3. МОДЕЛЬ ДИСКРЕТНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
3.1. Метод ветвей и границ
Цель работы: изучить принципы построения модели дискретного программирования «Метод ветвей и границ».
СМетод ветвей и границ – одна из задач теории графов (раздел дискретной математ ки). Это основной метод решения задач дискретного
программ рован я для нахождения кратчайшего пути. рассчитываетсяАлгор тм метода ветвей и границ:
1. троятся вершины первого уровня. Для каждой вершины оценка нижней границы. Ветвится вершина, которой
соответствует м н мальная оценка (сравнение идет с предшествуюшим |
|
уровнем). |
бА |
|
|
2. Для всех верш н i-го уровня (i=2,3,...) подсчитывается оценка. Ветвится та з в сяч х вершин уровня (j=1,2,…), которой соответствует
минимальная оценка.
3. Расчет ведется до последнего уровня. Если нижняя оценка меньше значений верхнего уровня, то решение оптимально. Если нижняя оценка равна значениям верхнего уровня, то решение может быть не единственным, но оптимальным. В этом случае переход на второй
уровень. |
Д |
Классическим примером применения метода ветвей и границ является задача коммивояжера.
Постановка задачи: коммивояжер реализует товар в нескольких населенных пунктах, расположенных на определенном расстоянии друг от друга. Он должен объехать все эти пункты по кратчайшему маршруту и вернуться обратно. С точки зрения теории графов задача коммивояжера формируется как задача нахождения гамильтонова цикла (перебор всех вершин графа) минимальной длины.
Пример. Цель работы коммивояжера: объехать 5 пунктов (табл. 3.1) по кратчайшему маршруту и вернуться обратно.
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.1 |
|
|
|
|
И |
||||
|
Матрица попарных расстояний между пунктами |
|
|
||||
|
A |
B |
C |
D |
|
E |
|
A |
0 |
70 |
120 |
110 |
|
130 |
|
B |
70 |
0 |
- |
20 |
|
50 |
|
C |
120 |
- |
0 |
30 |
|
120 |
|
D |
110 |
20 |
30 |
0 |
|
50 |
|
E |
130 |
50 |
120 |
50 |
|
0 |
|
27
Путь состоит из 5 звеньев. Длина каждого звена не меньше 20, следовательно, в качестве оценки снизу можно взять длину минимального звена, умноженную на общее число звеньев: L=5×20 =100. На каждом шаге ветвления к длине известного пути добавляется число
|
оставшихся звеньев, умноженное на 20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Аналогичным образом можно решать задачу коммивояжера, если в |
||||||||||||||||||||||||||||
|
качестве исходных данных вместо расстояний рассмотреть стоимость |
||||||||||||||||||||||||||||
|
проезда от |
одного |
населенного пункта |
и |
выбирать |
путь, |
|||||||||||||||||||||||
|
миним з рующ й суммарную стоимость проезда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.1. |
Древовидный |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
граф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2. Контрольные задачи |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Выбрать |
|
задачу |
по |
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||||||||||||||||
|
|
|
соответствующему |
|
варианту |
для |
|||||||||||||||||||||||
|
самостоятельной работы. Методом ветвей и границ найти кратчайший |
||||||||||||||||||||||||||||
|
путь. Решение изобразить на древовидном графе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Матрица попарных расстояний между пунктами |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
B |
|
|
|
|
C |
|
|
D |
|
|
|
E |
|
|
||||||
|
A |
|
0 |
|
|
|
30 |
|
120 |
|
|
|
110 |
|
30 |
|
|
||||||||||||
|
B |
|
30 |
|
|
|
0 |
|
- |
|
|
|
|
20 |
|
|
50 |
|
|
||||||||||
|
C |
|
120 |
|
|
|
- |
|
0 |
|
|
|
|
30 |
|
|
120 |
|
|
||||||||||
|
D |
|
110 |
|
|
|
20 |
|
30 |
|
|
|
|
0 |
|
|
50 |
|
|
||||||||||
|
E |
|
30 |
|
|
|
50 |
|
20 |
|
|
|
|
50 |
|
|
0 |
|
|
||||||||||
28
Вариант 2
Матрица попарных расстояний между пунктами
|
|
A |
B |
C |
|
D |
|
|
E |
|
|
A |
0 |
70 |
120 |
|
90 |
|
130 |
|
|
|
B |
70 |
0 |
- |
|
20 |
|
|
50 |
|
|
C |
120 |
- |
0 |
|
30 |
|
120 |
|
|
С |
20 |
30 |
|
0 |
|
|
50 |
|
||
|
D |
90 |
|
|
|
|
||||
|
E |
130 |
50 |
120 |
|
50 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Матр ца попарных расстояний между пунктами |
|
|
|
|||||
|
и |
C |
|
D |
|
|
E |
|
||
|
|
A |
B |
|
|
|
|
|||
|
A |
0 |
90 |
110 |
|
110 |
|
|
90 |
|
|
B |
90 |
0 |
- |
|
20 |
|
|
50 |
|
|
C |
110 |
- |
0 |
|
30 |
|
120 |
|
|
|
D |
бА |
|
0 |
|
|
50 |
|
||
|
110 |
20 |
30 |
|
|
|
|
|||
|
E |
90 |
50 |
120 |
|
50 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Вариант 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Матр ца попарных расстояний между пунктами |
|
|
|
|||||
|
|
A |
B |
C |
|
D |
|
|
E |
|
|
A |
0 |
50 |
80 |
|
110 |
|
|
90 |
|
|
B |
50 |
0 |
- |
|
20 |
|
|
50 |
|
|
C |
80 |
- |
0 |
|
30 |
|
120 |
|
|
|
D |
110 |
20 |
30 |
|
0 |
|
|
50 |
|
|
E |
90 |
50 |
Д |
|
0 |
|
|||
|
120 |
|
50 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
Вариант 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица попарных расстояний между пунктами |
|
|
|
|||||
|
|
A |
B |
C |
|
D |
|
|
E |
|
|
A |
0 |
130 |
120 |
И |
|||||
|
|
90 |
|
100 |
|
|||||
|
B |
130 |
0 |
- |
|
20 |
|
|
50 |
|
|
C |
120 |
- |
0 |
|
30 |
|
120 |
|
|
|
D |
90 |
20 |
30 |
|
0 |
|
|
50 |
|
|
E |
100 |
50 |
120 |
|
50 |
|
|
0 |
|
29
Вариант 6
Матрица попарных расстояний между пунктами
|
|
A |
B |
C |
|
D |
|
|
E |
|
|
A |
0 |
170 |
120 |
|
110 |
|
130 |
|
|
|
B |
170 |
0 |
- |
|
20 |
|
150 |
|
|
|
C |
120 |
- |
0 |
|
30 |
|
120 |
|
|
С |
20 |
30 |
|
0 |
|
|
50 |
|
||
|
D |
110 |
|
|
|
|
||||
|
E |
130 |
150 |
120 |
|
50 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Вариант 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Матр ца попарных расстояний между пунктами |
|
|
|
|||||
|
|
A |
B |
C |
|
D |
|
|
E |
|
|
A |
0 |
40 |
120 |
|
110 |
|
130 |
|
|
|
B |
40 |
0 |
- |
|
20 |
|
|
50 |
|
|
C |
бА |
|
130 |
|
120 |
|
|||
|
120 |
- |
0 |
|
|
|
||||
|
D |
110 |
20 |
130 |
|
0 |
|
|
50 |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
E 130 50 |
120 |
|
50 |
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
Вариант 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица попарных расстояний между пунктами |
|
|
|
|||||
|
|
A |
B |
C |
|
D |
|
|
E |
|
|
A |
0 |
170 |
120 |
|
90 |
|
130 |
|
|
|
B |
170 |
0 |
- |
|
20 |
|
|
50 |
|
|
C |
120 |
- |
Д |
|
|
|
|||
|
0 |
|
30 |
|
120 |
|
||||
|
D |
90 |
20 |
30 |
|
0 |
|
150 |
|
|
|
E |
130 |
50 |
120 |
|
150 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
И |
|||||
30