- •Контрольная работа на неопределенные интегралы (2 семестр)
- •Контрольная работа
- •Несобственные интегралы с бесконечными пределами (2 семестр) (решаются первый и последний примеры)
- •Домашняя работа
- •Определенные интегралы
- •Домашняя работа по теме «числовые ряды» (2 семестр)
- •Домашняя работа по теме «функциональные ряды» (2 семестр)
- •Фуккциям многих переменных. (2 семестр)
Домашняя работа
НА
Определенные интегралы
(2-й семестр)
ЗАДАЧА 1. Оценить интеграл .
Теорема об оценке интеграла. Если для интегрируемой на [a,b] функции y=f(x) справедлива на этом отрезке оценка m f(x) M, то для определенного интеграла справедлива оценка
.
Таким образом, для нахождения оценки интеграла следует произвести оценку функции, т.е. найти числа т и М. Для этого
а) Находим критические точки подынтегральной функции командой
> solve(diff(f(x),x),x);
и выбираем из них те точки, которые лежат на отрезке [a,b] .
б) Вычисляем значения функции в этих выбранных точках и на концах отрезка при помощи команды подстановки
> subs(x=a,f(x));
в) Выбираем из всех этих значений наименьшее m и наибольшее М
г) Пишем оценку для интеграла .
д) Иллюстрируем геометрический смысл этого двойного неравенства. Для этого командой > plot({m,M,f(x)},x=a..b); строим три линии и указываем штриховкой три площади, соответствующие двойному неравенству пункта г).
е) Вычисляем численное значение интеграла ДВУМЯ командами
>Int(f(x),x=a..b);
>evalf(%);
и проверяем справедливость оценки (т.е. двойного неравенства) из пункта г).
ЗАДАЧА 2. Площадь области, ограниченной кривыми у=, у=х2 , у=х2/8 .
а) Строим кривые
> plot({sqrt(x),x^2,x^2/8},x=0..5,y=0..3,color=black);
б) Определяем точки пересечения кривых, приравнивая функции. Затем задаем верхнюю и нижнюю границы нашей области командами
> y2:=x->piecewise(x<1,x^2,sqrt(x)); y1:=x->x^2/8;
После этого находим площадь области по формуле
в) Вычисляем длину периметра области, используя формулу , а также команды >Int( ) и >evalf( ).
г) Изображаем тело вращения при помощи пакета MAPLE.
Пусть на плоскости задана криваяy=f(x) , x [a, b] , и пусть эта кривая вращается вокруг оси Х.
Тогда получающаяся при этом поверхность изображается командой
>plot3d([f(x)*cos(t),x,f(x)*sin(t)],x=a..b,t=0..2*Pi);
Переменную х и координату t (угол поворота кривой вокруг оси Х) можно обозначать любыми буквами. В нашей задаче вращаются две кривые, y1(x) и y2(x). Поэтому команда будет иметь вид:
>plot3d({[y2(x)*cos(t),x,y2(x)*sin(t)],[y1(x)*cos(t),x,
y1(x)*sin(t)]},x=0..4,t=Pi/2..2*Pi);
Примечание. Здесь объем получился в разрезе, т.к. угол поворота t меняется от /2 до 2 (три четверти оборота). Для получения полного объема он должен меняться от 0 до 2 , но тогда картинка будет менее наглядной.
Объем тела вращения вычисляется затем при помощи MAPLE по формуле
ЗАДАЧА 3. Объем усеченной призмы.
А) Построение призмы и её поперечного сечения плоскостью x=t.
В MAPLE точка М пространства задается так M:=[a,b,c];
Примечание. Наименования D, I, О запрещены. Можно употреблять d, i, o .
Пусть дана плоскость
> z:=32.8-3*x+0.8*y;
Зададим точки для построения рёбер призмы и её сечения
> o:=[0,0,0]:A:=[1,0,0]:A1:=[2,0,0]:A2:=[3,0,0]:B:=[1,1,0]: B1:=[2,2,0]:B2:=[3,3,0]:C:=[1,2,0]:C1:=[2,4,0]:C2:=[3,6,0]:P:=[1,1,subs(x=1,y=1,z)]:P1:=[2,2,subs(x=2,y=2,z)]: P2:=[3,3,subs(x=3,y=3,z)]:Q:=[1,2,subs(x=1,y=2,z)]: Q1:=[2,4,subs(x=2,y=4,z)]:Q2:=[3,6,subs(x=3,y=6,z)]:
Строим ребра и грани призмы командой (буквы команды и опций заглавные!)
>PLOT3D(POLYGONS([o,A2],[o,B2],[o,C2],[A,C],[A1,C1], [A2,C2],[B,P],[B2,P2],[C,Q],[C2,Q2],[B1,P1,Q1,C1], [P,P2,Q2,Q]),THICKNESS(2));
После получения рисунка нужно щелкнуть по нему правой мышью, в появившемся окне выбрать color Z(Grayscale) чтобы рисунок был черно-белым. Так его удобнее печатать (не у каждого есть цветной принтер).
Затем щелкнуть по рисунку левой мышью и ввести систему координат (третья строчка меню, третья кнопка с красным пятном, считая слева).
В) Нахождение площади S(t) поперечного сечения.
ВНИМАНИЕ!!!
Точки (2,0,0) и (3,0,0) на чертеже это, конечно же, точки (t,0,0) и (2,0,0) (исправить чертеж). Точке (t,0,0) соответствует сечение тела, имеющее форму трапеции (она стоит «боком»). Нарисовать на ней обозначение S(t). Высота этой трапеции равна t, а длины оснований можно вычислить, если в уравнение плоскости подставить (команда subs) координаты точек (t, t) и (t, 2t). Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту.
С) Вычисление объема призмы с использованием MAPLE по формуле
V = .
2 t
ЗАДАЧА 4 делается ВРУЧНУЮ с использованием формулы для длины дуги
. Дополнительно следует по этой же формуле численно подсчитать на MAPLE длину периметра области из ЗАДАЧИ 2.
ЗАДАЧА 5. Метод трапеций. Пусть требуется вычислить с шагом(в домашней работеп=10). Определяем точки деления отрезка [a,b] :
xn = a+nh, n=0,1,2,…,10
Строим график функции y=f(x) на отрезке [a,b] , проводим вертикальные прямые через точки деления и изображаем трапеции, сумму площадей которых мы будем вычислять.
В точках деления вычисляем значения функции f(x), т.е. величиныy(n)=f(xn):
> x:=n->a+h*n;
> y:=n->evalf(subs(x=x(n),f(x)));
Выводим эти десятичные значения на экран командой
> y(n)$n=0..10;
Далее вычисляем приближенное значение интеграла по формуле трапеций («шаг на сумму всех y(n), при этом y(0) и y(10) берутся с коэффициентом ½ »)
h*(sum(y(n),n=1..9)+1/2*(y(0)+y(10)));
Вычисляем затем для контроля точное значение интеграла ДВУМЯ командами
> Int(f(x),x=a..b);
>evalf(%);
Дальше следует объяснить, почему точное значение больше приближенного.
Вторая часть ЗАДАЧИ 5 – замена переменной в определенном интеграле. Проделаем её на примере интеграла.
Произведём в интеграле замену переменной, обозначив подынтегральную функцию через t. Эта замена производится командами
>restart; снятие всех присвоений
>with(student): подгрузка специальной программы
>changevar(sqrt((2*x+3)/(x-1))=t,
Int(sqrt((2*x+3)/(x-1)),x=2..6),t);
>simplify(%);
В результате получим интеграл
Подынтегральную функцию представляем в виде суммы простейших дробей
.
Находим коэффициенты A, B, C, D (метод нахождения коэффициентов изложен ниже в задаче 6). Затем ВРУЧНУЮ производим интегрирование полученных простейших дробей и подстановку новых пределов интегрирования.
ЗАДАЧА 6. Интегрирование рациональной дроби.
Пусть требуется вычислить интеграл
а) У данной подынтегральной дроби следует разложить знаменатель на неразложимые сомножители (в нашем примере он уже разложен) и представить эту дробь в виде суммы простейших дробей 1-го, 2-го и 3-го типов с неопределенными коэффициентами
Умножим это равенство на знаменатель. Получим
(&)
В это равенство подставляем вместо х пять произвольных значений, например х=0, x=1, x=2, x=3, x=4. Получаем систему пяти уравнений для пяти неизвестных {A, B, C, P, Q}. Решаем эту систему командой solve({система},{неизвестные}). Получаем в нашем случае A=6, B=–9, C=7, P=3, Q=–1.
После этого все интегралы от простейших дробей (включая дробь третьего типа) следует вычислять ВРУЧНУЮ.
Примечание. В MAPLE имеется команда преобразования рациональной дроби R(x) в сумму простейших дробей
> convert(R(x),parfrac,x);
Но эту команду разрешается использовать ТОЛЬКО для проверки.
ДЛЯ ОСОБО ОДАРЕННЫХ. Найдутся такие орлы, которые будут поставлять произвольные числа в равенство (&) вручную и записывать результат на бумажке. Вместо этого следует равенство (&) обозначить буквой S и воспользоваться командой подстановки >subs(x=число, S) , а результаты подстановки, т.е уравнения для коэффициентов, следует также обозначать как а1, a2, a3, a4, a5.