Геометрический смысл афл. Приближенные формулы

“Y” кривой = АС, “Y” касательной = АВ, ВС = о(х–х₀), хх₀.

Линеаризация – это замена кривой на касательную или

замена функции f(x) на линейную функцию f(x₀)+f’(x₀)(x–x₀)

(отбрасываем о(x–x₀) ).

Пример: Приближенная формула

, при х  , например, при х = 10.

Численное решение уравнения f(x) = 0. Метод касательных (метод Ньютона).

Пусть х₀ – приближенное решение уравнения. Проводим в этой точке линеаризацию и вместо уравнения f(x) = 0 решаем уравнение f(x₀)+f’(x₀))x–x₀)=0.

Вывод рекуррентной формулы метода Ньютона .

Геометрический смысл метода Ньютона.

Пример. f(x) = x² – 2 .

Дифференциал функции.

Определение. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке х. Тогда дифференциалом функции y=f(x) на отрезке [x, x+x] называется величина dy=f’(x)x.

Примечание. Дифференциал зависит от двух величин – отх и от х .

Запись d(…)=(…)’x. Вписать в пустое место х² , х. Из последнего примера вытекает соотношение dx=x, а отсюда следует обозначение производной (читаетсяdy по dx). Геометрический смысл дифференциала – приращение ординаты при движении по касательной (см. рис.).

Запись АФЛ через дифференциал. Погрешность функции.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке х₀. Тогда имеет место АФЛ

f(x)=f(x₀)+f’(x₀)(x–x₀)+o(x–x₀), x–x₀ 0.

Заменим всюду х на х₀+х. Получим

у = dy + o(x), x 0 (см. рис.)

При малых x имеем y  dy.

Это равенство используется для приближенного вычисления погрешности функции.

Примеры.

Производные высших порядков.

Определение. Пусть функция у=f(x) дифференцируема на интервале (a,b). Тогда на этом интервале определена функция y=f’(x). Производная этой функции (если она существует) называется второй производной исходной функции и обозначается f’’(x).

Исследование поведения функции.

1. Определение локального экстремума (строгого и нестрогого).

2. Теорема Ферма. Пусть х₀ – точка экстремума функции y=f(x) и пусть f(x) дифференцируема в этой точке. Тогда f’(x₀)=0.

Доказательство: касательная в точке экстремума горизонтальна.

Обратная теорема неверна. Пример у = 4х³ – 3х⁴.

Определение критической точки. Либо f’(x₀)=0 либо производная в точке х₀ не

существует.

Теорема Ферма: ЭКСТР  КРИТ. ТОЧКА. Обратное неверно! (у=х³)

ЗАДАЧА ОБ ОЦЕНКЕ.

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y = f(x). Тогда по 1-й теореме Вейерштрасса она достигает на этом отрезке своё наибольшее и своё наименьшее значения, т.е. существуют числа x₁, x₂  [a, b] такие, что f(x₁)=m, f(x₂)=M и при этом имеет место двойное неравенство m  f(x)  M для любого х из отрезка [a, b]. Это двойное неравенство называется ТОЧНОЙ ОЦЕНКОЙ функции на отрезке.

Решение задачи о точной оценке. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема во всех внутренних точках отрезка. Наибольшее значение функция принимает или на границе или во внутренней точке, которая по теореме Ферма является в этом случае критической точкой. Аналогично, наименьшее значение может приниматься или на границе или в критической точке.

ПРАВИЛО. Найти критические точки х₁, х₂, х₃ функции, лежащие на отрезке [a, b] и из чисел f(a), f(x₁), f(x₂), f(x₃), f(b) выбрать наименьшее число m и наибольшее число M. Записать искомую оценку.

Пример. у = 3x⁴+4x³–12x², x  [–1, 1] . Критические точки: –2 , 0 , 1

Значения f(–1)=–13; f(0)=0; f(1)=–5. m=–13, M=0. Следовательно, на отрезке [–1, 1] имеет место точная оценка функции: –13  f(x)  0.

ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА ( о конечном приращении). Если f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b), то существует точка с(a,b) такая, что приращение функции на отрезке имеет вид f(b)–f(a)=f’(c)(b–a).

Д-во: :Нарисовать непрерывную и гладкую линию, соединяющую точки A(a,f(a)) и B(b,f(b)). Найти на кривой точку х=с, в которой касательная параллельна хорде АВ. Углы наклона хорды и касательной одинаковы, и поэтому

.

откуда и получаем f(b)–f(a)=f’(c)(b–a). Словесная формулировка: «Разность значений функции равна разности значений аргумента на производную в средней точке».

Достаточное условие монотонности.

ТЕОРЕМА. Пусть f(x) дифференцируема (и, следовательно, непрерывна) на (a,b) и пусть её производная на этом интервале положительна (отрицательна). Тогда f(x) возрастает (убывает) на этом интервале.

Д-во: На любом [x₁,x₂](a,b) выполняются условия теоремы Лагранжа , и поэтому f(x₂)–f(x₁)=f’(c)(x₂–x₁). Отсюда видно, что знак левой части совпадает со знаком производной.

Достаточные условия экстремума по первой производной.

ТЕОРЕМА. Пустьf(x) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки х₀ и пусть в этой окрестности при переходе через точку х₀ производная меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс). Тогда точка х₀ является точкой максимума (минимума).

Д-во: для левой полуокрестности f(x₀)–f(x)=f’(c)(x₀–x)>0;

для правой полуокрестности f(x₀)–f(x)=f’(c)(x₀–x)>0;

Таким образом, всегда f(x₀)>f(x), т.е. имеем максимум.

Аналогично для минимума.

Пример. y= 6ln|x|+x² –8x.

Текстовые задачи на экстремум

1. В прямоугольный треугольник с катетами a , b вписать прямоугольник максимальной площади.

а) Выбираем параметр х (ширина прямоугольника).

б) Считая параметр известным, находим площадь прямоугольника как функцию от параметра х.

в) Исследуем эту функцию на экстремум.

2. На стене висит картина. Её нижний край выше глаза зрителя на a, верхний – на b. С какого расстояния эта картина видна под наибольшим углом.

3. Из круга вырезают сектор с углом А и изготавливают кулек в виде конуса. Какой должен быть угол А, чтобы объем кулька был максимальным. (  60⁰)

Методы раскрытия неопределённостей типа .

Напоминание: дроби 0/5 и 6/0 – не являются неопределённостями!!!

ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

Пусть f(x), g(x) дифференцируемы в точке х₀ и обращаются в этой точке в ноль, а производная g ‘(х₀ )  0. Тогда

«Д-во»:

Примеры.

ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ можно применять повторно

Примеры. .

Примечание 1. Правило Лопиталя применимо также в процессах х   .

Примечание 2. Правило Лопиталя применимо не только к неопределённостям типа , но и к неопределённостям типа.

Примеры – шкала бесконечностей . Найти эти пределы. Записать затем результаты с использованием «о-малого».

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА.

Определение. Пусть функция f(x) n раз дифференцируема в точке х₀. Тогда многочленом Тейлора n-го порядка для функции f(x) в точке х₀ называется многочлен

Примеры. f(x)=2x²+3x+4, х₀=1, записать Т₂(х). Вывод: Для многочлена Р_п(х)=Т_п(х). Для других функций это не так.

Пример. Sinx ≠ x – x³/6.

Основное свойство многочлена Тейлора:

В точке х=х₀ значения многочлена Тейлора и его первых n производных совпадают со значениями функции и её первых n производных.

Д-во: подстановкой и дифференцированием

ТЕОРЕМА ТЕЙЛОРА–ПЕАНО. Пусть функция f(x) n раз дифференцируема в О_(х₀). Тогда для любого х из этой окрестности справедлива асимптотическая формула f(x)=T_n(x)+o((x-x₀)^п), x x₀ .

Д-во: Нужно доказать, что или, что тоже самое,

Применим n раз правило Лопиталя (условия применимости правила Лопиталя выполнены!) и получаем то, что нужно доказать.

Пример

.

Формула Тейлора примет вид

Отбрасывая о-малое, получим приближенную формулу

Применение этой приближенной формулы 1,1^2,3  1+0,23+0,01495=1,24495 (точно=1,245097).

Формула МАКЛОРЕНА. Записать формулу Тейлора. Подставить в неё х₀=0.

.

. (точно ln3=1,09861)

Формула Тейлора –Пеано (Маклорена –Пеано) не дает возможности оценить остаточный член, т.е. оценить погрешность применения этой формулы.

ТЕОРЕМА ТЕЙЛОРА–ЛАГРАНЖА. Пусть функция раз дифференцируема в. Тогда для любогох из этой окрестности найдется с (х₀ , х) такая, что

Таким образом, если мы используем приближенную формулу f(x)T­_n(x), то погрешность определяется остаточным членом

Примеры.

Оценка погрешности линеаризации.

Пусть функцияf(x) дважды дифференцируема в окрестности точки х₀ . Тогда можно записать .

Пусть х меняется в пределах [x₀–h, x₀+h] и пусть на этом отрезке имеет место оценка |f”(x)|  M. Тогда ошибка оценивается неравенством

|R(x)| = |0,5f”(c)(x–x₀)²|  0,5Mh².

Пример. lnx=x–1 на отрезке [0,9 ; 1,1]. При этом

|R(x)|  0,1²/(20,9²)=0,0061728.

Ошибка связана с кривизной кривой: чем «кривее» кривая, тем больше ошибка. А кривизна связана со второй производной (см. ниже).

Выпуклость и вогнутость графика функции.

«Крестьянский уровень». Выпуклость – «крышка» , вогнутость – «чашка» .

Возможны варианты названий типа «выпуклость вверх» и «выпуклость вниз».

ТЕОРЕМА. Если кривая выпукла, то она напоминает отрицательную эмоцию , т.е y”<0, если вогнутость, то  т.е y”>0 .

“Доказательство”: Если «чашка», то (х) возрастает (см. рис.),

следовательно, tg(х) = y’ возрастает, и поэтому производная

от этой величины положительна, т.е. y”>0;

если «крышка», то (х) убывает, tg(х) = y’ убывает,

производная от этой величины отрицательна, т.е. y”<0.

ВАРИАНТЫ КРИВЫХ: Возрастающая (убывающая) чашка, y”>0, y’>0, (y’<0);

возрастающая (убывающая) крышка; y”<0, y’>0, (y’<0).

Примеры. .

ТОЧКИ ПЕРЕГИБА. Точка гладкой кривой y=f(x), разделяющая участки выпуклости и вогнутости этой кривой, называется точкой перегиба. При переходе через эту точку разность меняет знак.

Геометрический смысл: кривая переходит с одной стороны касательной на другую.

Вопрос. Является ли точка М точкой перегиба? Нет. Это точка излома!

ТЕОРЕМА (необходимое условие перегиба). Пусть функция y=f(x) дважды дифференцируема в окрестности точки перегиба х=х₀.и пусть вторая производная непрерывна в некоторой окрестности точки перегиба Тогда f’’(x₀)=0.

Д-во: Если вторая производная не равнялась бы нулю, то по теореме точка х₀ была бы либо точкой выпуклости, либо точкой вогнутости.

Замечание. Обратная теорема «Если f”(x₀)=0, то х₀ – точка перегиба» неверна. Пример .

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРЕГИБА. Вторая производная обращается в ноль в некоторой точке и меняет знак при переходе через эту точку.

Примеры для полного исследования кривой.

Примечание. Точкой перегиба может также быть точка, в которой f’’(x) не существует. В этой точке должна существовать функция, а f’’(x) должна менять знак при переходе через эту точку.

Примеры.

Асимптотика функций в данном процессе.

Определение. Пусть f(x)=g(x)+o(g(x)) , x x₀ . Тогда функция g(x) называется асимптотикой функции f(x) в процессе x x₀ .

Другое определение, эквивалентное данному: Функция g(x) называется асимптотикой функции f(x) в процессе x x₀ , если f(x)g(x) при x x₀..

Напомнить теорему о сохранении главного слагаемого и теорему о замене множителя ненулевой константой. Разобрать примеры с построением эскизов графиков:

Использование формулы Тейлора для отыскания асимптотики.

Пример. Найти асимптотику функции приx  0 . (y  x⁶/6)

Асимптотика на бесконечности для рациональных функций.

Напомнить определение рациональной функции (рациональной дроби).

Правильные и неправильные дроби. Деление «уголком».

Асимптотика на бесконечности. Пример . Здесь асимптотика на бесконечности будету=х². Более точная асимптотика получится при помощи деления «уголком», y=x²–3x.

Если асимптотика на бесконечности линейная (степень числителя на единицу больше степени знаменателя), то она называется АСИМПТОТОЙ.

Пример.

Случаи «степень числителя = степени знаменателя» (горизонтальная асимптота, не совпадающая с осью Х) и «степень числителя < степени знаменателя» (асимптота – ось Х).

Примеры: