939

Рис. 2. Образование бимомента

Рис. 3. Внутренние усилия:

а – момент чистого кручения; б – момент изгибнокрутящий

2.ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

2.1.Определение положения центра тяжести, величины главных центральных моментов инерции поперечного сечения

Координаты центра тяжести поперечного сечения относительно произвольных осей X1 и Y1 определяются по формулам

x0 Sy1 ; y0 Sx1 , A A

где А – площадь поперечного сечения; Sy1 – статический момент площади относительно оси Y1; Sx1 – статический момент площади относительно оси X1.

перемножением эпюр линейных координат с учетом толщины элементов поперечного сечения по правилу Верещагина:

Jx y2 dA y2 dl ; Jy x2 dA x2 dl.

2.2. Определение координат центра изгиба

Центром изгиба называется такая точка, через которую должна проходить плоскость действия внешних сил, чтобы балка испытывала только деформацию изгиба (не подвергалась кручению).

Координаты центра изгиба А определяются по формулам

где S B y – секториально-линейный статический момент сечения относительно оси Y; S Bx – секториально-линейный статический момент сечения относительно оси X.

Секториальная координата определяется по формуле

l

B rdl.

0

Секториальная координата B представляет собой удвоенную площадь сектора M0BM1, образованную поворотом радиуса-вектора r

относительно полюса B от начального положения BM0 до BM1

(рис.4).

Рис. 4. Нахождение секториальной координаты

Если поворот радиуса-вектора r вокруг полюса В от точки начала отсчета M0 к точке M1 осуществляется против хода часовой стрелки, то секториальная координата положительна. Для определения положения центра изгиба выполняется построение эпюры секториальных координат B . Полюс В и точку начала отсчета M0 располагают на контуре сечения по оси симметрии. Координаты центра изгиба откладываются от полюса В.

2.3. Построение эпюры главных секториальных координат поперечного сечения

Для построения эпюры главных секториальных координат 0 полюс располагают в центре изгиба А, точку отсчета M0 – на контуре сечения по оси симметрии.

Обязательной проверкой правильности вычисления координат центра изгиба является равенство нулю секториально-линейного статического момента S 0x или S 0y , который вычисляется

перемножением эпюры главных секториальных координат 0 с соответствующей эпюрой линейных координат:

l

S 0x 0 y dA 0 y dl 0;

А0

l

S 0y 0 x dA 0 x dl 0.

А0

Погрешность вычислений не должна превышать 100 .

2.4. Вычисление момента инерции при чистом крученииJK , секториального момента инерции J 0 , изгибно-крутильной

характеристики K

Момент инерции чистого кручения определяется по формуле

JK n bi i3 , i 1 3

где – коэффициент, зависящий от формы сечения; bi – наибольший размер элемента сечения; i – толщина элемента сечения.

Для двутаврового сечения 1,20; для швеллера 1,12; для таврового сечения 1,15.

Секториальный момент инерции вычисляется перемножением эпюры 0 с учетом толщины по правилу Верещагина:

где модуль упругости I рода E 200 ГПа; модуль упругости II рода G 80 ГПа.

2.5. Определение начальных параметров внутренних усилий и деформаций при стесненном кручении тонкостенных стержней открытого профиля

Величина внутреннего усилия в сечении тонкостенного стержня определяется методом начальных параметров по табл. 5, где 0 – угол

закручивания в начале координат; 0' – относительный угол закручивания в начале координат; B 0 – бимомент в начале координат; MK0 – крутящий момент в начале координат. Начало координат располагается в левом сечении стержня.

Из четырех начальных параметров два неизвестных. Неизвестные начальные параметры определяются из условия крепления балки справа. Таким образом, при любом креплении однопролетной балки необходимо решать не более двух уравнений, вытекающих из условия опирания правого сечения балки (табл. 6).

Таблица 6

Определение неизвестных начальных параметров

Аналитические выражения для определения внутренних усилий и деформаций можно составить по табл. 5.

По результатам вычислений выполняется построение эпюр внутренних усилий: Qx или Qy – поперечных сил; My или Mx–

изгибающих моментов; B x – бимомента; M0 – момента чистого

кручения; M – изгибно-крутящего момента; MK – внешнего крутящего момента.

2.7.Вычисление нормальных напряжений

Всечениях тонкостенных стержней открытого профиля при стесненном кручении возникают нормальные напряжения

где N – продольная сила в сечении; My – изгибающий момент относительно оси Y; Mx– изгибающий момент относительно оси X;

B – изгибно-крутящий бимомент; А – площадь поперечного сечения; Jx– момент инерции относительно оси Х; Jy – момент инерции относительно оси Y; J 0 – секториальный момент инерции;

Х, Y – эпюры линейных координат; 0– эпюра главных секториальных координат.

2.8. Вычисление касательных напряжений

Касательные напряжения при стесненном кручении тонкостенных стержней определяются выражением

где Qx – поперечная сила по направлению оси X; Qy– поперечная сила по направлению оси Y; M0 – момент при чистом кручении;

M – изгибно-крутящий момент; JK – момент инерции сечения при чистом кручении; J – секториальный момент инерции; Sxотс – эпюра статического момента отсеченной части сечения относительно оси Х; Syотс – эпюра статического момента отсеченной части сечения

относительно оси Y; Sотс – площадь отсеченной части эпюры главных секториальных координат.

Для пояснения теории расчета тонкостенных стержней далее приведено несколько примеров.

3.ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

3.1.Пример №1

3.1.1.Исходные данные

Таблица 7

Втабл. 7 приведены исходные данные для примера №1. На рис. 5

и6 даны поперечное сечение и расчетная схема рассматриваемого стержня.

Рис. 6. Расчетная

схема

Рис. 5. Поперечное сечение

3.1.2. Определение положения центра тяжести, величины главных центральных моментов инерции поперечного сечения

Площадь поперечного сечения

n

A Ai 4 15 2 40 2 24 2 248 см2.

i 1

Статический момент площади относительно оси X1

Sx1 ydA 40 2 20 24 2 40 15 2 2 32,5 5470 см3.

A

Координаты центра тяжести (рис. 7)

y0 Sx1 5470 22,06 см; A 248

x0 0 см.

Моменты инерции относительно центральных осей (вычисляются при помощи эпюр линейных координат рис. 8 и 9)

2 15(2 17,942 2 2,942 2 17,94 2,94) 6

22,062 2 22,06 22,06 30 22,06) 63317,90 см4;

=15444 см4.

3.1.3.

Определение координат центра изгиба

Для определения центра изгиба строим эпюру секториальных координат (рис. 10) с произвольным полюсом В и началом отсчета M0 . B и M0 располагаем на контуре по оси симметрии сечения.