1510

М1

g

0

x

2

М0

0

1

2

x

y

y

М0

М0

М1

g

М1

0

x

0

x

ISBN 5-93204-094-7

Л.Н. Романова,

2002

Издательство

СибАДИ, 2002

0

y

ОГЛАВЛЕНИЕ

Лекция №1. Функции двух и нескольких переменных. Линии уровня

функции двух переменных, поверхности уровня функции трех

переменных

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

3

. . .

Пространство Rm

1.

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

3

2.

Последовательность точек в Rm . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

6

3.

Понятие функции нескольких переменных. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

8

Лекция №2. Предел функции. Непрерывность функции .

. . . . . . . . . . . . .

12

1.

Предел функции. . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

12

2.

Непрерывность функции в точке и на множестве. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

15

Лекция

№3.

Частные

производные,

дифференциал.

Дифференцирование сложных и неявных функций . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

17

1.. . .

Частные. . . . . . . . и. .полные. . приращения, частные производные,

дифференциалы

функции двух переменных . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

17

2.

Частные дифференциалы и производные, полный

дифференциал

функции нескольких переменных . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . .

20

3.

Дифференцирование сложных функций . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

22

4.

Производная функции, заданной неявно . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

23

Лекция №4. Применение дифференциала в приближенных вычислениях,

линеаризация функции в окрестности точки. Уравнение касательной

плоскости к поверхности. Формула Тейлора . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

24

1.

Линеаризация функции в окрестности точки . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

24

2.

Касательная плоскость к поверхности, заданной неявным уравнением . . .

25

3.

Производные и дифференциалы высших порядков . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

28

4.

Формула Тейлора . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

29

Лекция №5. Локальные экстремумы, необходимые и достаточные

условия их существования . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . .

30

1.

Понятие локального экстремума . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

30

2.

Необходимое и достаточное условия существования локального

экстремума .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .. . . . . . .

31

. . .

. . .

Лекция №6. Производная по направлению. Вектор – градиент . . . . . . . .

34

Лекция №7. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в

замкнутой ограниченной области . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

38

Лекция №8. Условный экстремум . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

43

Типовые задания №1 .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .. . . . .

48

Типовые задания №2 .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .. . . . .

61

Библиографический список . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

77

где A a ,...,a

m

и B b ,...,b

из Rm.

1

1

m

Определение. m-мерной сферой с центром в точке A a1,...,am и

радиусом r

называется

множество точек

M Rm , таких,

что

А,М r.

Обозначим

m-мерную сферу М x1,...,xm : A,M r .

Примеры.

1)

т 1 точки, x a1 r;

2)

m 2

окружность с центром в точке А а1,а2 и радиусом

r;

3)

т 3

сфера с центром в точке А а1,а2 ,а3 и радиусом r.

Определение. m-мерным открытым шаром с центром в точке A

и радиусом

r

называется множество точек

M Rm , таких,

что

А,М r.

точке А а1,а2 ,а3 и радиусом

r.

Определение. m-мерным замкнутым шаром с центром в точке A

и радиусом

r называется множество точек М Rm,

таких, что

А,М r.

Обозначим это множество

и

.

Примеры.

1) т 1

отрезок а1 r;a1 r ;

2) m 2

круг с центром в точке А а1,а2 и радиусом

r;

3) т 3

шар с центром в точке А а1,а2,а3 и радиусом r .

Определение. -окрестностью точки

А(а1,...,аm ) называется m-

мерный открытый шар с центром в точке А и r .

Определение. Непрерывной кривой в Rm называется множество

точек М Rm , такое,

что

координаты

их задаются

следующей

x1

1 t ;

x

2

2

t ;

t

непрерывны при t ; ;

системой уравнений:

i

................

xm

m t

;

i

, причем А 1 ,..., т

– начало кривой, В 1 ,..., т

1,m

Пример.

x2 y2 1;

D:

x 1 2.

Построить и

охарактеризовать область, заданную системой

0

1 х

1

0

3 x

Рис. 1

Рис.2

Пример. D: 1 y 4;

x 3.

Построить и охарактеризовать область, заданную системой

неравенств в R2.

Множество: неограниченное, незамкнутое, несвязное (рис. 2).

Упражнение.

Построить

и

охарактеризовать

множества,

заданные системами

неравенств

в

R

2

y 4x2;

и

в R

3

D:

D:

y 1.

y 4x2;

y 1.

2. Последовательность точек в

Rm