1274

t – количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу

K – количество дней в календарном году (365 или 366)

P – первоначальная сумма привлеченных в депозит денежных средств

Sp – сумма процентов (доходов).

Тема 2.2. Погашение задолженности частями. Потребительские кредиты

Вопросы для рассмотрения: Планирование погашения долга. Погашение долга единовременным платежом. Погашение долга в рассрочку. Различные схемы погашения потребительских кредитов.

Рекомендуемая литература: 1.

Перечень дополнительных ресурсов: 2, 3.

Наименование вида самостоятельной работы: изучение во-

просов темы; подготовка к практическим занятиям; выполнение заданий для самостоятельной работы; подготовка к тестированию.

Планирование задолженности (долга) имеет, по крайней мере, три цели:

разработку плана погашения долга в соответствии с условием договора;

оценку величины долга на любой момент планируемого перио-

да;

определение доходности финансовой операции для заимодавца (кредитора).

Разработка плана погашения долга начинается с составления графика (расписания) периодических платежей должника, называемых срочной уплатой.

Срочная уплата (Y) в общем виде рассчитываться по формуле

Погашение задолженности через некоторый период времени может оказаться обременительным для организации. Поэтому предварительно может формироваться погасительный фонд, т.е. специальный денежный фонд, накапливаемый в течение всего долгового срока в виде последовательных взносов (например, на специальный счет в банке, на который могут начисляться проценты). Сумма взно-

сов в фонд к концу срока долга должна быть равна сумме долга. Таким образом, должник сможет выплатить сумму долга в конце срока в виде разового платежа.

Тема 2.3. Переменные ставки. Определение срока ссуды и величины процентной ставки

Вопросы для рассмотрения: Постоянные и переменные значения процентных ставок. Наращение по переменным простым ставкам процентов. Определение срока ссуды и уровня процентной ставки. Использование процентных чисел в банковской практике. Конверсия валюты и наращение процентов.

Рекомендуемая литература: 1.

Перечень дополнительных ресурсов: 2, 4.

Наименование вида самостоятельной работы: изучение вопросов темы; подготовка к практическим занятиям; выполнение заданий для самостоятельной работы; подготовка к тестированию.

Процентная ставка называется переменной, если она изменяет свое значение в течение срока долга.

1) Наращение и дисконтирование по простой переменной процентной ставке.

Согласно формуле (1.8), проценты за каждый период nj в сроке долга составляют

.

Проценты за весь срок долга

.

Тогда наращенная сумма к концу срока долга n составит:

. (1.52)

Предположим, что известна сумма погашаемого долга Sn. Формула современной величины суммы Sn при математическом ее учете по простой переменной процентной ставке имеет вид:

. (1.53)

Применяя формулу последовательно для периодов nk, nk – 1, …,n2 , n1, получим формулу современной величины суммы Sn при

банковском ее учете по простой переменной учетной ставке:

. (1.54)

Соответственно, формула наращенной суммы долга по простой переменной учетной ставке имеет вид:

. (1.55)

2) Наращение и дисконтирование по сложной переменной процентной ставке.

Применяя формулу последовательно для каждого периода наращения n1, n2, … , nk , получаем формулу наращенной суммы долга по переменной сложной процентной ставке:

. (1.56)

Если известна сумма погашаемого долга Sn, то, применяя формулу или последовательно для каждого периода дисконтирования nk, nk – 1, … , n2, n1, получим формулы приведенной к моменту t = 0 величины суммы Sn при математическом и банковском ее учете по сложной переменной процентной ставке:

. (1.57)

. (1.58)

Формулы (1.40) и (1.43) можно рассматривать как формулы наращения суммы долга по переменным эффективным и номинальным процентным ставкам.

3) Наращение и дисконтирование по непрерывным переменным процентным ставкам. Переменную непрерывную процентную ставку δ(t) называют интенсивностью процентов или силой роста в единицу времени в момент t. Формула наращенной суммы долга при непрерывном начислении процентов, когда интенсивность процентов δ(t) является функцией времени, имеет вид (1.46):

.

Задавая конкретный вид зависимости δ(t), моделируют поведение интенсивности процентов во времени. Рассмотрим наиболее часто используемые формулы для δ(t). Для этого введем обозначения. Обозначим через F(t) и ν(t) множитель наращения и дисконтный

множитель соответственно по переменной силе роста δ(t) в момент t, где t ≥ 0. F(t) – это накопление (стоимость) в момент t единичного вклада, сделанного в момент t = 0. ν(t) - это современная стоимость 1 д.е., подлежащей выплате в момент t. Для вклада, сделанного в момент t = 0, множитель наращения в момент t имеет вид:

. (1.59)

Тогда дисконтный множитель в момент t равен

(1.60)

Если δ(t) интегрируема, то F(t) и ν(t) являются непрерывными функциями времени t. В случае, когда интенсивность процентов является постоянной величиной, т.е. δ(t) = δ для всех t, множитель наращения и дисконтный множитель имеют вид F(t) = eδt и ν(t) = e–δt. Наращенная сумма долга в момент t может быть найдена по формуле

, (1.61)

где P0 - первоначальная сумма долга в момент t = 0. Современная стоимость суммы St, подлежащей выплате в момент t, равна

. (1.62)

1. δ(t) - линейная функция времени, т.е. δ(t) = δ0 + at.

Здесь δ0 – начальное значение силы роста, a - годовой прирост силы роста. Так как a = δ(t + 1) – δ(t), то a может быть положительным, отрицательным или равно нулю, т.е. возможны значения a > 0, a < 0, a = 0. Значение a = 0 соответствует постоянной силе роста δ0. График зависимости интенсивности процентов от времени имеет вид, показанный на рис. 1.1.5.

Как видим, в случае, когда предполагается линейное уменьшение интенсивности процентов, срок долга не должен превышать ве-

личину , гдеa < 0.

Рассмотрим поведение множителя наращения для всех трех случаев. Так как

,

то

. (1.63)

Раздел 3. Сложные проценты Тема 3.1. Начисление сложных годовых процентов

Вопросы для рассмотрения: Сущность начисления сложных процентов. Различие между простой и сложной процентной ставкой. Формула наращения по постоянной ставке сложных процентов. Множитель наращения и способы его определения. Начисление сложных процентов несколько раз в год. Номинальная и эффективная ставки процентов. Постоянные и переменные процентные ставки. Начисление по переменным ставкам сложных процентов

Рекомендуемая литература: 1.

Перечень дополнительных ресурсов: 2, 4.

Наименование вида самостоятельной работы: изучение во-

просов темы; подготовка к практическим занятиям; выполнение заданий для самостоятельной работы; подготовка к тестированию.

Отличие простых процентов от сложных на самом деле довольно большое. При выборе депозитного продукта наверняка каждому приходилось слышать о таком понятии, как капитализация. То есть это та схема начисления прибыли, при которой начисленная прибыль причисляется к телу депозита, а на него в будущем снова начисляется доход.

Год – это стандартный промежуток времени начисления процентов. Однако зачастую в финансовых операциях в качестве промежутка наращения процентов используется не год, а, например, месяц, квартал или другой период. В этом случае проценты начисляются m раз в году. В договорах обычно фиксируется не ставка за период, а годовая процентная, которая в этом случае называетсяноминальной. Сложная процентная ставка наращения является ч а с т н ы м с л у ч а е м номинальной при начислении процентов один раз в году.

Пусть j – номинальная ставка процентов. Проценты за один период начисляются по ставкеj /m , а количество начислений равноm n.

Тема 3.2. Непрерывное начисление процентов.

Вопросы для рассмотрения: Непрерывное наращение и дисконтирование. Непрерывные проценты и сила роста.

Рекомендуемая литература: 1.

Перечень дополнительных ресурсов: 2, 3.

Наименование вида самостоятельной работы: изучение во-

просов темы; подготовка к практическим занятиям; выполнение заданий для самостоятельной работы; подготовка к тестированию.

Пусть номинальная годовая ставка равна i.

При начислении процентов раз в году по ставке эффектив-

ная годовая ставка .

Таким образом, за год сумма увеличится в раз. При все более частом наращении процентов, т.е. при → ∞, используя второй замечательный предел, получим:

Тема 3.3. Эквивалентность процентных ставок

Вопросы для рассмотрения: Уравнение эквивалентности процентных ставок. Сравнение интенсивности процессов наращения по разным видам процентных ставок.

Рекомендуемая литература: 1.

Перечень дополнительных ресурсов: 2, 4.

Наименование вида самостоятельной работы: изучение во-

просов темы; подготовка к практическим занятиям; выполнение заданий для самостоятельной работы; подготовка к тестированию.

Эквивалентные процентные ставки — это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.

На основе равенства двух выражений для данной величины и составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида.

Вспомним обозначения, использованные ранее: i — простая годовая ставка ссудного процента;

d — простая годовая учетная ставка;

iс — сложная годовая ставка ссудного процента; dc — сложная годовая учетная ставка;

j — номинальная ставка ссудного процента; f — номинальная учетная ставка.

Повторим формулы для определения наращенной суммы при различных способах начисления процентов, полученные в предыдущих параграфах этой главы:

S=P(1+ni); (1.7)

S=P/(1-nd); (2.5)

S=P(1+ic)n (3.1) Smn=P(1+j/m)mn (3.6) S=P /(1-dc)n; (4.1)

S= P/( 1-f/m)mn (4.5)

Приравнивая эти формулы попарно, можно получить соотношения, выражающие зависимость между любыми двумя различными процентными ставками.

Раздел 4. Дисконтирование Тема 4.1. Дисконтирование по простым процентным ставкам

Вопросы для рассмотрения: Сущность дисконтирования. Математическое дисконтирование. Банковский учет.

Рекомендуемая литература: 1.

Перечень дополнительных ресурсов: 2, 3, 4. Наименование вида самостоятельной работы: изучение во-

просов темы; подготовка к практическим занятиям; подготовка к тестированию.

Дисконтирование - это определение стоимости денежных потоков, относящихся к будущим периодам (будущих доходов на настоящий момент). Ставка дисконтирования отражает стоимость денег с учетом временного фактора и рисков.

Время - это критический фактор для ожидаемых выгод и издержек любого проекта, описываемого в бизнес-плане, потому что деньги, полученные в настоящий момент, более предпочтительны, чем деньги, которые будут получены в будущем: "нынешние" деньги могут приносить процент или доход, будучи сбереженными или вложенными.

Тема 4.2. Дисконтирование по сложной ставке

Вопросы для рассмотрения: Сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок.

Рекомендуемая литература: 1.

Перечень дополнительных ресурсов: 2, 3, 4. Наименование вида самостоятельной работы: изучение во-

просов темы; подготовка к практическим занятиям; подготовка к тестированию.

Для наращения и дисконтирования использовались ставки is, i,j, ds, d,f. Заметим, что даже в одинаковых исходных условиях применение этих ставок приводит к различным ре-зультатам. В связи с этим представляет практический интерес сравнение результатов наращения и дисконтирования по раз-личным ставкам. Для этого достаточно сопоставить соответст-вующие множители наращения. Аналогичное можно проделать и с дисконтными множителями.

Раздел 5. Потоки платежей Тема 5.1. Реструктуризация платежей при сложных процентных и

учетных ставках

Вопросы для рассмотрения: Потоки платежей, их классификация и основные характеристики.

Рекомендуемая литература: 1.

Перечень дополнительных ресурсов: 2, 3, 4. Наименование вида самостоятельной работы: изучение во-

просов темы; подготовка к практическим занятиям; выполнение заданий для самостоятельной работы; подготовка к тестированию.

Поток платежей - конкретная последовательность расчетных сделок по покрытию обязательств (отрицательный поток) и инкассированию задолженности (положительный поток) в определенный временной промежуток и с указанием объема и периода выплат.

1. По числу платежей членов ренты:

-годовые - платежи производится один раз в год (поток платежей может иметь временной период более года);

-срочные - выплаты осуществляются определенное (p) число

раз в год.

2. По типу выплат:

-дискретные - выплаты производятся с заданной периодичностью (годовые и срочные платежи);

-непрерывные - частые платежи, которые не имеют четких

границ.

3. По количеству начислений процентных выплат в течение определенно срока:

-с ежегодным начислением - начисление производится всего раз в году;

-с непрерывным начислением.

День, когда начисляется процент, не всегда совпадает с моментом совершения платежей.

4. По размеру членов потоки платежей бывают:

-постоянные - выплаты имеют идентичные размеры (наиболее популярный вид ренты);

-переменные. Члены таких платежей могут менять свои размеры в течение определенных временных промежутков, следуя определенным законам, к примеру, геометрической или арифметической прогрессии.

Тема 5.2. Расчет приведенной стоимости потока платежей. Постоянные финансовые ренты, расчет их характеристик

Вопросы для рассмотрения: Финансовые ренты. Постоянная финансовая рента, расчеты ее параметров. Вечная рента. Переменная финансовая рента с постоянным абсолютным приростом членов и с постоянным относительным приростом членов. Непрерывные потоки платежей с постоянной и переменной интенсивностью.

Рекомендуемая литература: 1.

Перечень дополнительных ресурсов: 2, 3, 4. Наименование вида самостоятельной работы: изучение во-

просов темы; подготовка к практическим занятиям; выполнение заданий для самостоятельной работы; подготовка к тестированию.

Финансовая рента (аннуитет) – это поток платежей, все чле-

ны которого положительные величины, а временные интервалы между платежами постоянны. Например, рентой являются последовательность получения процентов по облигации, платежи по потреби-

тельскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых премий и т.д. Рента характеризуется следующими параметрами:

член ренты (R) – размер каждого отдельного платежа;

период ренты (t) – временной интервал между двумя последовательными платежами;

срок ренты (n) – время от начала первого периода ренты до конца последнего периода;

процентная ставка (i) – ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.

Тема 5.3. Финансовые функции Excel как основа практических расчётов

Вопросы для рассмотрения: Сущность финансовых функций. Использование финансовых функций в финансовых операциях. Операции наращения. Операции дисконтирования. Определение срока финансовой операции. Определение процентной ставки. Переменные ренты.

Рекомендуемая литература: 1.

Перечень дополнительных ресурсов: 2, 3, 4. Наименование вида самостоятельной работы: изучение во-

просов темы; подготовка к практическим занятиям; выполнение заданий для самостоятельной работы; подготовка к тестированию.

Сущность финансов – это организация государством денежных отношений, в процессе которых создаются и используются денежные фонды. Финансы применяют как основное средство для косвенного влияния на воспроизводство материальных благ, производственных взаимоотношений и рабочей силы. Экономическая сущность финансов – это проведение анализа и получение результата относительно того, какие статьи доходов приносят государству финансовые средства, и на удовлетворение чьих потребностей они идут.

Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы РV с условием, что через некоторое время t будет возвращена большая сумма FV. Результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко: либо с помощью абсолютного показателя — прироста (FV - PV), либо путем расчета некоторого относительного показателя. Абсолютные показатели чаще всего не подходят для подобной оценки ввиду их несопос-