Домашняя работа по теме «числовые ряды» (2 семестр)

ЗАДАЧА 1. Необходимый признак сходимости. Если ряд а_п сходится, то а_п 0. Обратное неверно – если а_п 0 , то о сходимости ряда ничего сказать нельзя.

Следствие (достаточный признак расходимости). Если а_п не стремится к нулю, то ряд расходится.

Поэтому исследование ряда на сходимость в первой задаче производится по программе: «Если а_п 0 , то нет ответа, в прочих случаях – расходимость».

Пример. Пусть дан ряд . Задаем общий член ряда

> a[n]:=(2*n+1)/(3*n+4)*sin(n);

Находим предел этой числовой последовательности

> L:=limit(a[n],n=infinity);

Применяем программу

> if L=0 then print ('HET*OTB') else print ('PACX') end if;

РАСХ

ЗАДАЧА 2. Предуведомление. В условии второй задачи имеется требование «Применяя предельный признак сравнения, упростить ряды», т.е. сохранить в них главные слагаемые. Это требование относится к докомпьютерной эпохе, и выполнять его не обязательно.

Признак Коши для рядов с положительными членами. Пусть существует предел . Тогда ряда_п сходится, если L<1, и расходится, если L>1. При L=1 признак ответа не дает. Признак удобно применять к рядам, общий член которых представляет собой выражение в некоторой степени.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Общий член ряда имеет вид

> a[n]:=((2*n+1)/(3*n+2))^sqrt(n^2+2);

Находим предел выражения

> L:=limit(a[n]^(1/n),n=infinity);

Составляем программу, соответствующую признаку Коши

> if L<1 then print ('cx') elif L>1 then print ('pacx') else print ('НЕТ*ОТВ') end if;

Признак Даламбера для рядов с положительными членами. Пусть существует предел . Тогда ряда_п сходится, если L<1, и расходится, если L>1. При L=1 признак ответа не дает. Признак применяют к рядам, общий член которых содержит экспоненты.

ВНИМАНИЕ! Для применения признака Даламбера общий член ряда нужно задавать в виде функции. >a:=n –> f(n);

Пример. Исследуем на сходимость ряд

Задаем общий член ряда в виде функции

> a:=n->n*3^n/sqrt(2^n+5^n);

Вычисляем предел выражения и переводим его в десятичный вид

> L:=evalf(limit(a(n+1)/a(n),n=infinity));

Составляем программу, соответствующую признаку Даламбера

> if L<1 then print ('cx') elif L>1 then print ('pacx') else print ('НЕТ*ОТВ') end if;

Примечание. MAPLE не «умеет» сравнивать числа вида и 1. Он может срав­нивать только рациональные или десятичные числа. Поэтому вычисление предела следует обязательно применять совместно с командой> evalf(…);

ЗАДАЧА 3. В первых трёх примерах этой задачи следует упростить п-й член ряда при помощи сохранения главных слагаемых и с использованием соотношений эквивалентности при х 0:

Sinx x,  1– Сosx  x²/2, tgx x, ln(1+x)  x, e^x –1 x,   (1 + x)ⁿ –1 nx.

При этом ряд сводится к ряду Дирихле , который сходится приp>1 и расходится прир 1.По ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ СРАВНЕНИЯ исходный ряд ведёт себя аналогично.

Пример (форма записи и сопровождающий текст): . Полученный ряд Дирихле сходится, т.к. 2>1. Следовательно, исходный ряд также сходится по предельной теореме сравнения.

Последний пример из ЗАДАЧИ 3 сводится при помощи предельного признака сравнения (сохранение главных слагаемых) к ряду , который должен быть исследован при помощиинтегрального при­знака Коши: Этот ряд ведет себя в смысле сходимости так же, как несобственный интеграл .

ЗАДАЧА 4. Исследовать оба знакочередующихся ряда на абсолютную сходимость. Для этого рассматриваем ряды, составленные из модулей. Это ряды с положительными членами, и к ним можно применять предельный признак сравнения, рассмотренный в предыдущей задаче (сведение к ряду Дирихле). Если ряд, составленный из модулей, сходится, то сам ряд также сходится. Он называется абсолютно сходящимся. Если же ряд из модулей расходится, то про сам ряд ничего сказать нельзя. К нему нужно применять признак Лейбница: «Если |a_n| убывает, начиная с некоторого номера (его производная по п начиная с некоторого номера отрицательна), и стремится к нулю, то знакочередующийся ряд сходится».

Если ряд из модулей расходится, а сам ряд сходится, то такой ряд называется условно сходящимся.

Для вычисления суммы S ряда берут некоторое, достаточно большое, число слагаемых и вычисляют частичную суммуS_n. При этом, конечно же, допускается ошибка|S – S_n| , которая не превосходит абсолютной величины первого отброшенного слагаемого, т.е величины |a_n+1|. В данной задаче следует для каждого из рядов вычислить сумму, взяв 1000 слагаемых, оценить ошибку (она|a₁₀₀₁| ). По этой ошибке следует определить, сколько верных знаков содержит результат.

Пример. Вычислить сумму ряда .

Записываем частичную сумму S₁₀₀₀

> S[1000]:=Sum(n*(-1)^n/(n^2+1),n=1..1000);

Вычисляем её значение

> evalf(S[1000]);

Оцениваем ошибку

> delta<evalf(abs(1001*(-1)^1001/(1001^2+1)));

Ответ: Сумма ряда S– 0, 27 . Все знаки верные.