727

где Q0 – поперечная сила в сечении простейшей балки на данном участке от заданной нагрузки; Мпр,Млев – опорные моменты, прило-

женные на концах балки.

Согласно расчетной схеме (рис. 9, а) определим поперечные силы на участках с использованием эпюры Мдин (см. рис. 8, в).

Участок 0–1:

Q01 3 0,9734 1,7648 3,3957 кН; 2

Q10 3 0,9734 1,7648 2,6043. 2

Участок 1–2:

Q12 0,8961 0,2758 1,034; 2

Q21 0,8961 0,2758 0,7582.

2

Участок 1–3:

Q13 Q31 0,6246.

18. Построение эпюры продольных сил Nдин

4

N 14

Рис. 10

23

Эпюра продольных сил (рис. 10, б) строится по эпюре поперечных сил, исходя из условия равновесия отдельных узлов рамы. Достаточно рассмотреть один из узлов, например, №1 (рис.10, а).

Продольная сила N12 0, так как стержень 1–2 имеет правую шарнирно подвижную опору.

Продольные силы N01 и N14 (согласно рис. 10, а) направлены к узлу №1; они вызывают сжатие стержней.

19. Статическая проверка

Для проверки правильности построения эпюр Qдин и Nдин необходимо обеспечить равновесие сил и моментов рамы в целом.

Удалим опорные связи и приложим взамен их соответствующие

1,7922

3,3957

0,6246

1,5703

Рис. 11

М(4) 2 0,7582 1 1,7928 2 0,6246 6 1 2 3,3957 4 0,6246

1,7648 0;

FX 0,6246 0,6246 0;

FY 3,3957 6 1,5703 1,7922 0,7582 0. Все условия равновесия выполнены.

24

Задание № 2. Расчет статически неопределимой рамы

на динамическую нагрузку методом перемещений

На рис. 12 представлена расчетная схема статически неопределимой рамы.

Исходные данные: G1 30 кН; G2 20 кН; g 10 мс-2; F 8 кН; EJст 450 кНм2 ; EJр 300 кНм2 ; 0,5 .

Рис. 12

1.Определение степени кинематической неопределимости

ичисла степеней свободы колеблющихся масс

Число неизвестных, в методе перемещений, определяется по формуле

n nу nл 2 1 3,

где nу 2 – число жестких узлов (исключая опорные); nл 1 – число возможных линейных перемещений узлов рамы.

Данная система имеет две степени свободы, так как масса m1 может перемещаться горизонтально, а масса m2 – вертикально.

25

2. Выбор основной системы

Принятая для расчета основная система имеет вид (рис. 13).

Рис. 13

Системы канонических уравнений метода перемещений от двух загружений силами F1 1 и F2 1 имеют вид:

а) от единичной силы F1 1, приложенной к массе m1 в направлении горизонтального перемещения (состояние 1):

r11Z1(1) r12Z2(1) r13Z3(1) R1(1F) 0; r21Z1(1) r22Z2(1) r23Z3(1) R2(1F) 0; r31Z1(1) r32Z2(1) r33Z3(1) R3(1F) 0;

б) от единичной силы F2 1, приложенной к массе m2 в направлении вертикального перемещения (состояние 2):

r11Z1(2) r12Z2(2) r13Z3(2) R1(F2) 0; r21Z1(2) r22Z2(2) r23Z3(2) R2(2F) 0; r31Z1(2) r32Z2(2) r33Z3(2) R3(2F) 0.

Выразим погонную жесткость элементов рамы через жесткость горизонтального элемента (ригеля) – EJp , тогда погонные жесткости элементов рамы (см. рис. 13) будут:

26

строении эпюр воспользуемся данными, изложенными в приложении.

Рис. 14 (см. также с. 25)

27

2 0,125 0,5 EJp 4,7875EJp.

Сравнение результатов подтверждает правильность вычисления коэффициентов.

6. Решение систем канонических уравнений

а) Система от действия силы F1 1:

1,35Z1(1) 0,125Z2(1) 1,125;

EJp

0,125Z1(1) 0,1875Z2(1) 0,5Z3(1) 0,6875;

EJp

0,5Z2(1) 4,5Z3(1) 0.

Значения неизвестных:

б) Система от действия силы F2 1:

1,35Z1(2) 0,125Z2(2) 0;

0,125Z1(2) 0,1875Z2(2) 0,5Z3(2) 0;

0,5Z2(2) 4,5Z3(2) 0,5 .

EJp

Значения неизвестных:

29

7. Построение эпюр M1,M 2 от единичных сил F1 1 и F2 1

Ординаты эпюры M1 состояния 1 вычисляются по формуле

M1 M10 M Z1 Z1(1) M Z2 Z2(1) M Z3 Z3(1) .

Ординаты эпюры M2 состояния 2 вычисляются по формуле

M2 M20 MZ1 Z1(2) M Z2 Z2(2) M Z3 Z3(2).

Эпюры M1,M 2 изображены на рис. 15.

0,2307

M1

1,077 0,5385

0,5385

1,3846

Рис. 15

8.Проверка эпюр изгибающих моментов M1,M 2

Вметоде перемещений статическая проверка, в отличие от аналогичной проверки в методе сил, дает вполне надежную гарантию правильности решения задачи, но при условии, что исходные единичные и грузовые эпюры построены правильно.

Проверка равновесия в узле № 3 эпюр M1,M 2. а) Условие равновесия для состояния 1 (рис. 16, а)

M(3) 1,6151 0,5385 1,077 0; б) Условие равновесия для состояния 2 (рис. 16, б)

M(3) 0,3378 0,348 0,013 0.

30

2 1,3846 0,0128 2 0,2307 0,0256 1,3846 0,0256 0,0128 0,2307

61,5EJp

0,5812 0,2693 0,5406 0,2815;

10. Определение частот собственных колебаний

Раскроем определитель характеристического уравнения

2 11m1 22 m2 11 22 122 m1 m2 0,

32