Для этого освободимся от связей в точках А и В, заменив их реакциями Ха, Ya, YB (рис. 40, б). В дальнейшем изображение будет производиться в виде рис. 40, в. Здесь имеются три неизвестных Ха, Ya, YB, ДЛЯ ИХ определения выбирается система координат (х, у) и составляются три уравнения равновесия, определяющие триреакции.

13

Сумму проекций всех сил на ось X определяют формулой

Сумма проекций всех сил на ось У имеет вид

Составляют уравнение суммы моментов всех сил относительно выбранной точки.

Точку можно выбрать А, при этом две реакции Ха и У а в уравнение не войдут, т.к. у них плечи равны нулю. В уравнение входит одна неизвестная реакция Ув. Можно выбрать точку В, при этом две реакции ХА В УВ В уравнение не войдут, т.к. у них плечи равны нулю. В уравнение входит одна неизвестная реакция Ya. Остановимся, например, на точке А.

Пример решения задачи на тему «Равновесие одного твёрдого тела»

На балку, опирающуюся на шарнирную неподвижную опору в точке А и стержневую связь в точке С, действуют силы Р\ = 30 кН; Рг = 20 кН; Рг = 50 кН и пара сил с моментом М - 150 кН-м. Определить реакции связей

В точках А и С (Рис. 41)

Решение. Рассмотрим равновесие балки. К ней приложены активные силы P1, P2, Р3 и пара сил с моментом М. Освободившись от связей и заменив их реакциями связей, получают расчетную схему. Выбирается система отсчета и составляются уравнения равновесия.

Изуравнения(4)находимХА:

МЕТОДИЧЕСКИЕУКАЗАНИЯ КРЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

При решении задачи о равновесии одного твердого тела рекомендуется придерживаться следующей последовательности.

1.Выделить тело, равновесие которогорассматривается.

2.Освободитьсяотсвязейизаменитьихсоответствующимиреакциями.

3.Выбрать системуотсчета.

4.Составить уравнения равновесия, определяющиереакции связей.

5.Решитьсистемууравненийравновесия, определитьнеизвестныереак ции связей.

ЗАДАЧИНАТЕМУРАВНОВЕСИЯОДНОГОТВЕРДОГОТЕЛА

№1

Дано: Р=8 кН; М=12 кН-м; 9=1,2 кН/м. Определить реакции связей в точках AиC.

№2

Дано:Р=9 кН; М=14кН-м;?=1,1кН/м. Определить реакции связей в точках А и В.

№3

Дано:P1=6 кН; Р2=8кН;М=14 кН-м. Определить реакции связейвточкахАиВ.