Домашняя работа по теме «функциональные ряды» (2 семестр)

Из этой работы выполняются задания 3, 4, 5, 6.

Задание 3.Функция задана степенным рядом.

а) Найти область определения функции f(x), т.е. область сходимости степенного ряда.Данный ряд не является рядом с положительными членами. К нему нельзя применять признак Даламбера. Поэтому рассматриваем ряд, составленный из модулей, и применяем к нему признак Даламбера. Находим предел

. Еслиq<1 , то ряд из модулей сходится и, следовательно, исходный ряд сходится абсолютно. В нашем случае

q=. Решая это неравенство, найдем область абсолютной сходимости степенного ряда0 < x < 4 . В концевых точках 0 и 4 величинаq=1. Признак Даламбера в этом случае ответа не дает, и поэтому сходимость в этих концевых точках нужно исследовать отдельно, подставив концевые точки в ИСХОДНЫЙ ряд.

При х=0 получим ряд, эквивалентный гармоническому. Он расходится, наш ряд также расходится . Прих=4 получаем знакочередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница (модуль члена ряда убывает и стремится к нулю).

Ответ: область сходимости степенного ряда , т.е. область определения функцииf(x)– это промежутокх (0; 4] .

б) Задаем частичные суммы ряда в виде функцииS(k)

> S:=k->Sum((x-2)^n*(-1)^n/2^n/(5*n+1),n=0..k);

На одном и том же чертеже строим графики 1-й, 3-й, 5-й и 20-й частичных сумм. Аргумент х меняется в области сходимости степенного ряда.

>plot([S(1),S(3),S(5),S(20)],x=0..4,color=black,thickness=[0,0,0,3]);

Последняя кривая S(20) выделена большей толщиной линии. Она практически совпадает с f(x) , а остальные кривые показывают характер стремления частичных сумм S(n) к этой функции f(x).

Задание 4.Вычислить ВРУЧНУЮcуказанием числа верных знаков приближенное значение интеграла, взяв четыре слагаемых разложения

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд. Получим.

Мы получили результат в виде знакочередующегося ряда. Если мы возьмем четыре слагаемых, то ошибка будет не больше модуля первого отброшенного слагаемого, т.е. , и при этом ошибка не превосходит 1/216=0,0046296. Это означает, что два знака после запятой являются верными. Для проверки вычислим точное значения интеграла командой

> evalf(int(exp(-x^2),x=0..1)); 0,7468241330

Задание 5.Для функциинайти ВРУЧНУЮ первые три сла­гаемых разложения Тейлора в точкех₀ =1.

Находим производные f’(x) , f”(x) ,а затем, подставляя в нихх=1 , найдем величиныf(1) , f'(1) , f''(1) . Записываем три слагаемых ряда Тейлора

f(x) = f(1) + f’(1)(x – 1) + 0,5 f”(1)(x – 1)²+…

Проверка вычислений производится командой

>taylor(f(x),x=x0,3);

На одном чертеже строим затем гра­фик данной функции f(x) и график многочлена Тейлора с тремя слагаемыми. Аргументх меняется в некоторой окрестности точких₀ , но не выходит за границы области определения функцииf(x) .Кривые должны отличаться либо толщиной, либо цветом.

Задание 6. Построение нечетно-периодического продолжения.

График полупериода нечетной периодической функции имеет вид ло­маной О—А(1,1)—В(1,2)—С(3,0). Дополним эту ломаную для отрицательных Х нечетным образом точками А1(–1,–1), В1(–1,–2), С1(–3,0), чтобы получить период.

а) Воспользуемся уравнением прямой по двум точкам и запишем уравнения каждого наклонного «куска» ломаной С1- В1- А1- О- А- В- С .

б) Используя команду для кусочно-заданной функции, объединим все наклонные «куски» в одну функцию

> f:=x->piecewise(-3<x and x<-1,-3-x,-1<x and x<1,x,1<x and x<3,3-x);

Построим для проверки график этой функции

> plot(f(x),x=-3..3);

в) Построим теперь нечетно-периодическое продолжение на всю ось Х командой

> plot({f(x),f(x-6),f(x-12)},x=-3..15,color=black);

г) Разложим нашу функцию в ряд Фурье по синусам , т.е найдем при помощиMAPLE коэффициентыb_n по формуле

b_n=;

д) На одном и том же чертеже строим график данной функции и график частичной суммы ряда Фурье с 10-ю слагаемыми. Аргумент х меняется на полупериоде[0; 3] .

>plot({f(x),sum(b[n]*sin(Pi*n*x/3),n=1..10)},x=0..3,color=

black);

Теорема Дирихле о сходимости ряда Фурье.Пусть нечетная периодическая функция кусочно непрерывна на полупериоде. Тогда в точке непрерывности ряд Фурье этой функции сходится к значению функции в этой точке; в точке разрыва скачком ряд Фурье сходится к полусумме левого и правого пределов.

Применить эту теорему к нашему случаю.

ДОМАШНЯЯ РАБОТА

ПО